多元函数的极值与条件极值问题的解法分析

函数的极值问题有着重要的实用价值。一元函数的情形比较简单,因此这里我们只打算讨论多元函数的情形。下面分为两个部份来谈。 (一)普通极值 我们已知,函数f(x_1,x_2,…,x_n)在点P(x_1~0,x_2~0,…,x_n~0)处取得极值的必要条件是: f_(x_i)′(P)=0(i=1,2,…,n)(1)而充分条件则有下面的定理:     

基于求多元函数极值应注意问题的研究

求多元函数极值是高等数学的重要知识点,在数学学习中有着非常广泛的应用。我们在解决实际问题的过程中,经常会碰到求多元函数的最大值或最小值之类的问题,多元函数极值与之关系十分密切,掌握和理解多元函数极值的有关问题对于我们处理实际问题有着很大的促进作用。在求多元函数极值的过程中,有几个问题必须掌握清楚,既多元函数极值的概念,多元函数极值的判定方法,多元函数条件极值以及多元函数极值的求法,对于这些问题,本文将一一进行解答。     

用矩阵讨论多元函数的极值问题

利用矩阵给出了多元函数在稳定点取极值的充分条件,提出了解决两类极值问题的代数方法.     

用不等式求函数的极值

求函数的极值是数学教学中的一个重点.对于某些函数来说,用初等方法求它的极值可能较简便,学生也易于接受.由于极值问题总可借助不等式来表述,本文探讨了用不等式求函数极值的方法.     

Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5     

边坡稳定分析的单纯形法及应用

基于分段线性滑移面的边坡稳定分析，归结为用单纯形法求氏元函数的极值问题；计算 移面和非圆弧滑移面的两个例子，并与现有结果进行了比较。尽管单纯形法求极值不是最快最有效的方法，但是它简单、可靠、灵活、功能多。     

关于分段函数导数的计算

在高等数学中计算分段函数导数时,求分段点的导数,一般都是用导数定义去计算。本文给出一种计算分段函数在分段点的导数的切实可行的方法。 先利用Lagrange中值定理给出下列定理。 定理一:设函数f(x)在区间[x_0,x_0+H](H>0)内是连续的,并且当x>x_0时,f′(x)存在     

化条件极值为无条件极值问题必须注意等价性

则求函数(2)在条件(1)下的极值问题就化为求函数(3)的无条件极值问题了。见参考文献。 倘能如此,一般说来,要比用拉格朗日乘数法求解来得简便。不过,在教学过程中,有一个问题容易被忽视,这就是等价性的问题。 先看下面的例子。     

关于只有一个极值点的连续函数的最值问题

无论在实用上还是在数学分析课的教学中,都经常遇到“求只有一个极值点的连续函数的最大(小)值”。也许是它比较简单,一般数学分析课本都都没有系统地阐述。可是,对于一元函数和多元函数来说,其结论是有所不同的,这又容易为常人所疏忽,初学者则更会混淆不清。下面结合几年来的数学分析课教学实践谈点认识与体会。     

中学物理极值问题的三角函数解法

物理学中的极值问题,用高等数学求解是很简单的,而且非常规范:首先将物理问题写成函数形式,然后令函数对自变量的一阶导数为零,就可以求得取极值的条件,再由其二阶导数是大于零或小于零,则可断定为极小值或为极大值。但是在中学物理的教学中却只能运用初等数学,这时,几乎没有统一的规律可循,必须根据具体问题采用不同的数学方法。本文只讨论中学物理极值问题的三角函数解法。     

几个循环不等式的探讨

给定一个n元函数F(x_1,x_2,…,x_n),若 F(x_1,x_2,…,x_(n-1),x_n)=F(x_i,x_(i+1),…,x_(n+i-1)) (2≤i≤n,约定x_(n+j)=x_j,1≤j≤i-1) 则称F为循环函数。涉及到循环函数的不等式称为循环不等式。 循环不等式有其特有的内在规律,形式新颖而有魅力,在各类数学竞赛中常有所见。国内外对循环不等式的研究颇为活跃,一些有代表性的结论常被推新,也有一些循环不等式的难点至今尚没有完全解决。 本文给出几个较为典型的循环不等式的研究结果。     

凸函数颜森不等式的一个推广及其应用

定义设函数f(x)在区间M上连续,且对任意的,都有 2f(x_1+x_2/2)≤f(x_1)+f(x_2) (1) 则称f(x)为区间M上的凸函数,并记作;如果(1)中的不等号反向,则称f(x)为 区间M上的凹函数,并记作。     

复合函数极值点集的结构

函数的复合是生成新函数的一种重要方法,本文就具有广泛代表性的一类一元复合函数,研究了它的极值点与生成它的函数的极值点之间的内在联系,并给出求这类复合函数极值的一种方法。     

Jensen不等式及其应用

一、Jensen不等式 1.凸函数的定义 设函数f(x)定义在区间Ⅰ上,对x_1,x_2∈I,及λ∈(0,1)若f(λx_1+(1-λ)x_2)≤λf(x_1)+(1-λ)f(x_2)或f(λx_1+(1-λ)x_2)≥λf(x_1)+(1-λ)f(x_2)则称f(x)为定义在Ⅰ上的凸函数(下凸或上凸)     

一类特殊极值及其判定

本文提出了一类特殊的极值问题──间断点处的极值。并给出其判定法     

DUCCI过程

1930年意大利的教授Ducci定义一个函数的定义域和值域是非负整数的四数集合。令 f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(|x_1,-x_2|,|x_2-x_3|,|x_3-x_4|,|x_4-x_1|) f~n(x_1,x_2,x_3,x_4)是f的第n个迭代。Ducci指出:对于x_1,x_2,x_3,x_4的任意选择,存在一个整数N,这样 f~m(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0) m>N     

隐函数极值存在的条件及应用实例

利用隐函数的导数及矩阵的正定性在多元显函数极值方面的应用,讨论了隐函数极值存在的条件,并给出了实例.     

区间上具原函数的函数性质

在区间 I 上存在原函数的函数,或已知区间上可导函数的导函数,具有一些特殊的分析性质.本文即是对这类性质的部分探讨.定理1 设函数 f(x)在区间 l(开的或闭的或半开半闭的)上具有原函数 F(x),则函数 F(x)至多存在振荡间断点.证设 x_0∈I,且右极限 lim f(x)存在,取[x_0,x]I,则函数 F(x)在闭区间[x_0,x]上满足     

函数极值必要与充分条件的椎广

应用矩阵的语言，对一、二元函数的极值必要条件与充分条件作了推广，从而给出了n元函数的极值必要条件与充分条件，为多元函数极值的讨论提供了一种判别方法。     

非参数回归函数估计的一个结果

<正>设Y_1,Y_2,…Y_a是在固定点x_1,x_2,…x_R的几个观察值,适合模型Y_i=g(x_1)+E_i 1≤i≤n这里g( )是〔0,1〕区间上的未知函数,{a_i}是零均值的iid随机变量,且假定0≤x_1≤x_2≤…≤x_n≤1。我们要估计g()。Priestly and chao提出了一种加权核估计方法,即用(2)来估计g(x)。其中K(u)是密度函数,文[1]给出了g_(?)(x)