关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

关于多项式T_n(x)的整除性的一个问题

设n是适合n≥2的正整数,Tn（x）＝（1＋x）n＋（1－x）n－2n．本文证明了：如果p是素数,则对于任何适合2p＞r＞3的正整数r,都有Tr（x）T2p（x）．     

一类对称方程组的解

本文讨论如下形式的对称方程组厂”1 ”。 -” ”””hixg x: … x”=b:。、、。吕—…………………………·。 x二 一· xn=hiti。-。fXt”“ X:’” … X“’”=b,_巨“1’“““”““n--羞 二x尸”2 x:“2 u. x“”3二b。把（丑）用矩阵的形式表承为——-idsl“羹‘“Mll！     

基于优化灰色模型的湖南省粮食产量预测方法改进研究

常见的粮食产量预测方法主要包括时间序列法、回归分析法、神经网络、灰色模型等方法,由于粮食产量数据呈现出的非线性特征,非线性灰色模型GM（1,N）在粮食产量预测方面具有更好的适应性,但由于模型自身存在一些缺陷,使得预测精度不高。为提高预测结果的准确性,采用灰色关联分析,应用优化灰色模型OGM（1,N）进行计算,并将结果与GM（1,N）模型预测结果进行比较,发现OGM（1,N）模型预测结果精度较GM（1,N）模型预测结果精度提高了一个数量级,表明OGM（1,N）模型在粮食产量预测方面有更高的准确性。最后根据预测结果的分析讨论,对湖南省粮食增产问题提出了一些建议。     

一阶线性微分方程的推广

众所周知，一阶线性微分方程的通解为本文将（1）加以推广，并得到其通解公式．定理一阶型微分方程若满足条件则（3）的通解为由一阶线性微分方程的熟知结果，则得所求通解：8＼y／d特别地，当取y（y）＝l，a＝l时／y）＝y，这时（3）即（l），故（3）是（l）的推广．此时，（5）JL．．IP（x）山／In八＿IP（x）dsJ．．＿＼刀y＝eJ””～”一iD叭xJ刽“””一则＊cJ即（2）．定理证毕．例1求方程y’＋Zx＝xe－’的通解．。，。，。，。t，。。。，＊。，。。。lA：n。。。、。。。。。，解g（g）＝e－’，入g）＝l，a二l适合条件人g）…     

Selberg方法的某些应用

给予若,设3二尸:<…2,我们用Selberg〔“’方法估计p。(x,x勺的上界时得P,(x,x’)(找(n)C·C。·x.~/C。,·x二\一万丁六丁一十口几万丁二万二~109 109丫1. iU匕弄、lu匕弄I此处C~n 户>2( 1\。__。P一1。,…     

大学生消费结构的灰色关联分析及趋势预测

利用灰色系统理论中灰色关联分析的方法,根据大学生各项消费行为的数据序列,计算相关因素的灰色关联度,在此基础上分析大学生消费行为的特征;建立一个关于大学生各项消费的灰色GM（1,1）预测模型,对大学生消费结构进行预测和分析,并提出合理化建议。     

灰色神经网络模型在猪肉价格预测中的应用

本文针对猪肉价格波动的特点，利用灰色神经网络模型（CGNN）对猪肉价格进行预测。CGNN模型是对同一已知时间序列，采用不同的GM（1，1）改进模型得到的预测结果使用神经网络进行组合，将每个灰色预测结果“串联”起来，融入神经网络之中，发挥每个灰色预测模型的优点，从而得到更为精确的预测值的方法。     

关于丢番图逼近中的一个猜想（I）

证明了Cusich提出的猜想（I）。对于任何的n个正整数α1，α2，…，αn总存在一个实数，使得||αix||≥1/n 1,i=1,2,…n成立，其中||x||表示x到其最近整数的距离。     

有关Hamilton图与连通度的一个充分条件

利用插点方法和H-序列，证明了如果G是n阶简单图，k=k（G）≥k≥2．而（a1，a2，…，ak＋1）是H-序列，若对于任意的Y∈Ik＋1^（e）（G），有∑i=1^k＋1aisi（Y）＋sk＋1（Y）〉n＋k＋k-3，则G是Hamilton-图,该定理也是对这方面已有的某些定理的有效推广。     

关于椭圆内接（外切）n边形面积最大（小）值的计算公式及其推广

《数学通报》87年第3期刊载了《椭圆内接四边形和三角形的最小面积》一文，只研究了两种简单图形，本人考虑了两种方法来推导椭圆内接（外切）n边形面积最大（小）值的计算公式．并推广到椭球面上，获得了类似的结果．首先推导单位圆的内接（外切）多边形面积的表达式：如（图1），设A1A2…An是单位圆x2＋y2=1的内接n边形，点A1的坐你为（cosαi，sinαi；）．（i=1，2，…，n）。根据多角形面积公式，算得：仍如（图I），设D1D2…Dn是单位园x2＋y2=1的外切多边形，A1，A2，…，An是其切点，A1的坐你为（cosαi．sinαi），（i=1，2，…     

