微分学基本定理中的辅助函数

在微积分学中,辅助函数的作用就如几何学中添辅助线一样在很多定理的证明中起着重要的作用,尤其在微分学的基本定理及其应用这部分内容中其作用更为显著。如在著名的微分中值定理证明过程中,在Taylor公式的推导,L＇Hospital法则的导出及不等式定理的证明等,辅助函数无疑起着关键的作用。然而在一般的数学分析教材中都未化笔墨加以说明,这样使初学者往往感到迷惑而陷入困境。     

微分中值定理在解题中的若干应用

讨论了微分中值定理的内在联系及在解题中的应用,利用微分中值定理讨论导函数零点的存在性,研究函数性态,证明不等式和求极限等.     

辅助函数的构造方法探寻

利用辅助函数解题,是数学分析中常用的重要方法。本文试图从不等式的证明和微 分中值定理的应用两个方面,探讨构造辅助函数的一些方法。     

柯西中值定理的证法探究

在证明柯西中值定理时,不易找到证明的思路,尤其是不易找到合适的辅助函数.而从柯西中值定理证明的基本思想出发,当经过细致的思考后,可发现引入辅助函数的六种思考方法.     

微积分中值定理的统一证明及推广形式

Cauchy中值定理统一了微积分中值定理各种形式,从而建立了微分中值定理和积分中值定理之间的内在联系.以Rolle中值定理为基础,借助不同形式辅助函数可对其它几个中值定理作出多种形式的统一证明;利用Taylor公式可以进一步导出微积分中值定理的推广形式.     

一个不等式的推广及其应用

本文先用泰勒中值定理证明一个不等式,并加以推广,然后导出若干著名不等式。 定理1:设函数f(x)在(a,b)满足f"(x)>0(或f"(x)<0),则对任意的x_k∈(a,b)及正数     

Rolle定理的推广及应用

微分中值定理是数学分析中很重要的基本定理,在数学分析中有着广泛的应用。它是沟通函数及其导数之间的桥梁,是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具。利用微分中值定理可以论证方程的根的存在问题、方程根的个数问题以及根的存在区间问题,也经常用于证明一些含有导数的等式。在形式结构上,Rolle定理是中值定理的基础,一方面它包含在其它中值定理之中,另一方面其它中值定理的证明又往往通过Rolle定理来实现,但该定理要求自变量的范围是闭区间,这就使某些问题的解决受到了限制。主要将Rolle定理推广到有限开区间和无穷区间,用两种方法进行证明,并且举例说明其应用。     

Lagrange中值定理证明数学不等式

本文利用Lagrange中值定理的理论,给出证明数学不等式的两种方法。     

关于柯西微分中值定理的一种推广

微分中值定理是微积分学中的重要定理,其中柯西中值定理的应用尤为广泛.为拓展它的应用范围,利用相同的手法,将涉及两个光滑函数的柯西微分中值定理推广到了n个光滑函数的情形,得到另一种推广的微分中值公式.     

Taylor中值定理证明对数学教学方法的启示

泰勒（Taylor）中值定理是微分学中的重要定理之一，在一般的数学分析或高等数学教材中，该定理的证明是先构造函数的n次泰勒（Taylor）多项式，然后再给出证明。本文给出一个别于传统的证明，这种证法渗透了数学中常用的两种分析问题的重要方法，即等量代换的“换位思考”法和构造辅助函数法。教学实践表明，这种证明方法简单、逻辑思雏强，不仅有利于学生对Taylor中值定理的理解，而且易于掌握和应用。     

复合指数函数泰勒系数之不等式

本文目的在综合叙述及推导复合指数函数的幂级数之系数间相关不等式．其特殊情形为Milin和lebejev首先证明，在单叶函数理论起着非常重要的作用．在此我们完全摆脱单叶函数关系叙述．     

一类新的排序不等式

本文以微分中值定理为工具,建立了一类新的排序不等式,而经典的排序不等式仅是它的一个简单特例.     

微分方程在构造微分中值命题的辅助函数中的应用

众所周知,Lagrange定理、Cauchy定理[1]及其它许许多多微分中值命题的证明均借助于构造一个适当的辅助函数。然而,如何作辅助函数,如同作几何证明中的辅助线,需要较高的技巧,无一定法则可循,这给教学带来了难处。文[2]给出了一种辅助函数的“统一”构造法,只需按照一套固定的程序即可。本文利用简单微分方程的解构造出中值问题的辅助函数,从而得到寻求辅助函数的一种新方法。     

凸函数几个定义的等价性、判别及某些应用

本文给出凸函数几个定义的等价性,并用较简明的方法证明了几个判别定理。最后以例说明了函数的凸性在某些不等式证明上的初步作用。     

关于一Qi型积分不等式指数推广

利用格玛函数和柯西中值定理建立了一Qi型积分不等式的指数推广的两结果,将此Qi型积分不等式的成立范围由正整数拓广至正实数,这从另一角度肯定地回答了2000年F.Qi教授提出的一开问题.另外还修正了2006年Chen和Kimball为回答F.Qi教授开问题所得的一个结果.     

关于Rolle定理的评注

Rolle定理是微分中值的基本定理 ,在微积分学中起着重要作用。关于 Rolle定理有着多种形式的推广。本文得到了如下有意义的结论。设函数 y=f( x)在区间 I的内部可导 ,在区间 I上连续 ,若在区间 I上存在三个点 x1 ,x2 ,x3 ,x1 相似文献   

有序分拆的几个主要定理的点列推证法

整数的分拆理论在组合学、图论和贝论里起着重要作用。本文我们借助于点列证明几个有序分拆的主要定理,此方法比目前的母函数法或分配法简单。     

微分中值定理证明中辅助函数的一种统一构造法

众所周知,Lagrange定理、Cauch定理、Taylor定理以及许许多多与微分中值定理有关的命题、其证明均借助于构造一个适当的辅助函数。然而,如何构造辅助函数,如同作几何证明题中的辅助线,需要较高的技巧,无一定法则可循,这给教学带来了难处。     

微分中值定理研究近况

对近十年来我国关于微分中值定理的推广、证明方法、中间点的渐近性及与定理有关的证明题中辅助函数的构造等问题的研究进行了综合评述。     

二元函数Taylor公式“中间点”的渐近估计式

研究了二元函数Taylor中值公式"中间点"的渐近性态.利用比较函数,在一定条件下证明了二元函数Taylor中值公式"中间点"一个新的渐近性定理,获得了新的渐近估计式.