一类微分方程线型积分因子的存在定理及应用

本文给出了微分方程M(x,y)dx N(x,y)dy=0线型积分因子的定义,得到了线型积分因子存在的充要条件和计算公式。     

解一阶隐方程时容易混淆的一个问题

一阶微分方程的一般形状为F(x,y,y′)=1 (1)当(1)满足隐函数定理的条件即(?)0时,可以将 y′解出,得到一阶显方程y′=f(x,y)或M(x,y)dx N(x,y)dy=0则可求解,然而,由     

波发夫方程的积分因子

本文讨论波发夫方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(l)的积分因子,其中P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)均具有一阶连续偏导数,指出它具有某些积分因子的充要条件.我们的主要结果是给出积分因子的一般表达式,从而给出了波发夫方程的分组解法。     

全微分方程求通积分的简化公式

<正> 设二元实函数P(x,y)和Q(x,y)在xoy平面的单连通区域D内有连续偏导数.在常微分方程教材中.给出了一阶全微分方程.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)求通积分的公式(见[1],P42):     

高阶变系数线性微分方程的特解求法

一般的高阶线性微分方程,没有较为普遍的解法,处理问题的基本原则是降阶。本文首先介绍在降阶法中起重要作用的一个定理,然后给出某些类型方程特解的求法,以解决降阶法中的关键。一、一个定理定理1.1 函数 y=Ψ(x)e~(∫φ(x)dx) (1.1) (Ψ(x)为待定的有直到n阶导数的函数,φ(x)为待定的有直到n-1阶导数的函数)是n阶齐线性微分方程。     

运用待定函数法解一类一阶微分方程

本文运用待定函数法,给出了一类一阶微分方程的解法,推广了文[1]、[2]所研究的有关结论。 我们考察方程 φ(x)f'(y)dy/dx+[ P(x)φ(x)+φ'(x)] f(y)=θ(x)其中θ(x),P(x)是x的连续函数,φ(x),f(y)是x,y的连续可微函数。 将(1)整理为     

对水平渐近线定义的探讨

在一般的《高等数学》教材中,曲线y=f(x)的水平渐近线是由极限定义的,即,如果limf(x)=A,则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.该定义以及它的一般求法在实际问题中得到了广泛的应用,但定义中所包含的一种情形在教材中并没有得到明确,以致于在教学中教师和学生对此产生困惑。     

一个新的一阶常微分方程的可积类型

本文借用文[3]的思想方法,给出了一类一阶常微分方程可积的充分条件及其通积分,由此还可以推得许多新的可积型和古典可积的一阶常微分方程及其通积分,大大推广了文[1]、[2]、[3]的有关结果。定理.设P、Q、F∈C,φ、f_1.f_2.f_3h∈C′,并且φ(x)>0、f_1(y)>0、f_2(y)>0、f_3(y)>o、h(x)>o、F(u)≠0,K、a、β为任意实常数(β≠0),如果满足条件     

非线性方程解的连续性(英文)

本文主要目的是给出非线性微分方程{x.=h(y)=F(x)y.=-1(x,y)k(y)+e(t{)(E1)的解的连续性的一些充分条件。我们获得了两个准则确保系统(E1)的解持续连续。     

积分顺序可交换的较弱条件

<正> 关于含参量积分顺序可交换的条件,一般教科书上都表述为: 定理1 若f(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则 integral from n=h to b(dx) integral from n=c to d f(x,y)dy=integral from n=c to d(dy) integral from n=h to bf(x,y)dx。 如所周知,其中“f(x,y)在R[a,b;d]上连续”的条件是很强的,用它刻划积分顺序的可交换性甚不理想。比如     