全国团校第三次马克思主义理论教学研讨会在我院召开

一1,。·,“\一:“’一一2、二.一二CZ占}’.十’。厂“。）3～二二厂:。不。工（三）、找转jX’\（三二）‘。卞人>奏t;?x7补工/（:）、～了\小.二/上/·”（Z、’二:——4、EqpR代＆全国团校第三次马克思主义理论教学研讨会在我院召开@戚年成     

关于限量分配问题

考虑把n个球放入m个盒内的I型分配问题，若限制每个盒的容量都取自由某些非负整数所组成的集A，则把分配数记为d~(1)_n（m，A）．分配数列（d~(1)（m，A）n≥0的指母函数记为e~d~(I)(m,A)设k≥0，Nk＝｛k，k十1，…｝为不小于k的全体整数所组成的集，W2k=｛2k，2k＋2，…｝为不小于2k的全体偶数所组成的集，J2k＋1＝｛2k＋1，2k＋3，…｝为不小于2k＋1的全体奇数所组成的集。魏万迪给出了如下计数公式：[1]此外，文献[2]还介绍了下面的计数公式其中S（n，m）是第二类Sitrling数．本文分别给出了计算分配数d：I（。n，A”。），dz‘’…     

极限I=Lim(x→∞或x→∞)(integral((x)~(g(x))))(x∈R,f(x)≥0)值的求解方法

我们在学习函数极限过程中，常常会遇到诸如f（X）~g(x)函数的极限，计算起来比较复杂，只要认真分析，就会发现这类函数中，有的虽然表达式不同，但它们具有相同的特性和相同的极限值。本文就是要找出其中具有相同特性函数的极限求解方法及极限值。为了便于分析，先引进一个定义及四条性质。定义：若1讪＿一1，「9（I）一间，则称人I）与9（d等价，记为人劝～9（工）．（I——①或。、。q‘x’（扛～＊性质2。若f（）～lx”，（x”。），（mEZ，IER，且l学0，m学0）·且f（）可导，timler存在，则产（x）～ml·x’－l，（x—m）．证：…     

矩阵方程AX=B的解法

1引言设称AX=B……（I）为矩阵线性方程组，其中A为系数阵，X为变量阵，B为常量降。本文在解线性方程组理论的基础上，给出矩阵线性方程组AX—B之解法。2定理及其证明定理1矩阵线性方程组AX—B有解的充分必要条件是rank（A，B）一rank（A）。证：令x1，x2，…x。为X的列向量，其中XP=而B的列向量为因为AX—B所以即有这实际上就是常见的线性方程组，根据线性方程组理论可知，有解的充分必要条件是，从而rA）。证毕定理2设矩阵线性方程组AX—B……（！）中rank（A）一r。将矩阵【A，B」进行一系列初等行变换而得到矩阵1＿二卜其中…     

数m~n的末两位数的确定

《数学通报》1985年第5期刊登了《数m”的个位数的确定》的一个一般且简明的方法，那么数m”的末两位数的确定是否也有一般的方法呢？本文将对这个问题作一点探讨。对数5来说，很显然，只要n＞2，则5”的末两位数就是25。定理1设。;一20k＋r，（k＞0，0＜r＜19）则（l）当k＞1，r-0时，2’“的末两位数为76;（2）当k＞l，r-l时，2’“”‘的末两位数为52;（3）当k＞0，2＜r＜19时，2‘’‘”r的末两位数与2”的两位数相同（若2”为一位数，则在2”前加0）。证明:（1）由计算知，2”的末两位数为76，所以可令2”一100m;＋76，则2m‘＝（100-1…     

反驳索姆斯对模态论证的辩护

索姆斯针对宽辖域分析和严格化的摹状词解释对克里普克的模态论证所做的辩护并不成功,其原因是他的辩护犯有错误:在已经假定名称‘n’在语义上等于相对于模态词取宽辖域的摹状词‘the x:Fx’之后,或者在假定名称‘n’被定义为与一个严格化的摹状词‘the x:actually Fx’[即n=(the x:actually Fx)]之后,他仍然把‘n’和‘the x:Fx’或‘the x:ac-tually Fx’处理成有不同的模态辖域,并认为人们可以对分别由‘n’或相应的摹状词指称的那个个体持有不同的信念。对于主张名称和相应的摹状词严格同义和共指的描述论者来说,这种情况不可能发生。所以,索姆斯对模态论证的辩护失败了。     

一道竞赛题与三个不等式

有这么一道题，证明：19881989＞19891。要证明这道题，若是直接去证，比较困难。因而我们先给出一个一般形式的命题：（并令此命题为命题Ⅰ）命题1：Kk－1＜（k－1）k对K≥4的自然数成立。我们先证明一个引理：在（【＋1）”一Cu‘一卜CH卜’＋…＋Cr‘且十c：这个二项展开式中，每一项的大小是依次递减的。即是每前面一项均大于后面的一项。事实上，我们可以通过讨论通项比值来证明它。而（m十五）k＞k—m是很显然的。．”．通项比值CTk’－”沁Z”’k‘－”－’大于1故上二项展开式中各项大小从前到后依次递减。现在我们来证明命题I…