高观点下的初等几何之共线问题

根据克莱因变换群理论,欧氏几何是射影几何的子几何.射影几何学的思想理论对欧氏几何具有一定的指导意义,本文仅从几个射影理论就初等几何中的点共线问题的证明进行研究.     

高等几何在初等几何中的应用

高等几何包括仿射几何和射影几何,而欧几里得几何是仿射几何和射影几何的特例,因此本文从仿射和射影两部分,讨论高等几何在初等几何中的应用,从而使学生们在学习高等几何过程中,不但会用更高的观点去认识初等几何,还会用更新的方法去解决初等几何问题。     

仿射变换在初等几何中的应用

仿射变换是几何中的一个重要变换,它是由运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射变换,能使一些初等几何问题由繁化简,迎刃而解。下面介绍仿射变换在初等几何中的一些应用。 一、运用仿射坐标系解题 一般初学者对仿射性标系感到不顺手,习惯于使用正交笛氏坐标系,但掌握其变化规律     

射影几何与初等几何的关联及其应用

《射影几何》是一门历史悠久的科学,它能以较高的观点统一处理各种几何学中的一些问题。在教学中,如何更好地联系中学数学教学和师范专科学校中《初等几何》的教学,使射影几何在初等几何中,有较广泛的应用和实际意义,这是一个有待于不断补充和完善的问题。虽然,初等几何中的任何一个问题,不一定都能用射影几何的方法来解决,但是从内容到解题方法,射影几何与初几何有着密切的联系。笔者试图在此文中,运用射影几何的知识,解决一些初等几何中较典型或较难解决的问题,并寻求其解题规律,使射影几何这门课程真正起到居高临下的作用。抛砖引玉,虚心请教。     

关于矢积分配律和双重矢积公式的一种证明方法

在矢量代数中关于矢积分配律的证明通常都采用“投影旋转法”,在此证明过程中需要说明平行四边形仍变为平行四边形,这实际上是暗引了“平行射影保平行”这一仿射性质,这对于没有学过仿射几何的学生来说无疑是一个难解之谜。如果用初等几何的方法来加以说明将使问题复杂化,这对只有一点粗浅的初等几何知识的学生来讲,不能不说是一个难点。本文所述的是利用刚学过的“矢量在轴上的射影”,“矢量的线性相     

与点变换相切及密切的一维射影变换

射影变换在高等几何中是十分重要的。本文主要讨论三个问题:存在着无穷多个一维射影变换在一对对应的正则点对与一个已知点变换相切;存在着唯一个射影变换在一对对应的正则点对密切于一个已知的变换;与已知点变换逼近到三阶邻域或高于三阶邻域的一维射影变换必须满足一些条件。对于逼近过程的误差也给以考虑。     

射影几何在初等几何解析几何中的一些应用

射影几何是师范院校数学系开设的一门重要基础课程。从几何学的历史可以知道射影几何的诞生过程与欧氏几何、非欧几何,解析几何及几何基础的研究是分不开的。正因为如此,当我们用射影几何的理论来研究初等几何或解析几何中有关问题时就能够显示出“居高临下”的作用。不过当用射影几何理     

几何元素与几何图形

<正> 作为数学中三大部门之一的几何学所研究的对象是某一变换群下图形的不变性质,且按照所涉及到的变换群可将几何学分为三类:运动群下图形不变性质的研究构成欧氏几何;仿射群下图形不变性质的研究构成仿射几何;射影群下图形不变性质的研究构成射影几何学。 构成几何图形的基本东西称为几何元素,普通以点作为几何元素,曲线或曲面都可称作是具有某种特征性质的点的集合,即可看成是动点按某一规律运动的轨迹。     

蝴蝶定理及其推广

本文概述蝴蝶定理的简单历史,用不同方法将蝴蝶定理推广到一般二次曲线,得到定理2、3、4、5,证明蝴蝶定理及定理2～5均为二次曲线某一射影性质,即定理6的特例,最后给出定理6的另外几种特例,从一个侧面反映射影几何、仿射几何与初等几何的内在联系。     