分部积分公式的一个应用

应用分部积分法 ,讨论了不定积分∫f(x) g(x)dx的求法 ,其中 f(x)可n次求导数 ,g(x)可n + 1次求积分。举例说明了所得结论的具体应用     

二阶全微分方程和积分因子

一、二阶全微分方程 首先考察二阶变系数非齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y′+P_2(x)y=R(x) (1)和对应的二变系数齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y~′+P_2(x)y=0 (2)定义1.若方程(1)和(2)的左端恰是某一个一阶微分式的导数:     

对称轴不平行坐标轴的二次曲线

在解析几何中,有时会遇到对称轴不平行坐标轴的二次曲线,如何由这种二次曲线的位置情况求其方程呢?用坐标轴旋转变换去求,这样解题过程将显得较长,以下介绍一种快速求法。为此,先对二次曲线的标准方程作出几何解释:(1)ax22+by22b2x2+a2y2=a2b2这是长轴在x轴上短轴在y轴上的椭圆方程。而x2=|x|2,表示椭圆上任意一点P(x,y)到短轴距离的平方;y2=|y|2表示椭圆上任意一点P(x,y)到长轴距离的平方。由此知,椭圆具有如下属性:椭圆上任意一点P到短轴距离与短半轴的积,以及P到长轴距离与长半轴的积,两者平方和等于长半轴与短半轴之积的平方。(2)同样…     

一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

方程Y′+P(X)Y=Q(X)的一种解法

对于一阶线性微分方程 y′+p(x)y=Q(x),(其中 p(x),Q(x)是 x 的连续函数)在求其通解时,除介绍常数变易法外,还可给学生介绍如下方法,例1 求方程y′+ay=0 (1)的通解,其中 a 为实常数。解:利用变量分离法即得通解     

高阶变系数线性微分方程的特征值解法

本文主要讨论高阶变系数线性微分方程P_n(x)y~(n)+P_(n-1)(x)y~(n-1)+……+P_1(x)y~’+P_0(x)y=0的特征方程的特征值解法.     

关于一阶常微分方程常数变易法的教学

<正> 笔者用中山大学数学力学系编的《常微分方程》作教材,先后在三届五个教学班中进行了教学实践。有些做法收到了一定的效果。现就一阶常微分方程的基本解法之一——常数变易法的教学,谈一谈初步做法和一些肤浅体会,以求指教。一阶线性常微分方程(dy)/(dx)=P(x)y+Q(x) (1)中,P(x)、Q(x)是已知的连续函数,若 Q(x)≡O,则(dy)/(dx)=P(x)y (2)叫做方程(1)相应的齐线性方程。教课书和其他参考书大都采用常数变易法求其通解。为了说明问题,先把具体做法列于下:     

再认识正反函数图象的关系

通常,对正反函数图象的关系是这样认识的:本来函数y=f(x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象是同一的,但将反函数x=f~(-1)(y)中的x与y交换位置之后,函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象就不同一了,并且这两个图象关于直线y=x对称。现在,笔者从一般的函数及其图象的定义出发,导出与上述相反的结论:函数y=f)x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象根本不同,这根x与y位置交换无关。同时讨论了这两个图象在坐标平面上的表示,并得到一个相应结论。为了把这些问题阐述清楚,有必要回顾一点基础知识:     

核物理中一个非线性积分方程存在唯一解的充分条件

研究了核物理中的非线性积分方程1=(?)(x)+(?)(x)integral from n=0 to 1(dx/x)R(x,y)/x~2-y~2(?)(y)dy,得到了存在唯一解的一个充分条件.所得结论改进了若干文献中的已知结果.     

一类指数型算子的一致逼近

由文献[4]我们知道,当P(x)不同时,由齐次偏微分方程(α/αx×w(n,x,u)=n/p(x)×w(n,x,y)·(μ-x)及规范化条件integral from -∞=1 to ∞×w(n,x,u)du=1确定出的指数型算子integral from -∞=1 to ∞×w(n,x,u)f(u)·du亦不同。文[1]讨论了p(x)是至多二次的多项式时指数型算子的一致逼近问题,本文将就P(x)的更一般的情形给出一致逼近的正定理及饱和类。