二项式定理及其应用

二项式定理是中学数学的一个重要定理，不仅在初等数学学习中有着广泛应用，而且又是学习概率、微积分等有关高等数学的重要基础知识。本文根据平时教学所得从几个方面重点谈谈该定理在初等数学中的应用，以供参考。首先重温一下二项式定理二项式定理：设N，则其中Tr＋1＝C叫做二项展开式的通项。（证明略）二项式系数的主要性质有：（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即（2）如果二项式的幂指数是偶数，那么中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇效，那么中间两项的二项式系数相等并且最大…     

也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

Roll中值定理的推广

有关中值定理的论证,大都以Roll定理为依据,因此对Roll中值定理的研究是件有意义的事情。设R(x)=R(f_1(x),f_2(x),…,f_k(x))是K个函数的有理函数,用C~n[a,b](n∈N)表示     

关于线性空间替换定理的证明

关于线性空间替换定理的证明袁辉平为叙述方便，将替换定理引述如下定理：设向量组线性无关，并且每都可以由向量组线性表示，那么ｒ≤ｓ，并且必要时可以对（２）中向量重新编号，使得用ｑ，马，．．．，ｑ，替换房，尺，．．．，ａ后，所得的向量组与（２）等价这个定理...     

任意三角形区域上Bernstein多项式的Lipschitz常数

定理A 如果f∈Lip_Aa,则(?)n∈N,B_n∈(f;x)∈Lip_Aa.值得注意的是,两者的Lipschitz常数是相同的.现在考虑两维情形.设T为平面上以点T_1,T_2.T_3为顶点的三角形,P为平面上的任意一点,(u,v,w)为它的重心坐标,即     

关于三阶可逆整数矩阵的Fermat方程

设A是三阶整数矩阵，V＝｛Ak｜k∈N｝，本文证明了：当｜A｜≠0时，Fermat方程Xn＋Yn＝Zn，X，Y，Z∈V，n∈N，n＞2有解的充要条件是A3＝2I，其中I是三阶单位矩阵。     

关于方程｜f(x)｜=■(x)的同解定理

对于实数城上的方程，何时才能去掉绝对值符号，也即原方程是否能和同解？定理1若f（x）≥0，则方程与同解。f（x）≤0，则方程与同解。此结论显然成立。定理2若，则与同解。证明设a是的任一解，则。若f（a）≤0，由得即，与矛盾，故f（a）＞0，即也就是。因此a也是的解。设b是的任一解，则，故，所以等价于，因此b也是的解。定理3若测方程同解。证明设a是的任一解，则。若f（a）＜0，则可得，于是，此与矛盾，故f（a）≥0，因而等价于，因此a也是的解。反之，设b是的任一解，则，因此b也是的解。由定理2、3，可得定理4若，则方程与同解。注…     

关于中值定理的推广

我们给出的定理1是对“哥西中值定理的推广”的推广,定理2和定理3是拉格朗日中值定理及哥西中值定理的另一种形式的推广。定理1设(i)n 个函数     

矩阵方程AX=B的解法

1引言设称AX=B……（I）为矩阵线性方程组，其中A为系数阵，X为变量阵，B为常量降。本文在解线性方程组理论的基础上，给出矩阵线性方程组AX—B之解法。2定理及其证明定理1矩阵线性方程组AX—B有解的充分必要条件是rank（A，B）一rank（A）。证：令x1，x2，…x。为X的列向量，其中XP=而B的列向量为因为AX—B所以即有这实际上就是常见的线性方程组，根据线性方程组理论可知，有解的充分必要条件是，从而rA）。证毕定理2设矩阵线性方程组AX—B……（！）中rank（A）一r。将矩阵【A，B」进行一系列初等行变换而得到矩阵1＿二卜其中…     

亚纯函数及其导数分担一个IM公共值

研究了亚纯函数f及其导数f'分担一个公共值的唯一性问题,当f和f'分担1 IM时,若满足3N(r,1/f')+3N(r,f)+N(2r(r,1/f'-1)<(λ+o(1))T(r),得到f≡f'或f·f'≡1,改进了Gundersen的定理:设f是非常数的整函数,如果f和f'分担1 CM,且N(r,1/f')=S(r,f),则f' -1/f-1≡c,其中c为非零的常数.     

关于某类级数的部分和公式

关于自然数连续n项k次幂的求和公式,有不少数学家在研究。特别是著名数学家陈景润使用递归关系式,得到了下面的定理(见文献[1].[2]): 定理 设n是正整数,令N=n(n 1),M=2n 1,当k=1,2,……,20时,     

关于广义Fibonacci矩阵集合上的Fermat方程

设Am是阶广义Fibonacci矩阵，设B={Am^k ｜k∈Z，k≥0}．证明了：方程x^n＋y^n=z^n，x，y，z∈B，n∈N，n≥2没有解（n，x，y，z）．     

残数求法公式的拓广

本文在文［１］的基础上，对残数的求法公式：“设的一级极点，且满足及在点ａ解析，进行了拓广，得到较好的结果，即文中定理１、２及推论１、２，较圆满地解决了为型及型的求在其奇点的残数问题．     

瓦勒·布然逼近定理的引申

C_(2π)表示定义在整个实轴上且具有周期2π的连续函数全体。设f(x)∈C_(2π),称积分 为瓦勒·布然奇异积分。 在N.Л.纳唐松著《函数构造论》中证明了:瓦勒·布然定理:对于一切实数x,一致地有 定理1:若类C_(2π)中的函数f(x)在某个x处存在有限的导数f′(x),则对于这个值x,有     

空间形式Sn+p(c)中法丛平坦的常数量曲率子流形

得到空间形式Sn+p(c)中法丛平坦的常数量曲率子流形的一个刚性定理设Mn(n≥3)是空间形式Sn+p(c)中标准平均曲率向量平行的紧致子流形和Mn的标准数量曲率R为常数.若法丛N(Mn)平坦且(1)R-c≥0,(2)Mn的截面曲率K＞0,则Mn是Sn+p(c)中的全脐子流形.     

关于丢番图方程(x~p-y~p)/x-y=z~2

设N、P分别是全体正整数和奇素数的集合．本文运用初等数论方法部分地解决了有关万程（xp-yp）／（x-y）＝z2，x，y，z∈N，X＞y＋1，ged（x，y）＝1，p∈P，P＞3（＊）的Ljunggren问题，即证明了：方程（＊）仅有解（x，y，z，p）＝（3，1，11，5）可使x是奇素数的方幂     

唯一远达点和极大化序列的收敛性

本文主要讨论唯一远达点和极大化序列的收敛性，即给出如下定理：设X具（H）性质且为严格凸的Banach空间，K是X中弱M紧集，Fk(x)在X上fr■chet可微，则是X中的稠G_δ集。     

关于正整数整除部分的Graham猜想

对于正整数n，设S（n）是n的整除部分，ω（n）是n的不同素因数的个数．本文证明了：当n是大于2的偶数、或当n是满足ω（n）≤2且不等于3a（a∈N）的奇数时，上述结果部分地证实了Graham猜想．     

有限k决定代数条件的计算问题

J．N．Mather证明了有限卜决定的著名定理：若或，则f是k决定的然而，验证这一代数条件常常会遇到困难借助于Nakayama引理等代数工具，本文将给出这一代数条件的计算原理和方法，并举典型实例说明．     

有限阶Abel群结构定理的同调证明

本文将同调代数的方法,证明以下定理:定理1 设G为一有限阶Abel群,则其中P_t为素娄数(不必不同),n_i为自然数.