积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的:当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a)),其中ξ∈[a,b]本文将对该结论做一点推广,即当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a),其中g∈(a,b)。     

Cauchy定理的一个证明

官兴隆先生用两个引理给出了拉格朗日中值定理一个新证明,证明采用了逼近的方法,很有特色。本文给引理一一个新的证明,并得出一个推论,仍沿用逼近的方法,给Caucny定理一个新证明。 Caucny定理若i)函数f(x)与g(x)在[a,b]上连续;ii)f(x)与g(x)在(a,b)内可导;iii)g(x)≠0;iv)f(a)≠g(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使     

微积分中值公式推广

本文先给出一道分析命题,然后将它与微积分中值公式联系起来。 命题1 设函数f(x)在区间[0,1]上可导,而且f(0)=0,f(1)=1,则对任何sum from i=1 to n(α_i),0≤α_i≤1,存在[0,1]中n个不同数x_1,…,x_n,便得sum from i=1 to n(a_i/integral to 1(x_i)) =1 证n=1时,α_1=1,结论显然成立,下面不妨0<α_1<1,当n=2时,因为0<α_1<1,所以存在ξ_1∈(0,1)使得f(ξ)=α_1,由微分中值定理得:     

一个不等式的推广及其应用

本文先用泰勒中值定理证明一个不等式,并加以推广,然后导出若干著名不等式。 定理1:设函数f(x)在(a,b)满足f"(x)>0(或f"(x)<0),则对任意的x_k∈(a,b)及正数     

关于Rolle定理的评注

Rolle定理是微分中值的基本定理 ,在微积分学中起着重要作用。关于 Rolle定理有着多种形式的推广。本文得到了如下有意义的结论。设函数 y=f( x)在区间 I的内部可导 ,在区间 I上连续 ,若在区间 I上存在三个点 x1 ,x2 ,x3 ,x1 相似文献   

关于映象面积为有界的解析函数的几个问题(Ⅱ)

本文是文[1]的继续,在本文中,我们首先改进了文[1]中的定理4,并证明了本文中,关于平均模的定理1与定理2。在文[2]中有如下关于|z|o,那么W=f(z)的反函数在圆域|W|≤(aR)~z/6M内有单值解析的分支z=g(w),满足g(o)=o。本文将对S_m类函数进行研究,得到相应的两个定理。     

基于亚纯函数微分多项式的一个正规定则

设F是区域D内的亚纯函数族,c(z),b(z)为D内两个不取零值的解析函数,(A)f∈F,f(z)的零点的重数大于等于k,k为正整数. 若L(f)(z)=b(z)(←→)fL(f)=c(z),L(f)(z)=f(k)(z)+a1f(k-1)(z)+…+ak-1f'(z)+akf(z),其中,ai(i=1,2,…,k)为D内的解析函数,则F在区域D内正规.     

非线性项至多增长的三点边值问题解的存在性

应用Schauder不动点定理,讨论三点边值问题x(″t) f(t,x(t),x(′t))=0x′(0)=0,x(1)=αx(η)解的存在性,其中α≠1,η∈(0,1),非线性项f满足Caratheodory条件和至多增长条件.通过求证相应的Green函数有界与非线性算子全连续,得到了三点边值问题至少有一个解存在,并给出其解的存在范围.     

涉及微分多项式的亚纯函数正规性

研究了涉及微分多项式的亚纯函数的正规性.继承Schwick的思想将正规族与分担值联系起来,对一族亚纯函数中函数与该函数微分多项式分担值的情况进行研究,得出亚纯函数的正规性.已知定理:设F为区域D上的全纯函数族,k为正整数,a,b,c和d为有穷复数,b≠0,c≠0且b≠a,若对f∈F,f-d的零点重级至少为k,f=0f(k)=a且f(k)=bf=c. 则F在D上正规.本文将这个定理推广到亚纯函数情形,并且将f(k)用f的微分多项式来代替,结论仍成立.     

例谈一致连续与连续的关系

函数f(x)在区间I上一致连续,可得f(x)在区间I上连续,反之不一定。若I为有限闭区间[a,b],据Cantor定理,f(x)在[a,b]上连续等价于f(x)在[a,b]上一致连续。从几个具体例题的证明中,本文探讨了开区间以及无穷区间上一致连续与连续的关系,并由此解决两个相关的问题。     

weierstrass多项式逼近定理的一个应用

设f(x)是闭区间[a,b]上的实值连续函数,则存在多项式序列Pn(x),使当n→∞时在[a,b]上一致收敛于f(x),其中     

区间上具原函数的函数性质

在区间 I 上存在原函数的函数,或已知区间上可导函数的导函数,具有一些特殊的分析性质.本文即是对这类性质的部分探讨.定理1 设函数 f(x)在区间 l(开的或闭的或半开半闭的)上具有原函数 F(x),则函数 F(x)至多存在振荡间断点.证设 x_0∈I,且右极限 lim f(x)存在,取[x_0,x]I,则函数 F(x)在闭区间[x_0,x]上满足     

台劳公式余项中点“ξ”的若干分析性质

台劳中值定理保证了将函数f(k)利用台劳公式展开时余项中点“ξ”的存在性。 Ruben Mera在[1]中对ξ的某些性质进行了研究,本文在此基础上,对ξ的性质进行了较为系统的综合讨论,证明在函数f(x)满足一定条件时,ξ是唯一的,因而ξ可作为x的函数是:ξ=ξ(x),并且还证明了ξ(x)的连续性,可导性以及可将ξ(x)展成台劳台式。     

反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。     

具有p-Laplacian的特征值Dirichlet问题

利用变分方法和B.Ricceri的一个三临界点定理,在适当的假设下,建立了具有p-Laplacian的非线性自治特征值Dirichlet问题:{(φp(u′(t)))′+λf(u(t))=0,a相似文献   

有关连续函数的定理

一、问题的提出连续函数具有下面的性质:定理若 f(x)在[c.d],上连续,则有c′∈[e.d],d′∈[c.d],(c′相似文献   

此变换非彼变换

在不定积分和定积分的计算问题中,都有换元积分法.二者大体相似,又有重要区别.不定积分的换元法的一般叙述是:设x=φ(t)在[α,β]上可导,且有反函数在t=φ_(x)~(-1),α≤φ_(f)≤b,f(x)在[α、β]上有定义,如果f[φ_(t)]φ′_(t)有原函数G(t),则在[a,b]上存在,且     

(R)积分顺序可交换的充要条件

本文在文[1]的基础上把含参量的(R)积分顺序可交换的条件再加以削弱,得到如下定理:设f(x,y)在R[a,b;c,d]上定义并有界,则成立的要条件是f(x,y)分别对x、y均(R)可积。     

关于Gr(o)zch问题的一个注记及万有Teichmüller空间一性质的证明

朱华成等在"Gr(o)zch问题的域内特征"一文中给出了拟共形映射的Schwarz型引理:设f(z)是单位圆上的k-拟共形自同胚,若f(0)=0,lim z→G (│f(z)│/│z│1/k)=1,则:f(z)=eiθ z│z│1/k-1,θ是实数.原文等价证明部分对θ是实数的证明未说明关键点h.(θ)跟r无关(其中z=reiθ),本文做了补充研究;另给出了文献[3]中定理2.1的简洁证明.     

P算子与积分微分方程的非线性边值问题(Ⅰ)

本文利用部分逆算子理论,及线性边值问题的Green函数方法,结合上下解方法讨论了形如 x″=f(t,x,Tx) u相似文献