复数学习中易与实数混淆的几个问题

实数集是复数集的真子集 ,因此 ,复数所具有的性质实数都具有 ,但实数所具有的性质复数不一定具备。由于教材尚无对此进行全面、系统的分析比较 ,学生在学习复数中出现了不少错误 ,为此 ,笔者根据学生出错的实际情形 ,总结了复数与实数之间极易混淆的七个问题 ,通过正误辨析 ,以警示学生甄别谬误 ,澄清认识。一、ｘ2 ≥ 0 ;ｘ21 +ｘ22 =0 ｘ1 =ｘ2 =0当ｘ∈Ｒ时成立 ,当ｘ∈Ｃ时 ,不一定成立例 1、在复数范围内解方程 :　　ｘ4 +1ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =4错解 :由原方程可得 :(ｘ2 -1ｘ2 ) 2 +(ｘ -1ｘ) 2 =0 ,则ｘ2 -1ｘ2 =0ｘ-1ｘ =0　　即 ｘ …     

函数值域的求法及其策略

求函数的值域是一个比较复杂的问题 ,也是很重要的问题 ,因为它和求函数的最值问题紧密相关 ,同时也是高考命题的热点之一。因此 ,掌握函数值域的求法是至关重要的。一、反函数法。例 1:求函数ｙ =2ｘ -3ｘ 1的值域。解 :由ｙ =2ｘ -3ｘ 1得ｘ =ｙ 32 -ｙ,∴ｙ≠ 2故原函数的值域为{ｙ|ｙ∈Ｒ且ｙ≠ 2 }小结 :分子、分母中只有一次项的可用反函数法。另解 :此类题目也可采用“分子常数法。”解 :ｙ =2ｘ -3ｘ 1=2 (ｘ 1) -5ｘ 1=2 -5ｘ 1≠ 2二、判别式法。例 2 :求函数ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ 1的值域。解 :由ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ…     

巧用数学知识解决物理问题

运用数学知识解答物理问题的能力 ,是高考重点考查的能力之一。因此 ,我们在平时的教学中 ,把数学“工具”渗透到物理教学中 ,往往能使问题变得更明了、简捷 ,能更好地解决物理教学上的难点、难题。一、巧用数学知识能把问题说得更清楚1 .共点力作用下物体的平衡条件是 :合力为零 ,即Ｆ合 =0 ,在正交分解中可表示为 :Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0以上由Ｆ合 =0 , Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0 ,若能有意无意地运用数学知识 ,就能使问题变得更明了。在数学中有一类特殊方程的求解方法 :如(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =0 ,即两数的平方和为零 ,则只有 ｘ -ａ=0ｙ -ｂ=…     

x~2+a的值为完全平方数的充要条件及应用

若a为非零整数时,式子x~2+a的值要为完全平方数(即某一整数的平方),x必须是整数,可否存在某些整数x,使x~2+a的值为完全平方数呢? 本文对这方面的问题和它的一些应用,作了初步探讨,现整理如下,敬望批评指正。     

解析函数唯一性定理的一个应用

<正> 在讨论解析函数时,需要把一个用实变量 x,y 表示的复函数化为用单复变量 z 表示的复函数。例如已知函数U(x,y)+iV(x,y)=e~xcosy+X~3-3xy~2+i(e~xsiny+3x~2y-y~3)因为 U_x=e~xcosy+3x~2-3y~2=V_yU=-e~xsiny-6xy=-V_x在 Z 平面上,C-R 条件处处满足。所以所给函数在 Z 平面上解析。现在把它化为变量 Z 的函数。e~xcosy+X~3-3xy~2+i(e~xsiny+3x~2y-y~3)=e~x(Cosy+isiny)+(X~3+3x~2yi-3xy~2-y~3i)=e~x·e~(iy)+(x+iy)~3=e~z+Z~3在化简此类式子时,究竟那几项结合才能顺利地进行下去,这是不易一眼看出的。     

