关于丢番图方程x~n-2y~n=1和Erds猜想

本文运用Baker方法证明了：方程x~n-2y~n＝1，x，y∈Z＼｛0｝，（x，y）≠（-1，-1），n∈N，n＞2，至多有432组解（x，y，n），而且这些解都满足n≤3231以及|x|＜e~(10)~(208460)。     

关于幂和丢番图方程S5（x）=y^n

获得了幂和丢番图方程Ｓ５（ｘ）＝Ｙ＾ｎ有正整数解的充要条件：得到了当ｎ＝２时方程有无穷多组正整数解的解集公式：证明了当ｎ＝３和≥４为偶数时，该方程公有解（ｘ，ｙ）＝（１．１）。     

关于丢番图方程1＋q＋q~2＋…＋q~（y－1）＝ap~x（Ⅱ）

丢番图方程１＋ｑ＋ｑ２＋…＋ｑｙ－１＝ａｐｘ，ｐ，ｑ，ｘ，ｙ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｐ．ｑ）＝１，ｘ＞１，ｙ＞２的解的上界，在２≤ｐ≤５０，２≤５０的情形，给出了当ａ＝１时解的最小上界。     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

关于丢番图方程∑～（n－1）_（k＝0）［1＋（20s十3）k］~r＝［1＋（

本文证明了：当ｒ、ｎ为正整数，ｓ为非负整数时，丢番图方程无整数解     

关于丢番图方程x2＋（x＋p）2=z2

从两个最基本的不定方程x2＋y2=z2和u2-2v2=p（其中p为奇素数）以及它们的相关定理出发,给出了不定方程x2＋（x＋p）2=z2的正整数解的通项公式.     

关于丢番图方程x~3-1=Dy~2

本文证明了x~3-1=Dy~2(D>0,不含平方因子,且被6k+1形素数整除)当D<100,D≠26,31,7,38时,除D=61,仅有解(x,y)=(13,±6)外,其它情况无非零整数解。     

关于丢番图方程a~x-b~yc~z=±1

本文用初等方法讨论了丢番图方程a~x-b~yc~z=±1在{a,b,c}={2,5,p}时的情形,得到了许多有用的结果,求出了在p<100时它的全部正整数解。     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

关于丢番图方程x~3±5~3=3py~2的整数解

设p为奇素数,运用同余式、平方剩余等初等方法得出了丢番图方程x3±53=3py2无正整数解的两个充分条件.     

丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)

本文运用四次Diophantine方程的性质以及初等方法证明了:丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)至多有2~(w(n))-1个正整数解.当n=p~k时,方程的正整数解为(p,k,x,y)=(5,1,4,30),(29,1,4900,2612610).当n≡2p,p.5,7(mod8)时,方程的正整数解为(p,x,y)=(3,24,420).     

关于丢番图逼近中的一个猜想（I）

证明了Cusich提出的猜想（I）。对于任何的n个正整数α1，α2，…，αn总存在一个实数，使得||αix||≥1/n 1,i=1,2,…n成立，其中||x||表示x到其最近整数的距离。     

关于“丢番图（Diophantus）猜想”的论证

丢番图（Diophantus，约公元246年至330年）猜想： 如果α、δ是两个正整数，且2αδ是完全平方数，那么：     

丢番图方程x~3+27=67y~2整数解的研究

利用递归数列、同余式和平方剩余研究了丢番图方程x~3+27=67y~2的整数解,并求出了它的全部整数解为(x,y)=(-3,0),(1320,5859).     

关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数,a非平方数,若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1,（x,D）＝1）有最小解（x,m,Z）＝（b,2α＋1,d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

关于“丢番图（Diophantus）猜想”的论证

自毕达哥拉斯（Pythagoras,约公元前580一公元前500）证明了“勾股定理”之后,在世界范围内,无论是大数学家（如古希腊的柏拉图（Plato,约前427至前347）、丢番图（Diophantus,约公元246年至330年）、中国的刘徽、法国的费玛（Pierre de Fermat公元1601年至1665年）、迪卡尔（Descartes,Rene））还是数以万计的数学爱好者,历经了2500多年的时间,都在不懈的研究“勾股定理”的正整数解（即“勾股数组”）的问题,但始终没有形成定论。     

关于丢番图方程a~X+b~Y=c~Z

设a、b、c为大于1的工整数,a、b、c两两互素,本文给出了方程a~x+b~y=c~x当max{a,b,c}=17时的全部正整数解,共13组。     

关于丢番图方程∑ni=1 ∑nj=1aij xi xj＝0的整数解

当丢番图方程∑ni=1 ∑nj=1aij xi xj＝0有一组不全为0的整数解时,给出了它满足(x1,x2,…,xn)＝1的全部整数解的公式.     

关于Diophantus方程PX~2＋q~（2y＋1）＝2~Z（V）

本文给出了ｍａｘ｛ｐ，ｑ｝≤５３，（ｐ，ｑ）（±３，±５）（ｍｏｄ８），ｐ、ｑ为素数时，方程ｐｘ２十ｑ（２ｙ＋１）＝２Ｚ的全部非负整数解．运用本文给出的方法我们断言方程ｐｘ２＋ｑ（２ｙ＋１）＝２Ｚ恒可解．