关于相似变换分解的探讨

初等几何变换的理论及其应用,在初等几何的证题、解轨迹题和几何作图中都起着重要的作用.初等几何变换主要包括:合同变换(平移、旋转和反射)、相似变换和反演变换.为了研究初等几何变换之间的联系,从而把一个较为复杂的初等几何变换分解为几个较为简单的初等几何变换之积,在文章[1]、[2]和[3]中均讨论了关于相似变换     

射影空间Desargues定理的推广

众所周知在射影几何里存在着著名的Desargues定理,在射影空间里,此定理及其逆定理合述为一个定理:两个空间三角形ABC与A′B′C′对应顶点的连线相交于一点的充要条件是它们的三对对应边的交点共线。     

一维射影变换与透视对应的关系

本文讨论了一维射影变换与透视对应的关系,从而给出了作任一元素的射影变换的对应元素的方法.     

罗氏三角形内心、重心、旁心存在性的一种证明

罗氏三角形内心、重心、旁心存在性的一种证明马淑云，王阳（南阳师专数学系）欧氏几何中任意三角形存在五心（即内心、外心、重心、垂心和旁心）。罗氏三角形的外心、垂心在文「ｌ］［２］中分别进行了研究，本文用射影几何的观点讨论内心、重心、傍心的存在性。在Ｃａｙ...     

关于配极对应和二次超曲面的一点注记

本文利用n维射影空间的对射对应、配极对应等射影几何理论,推证出关于配极对应和二次超曲面的几个定理。     

扩大欧氏平面上的线段长

本文为解答二次曲线过焦点的弦长问题 ,用射影几何的观点 ,修改了文 [4]的观点 ,证明了有关定理 ,列举了具体例子 ,圆满地解决了广义极坐标下 ,求过极点的线段长的问题 ,并且更一般地解决了扩大欧氏平面上“过某点的线段长”的问题 ,规定了线段长与其两端点间距离的关系     

二次曲线的切线作法

二次曲线的切线用射影几何作法 ,在文〔1〕中已论述。求出切线方程 ,自然可画出切线。可是在实际作图时 ,每次都要求出它的方程 ,未免太麻烦。下面我们根据二次曲线的有关性质 ,给出二次曲线的切线的初等几何作法     

求平面射影变换公式的矩阵方法

一、引言平面射影几何基本定理是:设P_i(i=1,2,3,4)是平面上给定的四点,其中任何三点不共线;P′_i(i=1,2,3,4)是平面上另外任意四点,其中任何三点也不共线,则唯一地确定了一个射影变换,它把P_i分别变换到P′_i(i=1,2,3,4)。若已知P_i、P′_i的坐标分别是(x_1~((i)),x_2~((i)),x_3~((i))),(y_1~((i)),y_2~((i)),y_3~((i)))(i=1,2,3,4),那么可以求出把P_i分别变为P′_i的射影变换式,通常的方法是:设射影变换式为     

关於曲面的初等形式和射影線素的新定义

一、緒論在曲面的射影微分幾何里關于兩個Bornpiani的初等形式和Fubini的射影線素曾經有過各種不同的幾何作图法。Bornpiani最早(1926)給出他的兩个初等形式的幾何意义,但是結果很繁,后來他利用第二次線素比較簡單地解釋了上述兩個形式。此外,A.Terracini也研究過曲面的射影線素。 這篇文章的主要目的在於引用簡单的幾何图形更明确地來解釋兩个初等形式和射影線素;那就是引用與曲面有聯带关系的兩對二次曲線:其中一對是和曲面S在P點的切面與S的交線的兩支分別組成四點接觸的二次曲線,另外一對是和通過曲面S上一點P的漸近曲線的切線曲面与S     

浅谈高等几何的方法在初等几何中的应用

高等几何是初等几何的延拓和扩展,高等几何中的有些原理和方法可以直接用来解决一些初等几何的问题．本文从高等几何中的一些原理和方法出发,结合初等几何中的某些具体问题,探讨了高等几何的思想和方法在初等几何中的应用．     

射影几何教学中反例的运用

本文对射影几何中的反例进行了研究,论述了射影几何教学中充分发掘和运用反例的重要性与必要性,并对射影几何中的反例进行了分类。最后介绍了在教学实践中如何将反例进一步变通和深化。