圆锥曲线中的切线和弦新探

关于圆锥曲线中的切线 ,中点弦和切点弦问题 ,题目繁多 ,特别是含有字母参数的 ,解决往往使师生既感到困难又十分烦琐。根据自己多年的教学实践 ,现对解决这类问题提出新的探讨。设ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ。定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,用ｘ0 ｘ、ｙ0 ｙ、12 (ｘ0 ｙ ｘｙ0 )、12 (ｘ ｘ0 )、12 (ｙ ｙ0 )分别去代ｆ(ｘ,ｙ)中的ｘ2 、ｙ2 、ｘｙ、ｘ、ｙ,代换后所得的式子记为ｆ1 (ｘ ,ｙ) ,即 :ｆ1 (ｘ ,ｙ) =Ａｘ0 ｘ Ｂｘ0 ｙ ｘｙ02 Ｃｙ0 ｙ Ｄｘ ｘ02 Ｅｙ ｙ02 Ｆ命题 1 :设ｆ(ｘ ,ｙ) =0表示圆锥曲线Ｃ ,如果…     

关于不定方程x3+1=7py2

设p=3k+2,k(≠)3(mod8),k(≠)7(mod8)为素数.利用递归数列,同余式,平方剩余以及Pell方程解的性质.证明了关于不定方程x3+1=7py2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

初中代数教学中几个心理学问题的初步商榷

语言与思维是不可分地联系着的。语言是思维的武器,是交流思想的工具。人们的思维依靠语言来进行,同时人们用语言来表述理解了的思维内容。对于数学教师来说,发展学生的语言是一项重要的任务。在代数教学中,教师讲述各种概念、定义、公式和法则等,要经常地逐步地用新的词句来发展和丰富学生的语言。忽视数学语言的教师是不少的,有些教师在黑板上写着(a+b)~3,而口头上却漫不经心地说出(a+b)~2,把“立方”说成是“平方”,这样一字之差,会使基础不良的学     

巧设错例激发兴趣

进入初中阶段 ,由于课程不断加深和增多 ,学生常常出现解题失误的现象。只要教师经常去分析和总结学生在学习过程中出现的错误 ,并利用这些错误积极改进教学方法 ,就能达到激发兴趣 ,启发思维 ,培养能力 ,提高教学质量的目的。1 .利用错误 ,预防失误。在教学中 ,利用学生学习教材时经常出现的典型错误 ,在备课时 ,有针对性地安排解决 ,做到防患于未然。例如 :解一元二次方程ｘ - 1 -ｘ3 =2学生经常这样解 :去分母 ,得 3ｘ - 1-ｘ =6导致这种错误的原因是 :不明确分数线的括号作用。因此 ,在教学中 ,可要求学生先将原方程写为ｘ - ( 1 -ｘ) /…     

丢番图方程x~3+27=67y~2整数解的研究

利用递归数列、同余式和平方剩余研究了丢番图方程x~3+27=67y~2的整数解,并求出了它的全部整数解为(x,y)=(-3,0),(1320,5859).     

稀土铕掺杂纳米发光薄膜的制备及性质研究

利用溶胶-凝胶法合成了稀土离子Eu3+掺杂的氧磷灰石稀土硅酸盐Ca2Y8(SiO4)6O2/Eu3+发光薄膜,研究表明,稀土离子Eu3+在Ca2Y8(SiO4)6O2基质中占据低对称性格位6h(Cs),并以其特征的红光发射(5D0-7F2)为主。     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

对钾的容量测定法的改进

1.应用加入乙醚的办法使KHC_4H_4O_6迅速沉出,指示剂在等当点的变色也很明确易见,效果较好。2.Na~+、Mg~(2+)、Cl~-、SO_4~(2-)等离子存在的量虽较多,但对K~+的测定并未发现有干扰影响。3.NH_4~+的除去仍嫌麻烦,需要做进一步实验。     

对称轴不平行坐标轴的二次曲线

在解析几何中,有时会遇到对称轴不平行坐标轴的二次曲线,如何由这种二次曲线的位置情况求其方程呢?用坐标轴旋转变换去求,这样解题过程将显得较长,以下介绍一种快速求法。为此,先对二次曲线的标准方程作出几何解释:(1)ax22+by22b2x2+a2y2=a2b2这是长轴在x轴上短轴在y轴上的椭圆方程。而x2=|x|2,表示椭圆上任意一点P(x,y)到短轴距离的平方;y2=|y|2表示椭圆上任意一点P(x,y)到长轴距离的平方。由此知,椭圆具有如下属性:椭圆上任意一点P到短轴距离与短半轴的积,以及P到长轴距离与长半轴的积,两者平方和等于长半轴与短半轴之积的平方。(2)同样…     

