逻辑悖论与固定点定理

罗素悖论的解决方案被划分为两大范畴:有类型限制的方案和无类型限制的方案.无类型限制方案的背景逻辑是多值逻辑或者不包含否定词的经典逻辑,它的一致性证明在实质上是利用固定点定理构造模型.在介绍克里悖论、莫绍揆悖论和吉尔莫尔悖论,回顾这些悖论的解决方案与布劳威尔固定点定理和塔斯基固定点定理之间的内在关联的基础上,探讨无类型限制方案在二阶罗素悖论中的应用,并且证明一系列相关结果.     

新逻辑主义的困境与二阶分层概括

由二阶概括公理与公理V所导致的悖论沉重地打击了弗雷格的逻辑主义。罗素的直谓方案和蒯因的分层方案分别可以看作是逻辑主义的延续。上世纪80年代兴起的新逻辑主义把皮亚诺算术建立在二阶概括公理与休谟原则的基础上。但是休谟原则遭到诸多质疑。赫克和博格斯证明了二阶直谓概括公理与公理V的一致性。然而,在遵循弗雷格关于"概念先于外延"这一哲学观点的前提下,不能从二阶直谓概括公理和公理V推出休谟原则。这种困境可以在蒯因分层方案的框架下得到解决。不仅可以证明二阶分层概括与公理V相对于蒯因NF的一致性,而且可以证明从二阶分层概括与公理V推出休谟原则。     

良莠不齐反驳

新弗雷格主义是当前较为活跃的数学哲学思潮之一,其主要代表人物莱特和黑尔认为通过二阶逻辑和抽象原则可以在某种意义上证成弗雷格的逻辑主义。但许多学者对抽象原则的合理性提出质疑,其中引起激烈争论的就是良莠不齐反驳。在简要回顾新弗雷格主义和抽象原则的背景基础上,总结良莠不齐反驳的三个重要方面:不一致的抽象原则,例如公理V和序数原则;两两不一致但自身一致的抽象原则,例如奇偶原则和麻烦原则;两两不一致但自身保守的抽象原则,例如分身原则;相应地,莱特和威尔给出了一系列可接受的抽象原则的标准:一致性、保守性、无界性、第二保守性、朴实性、稳定性、平和性等等。