2,3-二氰基-2,3-二(p,m-甲氧基苯基)丁二酸二乙酯在苯乙烯中的分解动力学

:用膨胀法测定了 2 ,3-二氰基 - 2 ,3-二 (p ,m -甲氧基苯基 )丁二酸二乙酯 (meso/dl=0 .15 6 9)在苯乙烯中的分解动力学 .与以前的实验结果相比较 ,dl异构体含量增加 ,分解活化能增大 .所得活化参数Ed =88.5 4kJ/mol,ΔS≠ =- 5 8.78J/mol.K .     

化参数方程为普通方程中一个不可忽视的问题

参数方程 ｘ =ｆ (ｔ)ｙ =ｇ (ｔ) ｔ为参数 ,函数ｘ =ｆ (ｔ)的值域为ｐ ,ｙ =ｇ (ｔ)的值域为Ｑ (Ｐ、Ｑ∈Ｒ) ,消去参数ｔ后得Φ (ｘ ,ｙ) =0 ,则普通方程Φ (ｘ ,ｙ) =0需在Ｘ∈Ｐ ,Ｙ∈Ｑ的条件下与原参数方程等价。不少同学在学过参数方程后 ,对化参数方程为普通方程时 ,往往误以为 :只需把参数消去 ,就算完成了 ,而不去注意所给参数方程与所化得的普通方程是否等价 ,结果得出许多错误结论。下面引两例说明 :例 1、求曲线 (Ｉ)Ｘ =ｃｏｓ2θ - 1………… (1)　　　　　θ为参数Ｙ =1+ｃｏｓθ…………… (2 )与直线ｙ =3Ｘ + 1的交点…     

K_(2n)完美1-因子分解的一些结果

K_(2n)的1-因子分解称为完美的,如果它的任意两个不同的1-因子的并形成K_(2n)的Hamilton圈.1963年,A.Kotzig猜想是:n≥2时,K_(2n)有完美1-因子分解,该猜想已成为图论和组合设计中最难的未解决的问题之一。本文利用有限城上的强初子和计算机构造了K_(12168)和K_(16808)的完美1-因子分解。     

从2001年“3+x”文科考卷特点浅谈高中地理复习

当今世界 ,国际竞争日趋激烈 ,经济竞争、综合国力的竞争 ,实质上是科学技术的竞争。归根到底 ,是民族素质的竞争。伴随着科学技术的日新月异 ,学科间不断融合与渗透 ,这对人的综合素质提出了更高的要求。所以教育部做出决定 ,从 1 999年广东最初试行“3 +ｘ” ,吉林、山西、浙江、江苏在2 0 0 0年也试行“3 +ｘ”高考科目 ,随后 ,2 0 0 2年全国除港、澳、台外 ,全部实行“3 +ｘ”高考。现从江浙卷的 2 0 0 1年“3 +ｘ”文综试卷特点出发 ,浅谈高中地理复习策略。一、江浙卷的 2 0 0 1年“3+ｘ”文综试卷特点(一 )题型简单试卷共分第Ⅰ卷和…     

两个恒等式的证明

在初等代数里 ,我们常常可见到这样的恒等式 :若 ａｂ=ｃｄ,则　　 (ａ +ｂ +ｃ) 2 +(ｂ +ｃ +ｄ) 2 +(ａ -ｄ) 2　　 =(ｃ +ｄ +ａ) 2 +(ｄ +ａ +ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 .有趣的是 ,上式中将 2替换为 4也成立 .即　　 (ａ +ｂ +ｃ) 4+(ｂ +ｃ +ｄ) 4+(ａ -ｄ) 4　　 =(ｃ +ｄ +ａ) 4+(ｄ +ａ +ｂ) 4+(ｂ -ｃ) 4.事实上 ,我们引进　　α =ａ +ｂ +ｃ ,　β =-ｂ -ｃ -ｄ ,　γ =ｄ -ａ ,　　α′ =ｃ +ｄ +ａ ,　β′ =-ｄ -ａ -ｂ ,　γ′ =ｂ -ｃ .它们满足　　α +β +γ =0 ,　α′ +β′ +γ′ =0 .这样 ,上述恒等式就变成 :若ａｄ =ｂｃ,…