函数f:R~2→R~1的微分中值定理

本文把一元函数f:R~1→R~1的微分中值定理推广到二元函数f:R~2→R~1上,下面是二元函数z=f(x,y)的微分中值定理。 定理 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,在D内关于x和y的两个偏导数连续,且算子1×2矩阵的范,则对D内任意两点(x_1,y_1)、(x_2,y_2)有     

凸函数颜森不等式的一个推广及其应用

定义设函数f(x)在区间M上连续,且对任意的,都有 2f(x_1+x_2/2)≤f(x_1)+f(x_2) (1) 则称f(x)为区间M上的凸函数,并记作;如果(1)中的不等号反向,则称f(x)为 区间M上的凹函数,并记作。     

任意三角形区域上Bernstein多项式的Lipschitz常数

定理A 如果f∈Lip_Aa,则(?)n∈N,B_n∈(f;x)∈Lip_Aa.值得注意的是,两者的Lipschitz常数是相同的.现在考虑两维情形.设T为平面上以点T_1,T_2.T_3为顶点的三角形,P为平面上的任意一点,(u,v,w)为它的重心坐标,即     

关于可积函数的和仍可积定理的证明

江泽坚、吴志泉合编的《实变函数论》(1961年6月第1版,1986年2月第8次印刷)的89页给出了如下定理; 定理7.若f(x),g(x)都是E[1]上的可积函数,则f(x)+g(x)也是E上的可积函数,且     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

SL(2,R)上一类极大算子的(H_(∞,s)~1,L~1)型

引入函数类Bδ(G//K)={ ∈L1(G//K)|| (t)|≤△-1(t)(1 t)1-δ,δ>0},对f∈Lp(G//K),1≤p≤∞,和极大算子Mδf(x)= | ε*f(x)|,证明了这类算子是(H∞1,s,L1)型的.--原文发表于《数学研究与评论》,2004,24(1):180-184     

一个不等式的推广及其应用

本文先用泰勒中值定理证明一个不等式,并加以推广,然后导出若干著名不等式。 定理1:设函数f(x)在(a,b)满足f"(x)>0(或f"(x)<0),则对任意的x_k∈(a,b)及正数     

一个适用于所有黎曼可积函数的微积分基本定理

<正>〔引理〕若f:〔a,b〕→|R满足李普希兹条件,且在〔a,b〕上几乎处处有f'(x)=0,则f是〔a,b〕上的一个常值函数。 引理的证明除了用到零测集定义外,无须任何测度论的知识。它通常被用来证明:一个几乎处处连续的有界函数必黎曼可积。这里,我们利用它给出微积分基本定理的一个推广形式。     

SL(2,R)上一类极大算子的(H1∞,s,L1)型

引入函数类Bδ(G//K)={φ(*)∈L1(G//K)||φ(t)|≤△-1(t)(1+t)1-δ,δ＞0},对f∈Lp(G//K),1≤p≤∞,和极大算子Mδf(x)=supφ(e)Bδ(G//K)|(φe)*fx)|,证明了这类算子是(H1∞,L1)型的.     

极限函数可积条件的一点讨论

<正> 设[a、b]上的可积函数列{f_a(x)}收敛于极限函数f(x),那么f(x)在[a、b]上是否必可积?肯定的回答似乎要比否定的回答更具有诱惑力,但正确的答案却是否定的,即[a,b]上可积函数列的极限函数在[a、b]上未必可积。下例为证:     

辛卜生公式注释

辛卜生公式是采用“抛物线法”计算定积分所导出一个近似计算公式。 其计算误差不超过这里M是被积函数f(x)的4阶导数绝对值的上界。如果f(x)是三次多项式函数,则误差为0。此时辛卜生公式成为精确计算公式。对此,也可以直接用积分法进行证明。设:     

Sikkema-Bézier型算子对有界变差函数的点态逼近度

构造了两种Sikkema -B啨ｚｉｅｒ型算子Ｓｎ,a(f,x) ,S n ,a(f,x) (它们是Sikkema算子的两种推广 ) ,并研究了它们对有界变差函数的点态逼近 ,得到它们对这类函数点态逼近的最优估计式     

积分中值定理在广义Riemann积分中的推广

文章按着如下方式将积分第一中值定理在广义Riemann积分中做了推广.如果在开区间I(?)R上f(x)有界连续,g(x)非负可积(广义),则对(?)ε>0,(?)ξ∈I使得|∫_If(x)g(x)dx-f(ξ)∫_Ig(x)dx|<ε.     

区间上具原函数的函数性质

在区间 I 上存在原函数的函数,或已知区间上可导函数的导函数,具有一些特殊的分析性质.本文即是对这类性质的部分探讨.定理1 设函数 f(x)在区间 l(开的或闭的或半开半闭的)上具有原函数 F(x),则函数 F(x)至多存在振荡间断点.证设 x_0∈I,且右极限 lim f(x)存在,取[x_0,x]I,则函数 F(x)在闭区间[x_0,x]上满足     

Fejér定理的一种多元推广

将一元傅立叶分析中关于傅氏级数及其共轭级数之间的收敛性关系的 Fejér 定理推广到多元情形。主要结果为定理:若函数 f∈L(E_k)(k≥2)的傅氏积分的球形平均σ_R(f;x)在域 D 内一致收敛,则它的共轭傅氏积分韵球形平均(?)_R(f;x)在其(C,1)可和点处一定收敛。     

Bernstein算子和Bernstein—Kantorovic算子的∧_ω(A)类保持性质

设ω(x)是[0,1]上的上凸连续模函数,记Λ_∞(A)={f∈C[0,1]:ω(f,x)≤Aω(x)},本文得到f∈A_∞(A)(?)L_n(f)∈Λ_∞(A),其中L_n表示Bernstein算子或Bernstein-Kantorovic算子。     

瓦勒·布然逼近定理的引申

C_(2π)表示定义在整个实轴上且具有周期2π的连续函数全体。设f(x)∈C_(2π),称积分 为瓦勒·布然奇异积分。 在N.Л.纳唐松著《函数构造论》中证明了:瓦勒·布然定理:对于一切实数x,一致地有 定理1:若类C_(2π)中的函数f(x)在某个x处存在有限的导数f′(x),则对于这个值x,有     

积函数f(x)·g(x)可微性的判定

两个函数f（x）、g（x）所成之积函数F（x）=f（x）·g（x）是否可做，应看f（x）、g（x）是否分别可做来确定。显然，f（x）、g（x）两者均可微或均不可微，答案都是肯定的。但两者中有一个可微，另一个不可微，其积函数是否可微呢？在通常情况下，答案是不确定的。本文就这一问题作出探讨，并给出积函数f（x）·g（x）可微性的判定。定理1设两函数f（x），g（x）定义在点x0的某个邻域D上，且满足下列条件：i）f（x）在点x0可微；ii）g（x）在点x0不可微，且对于有（A为常数）则积函数f（x）·g（x）在x0点可微的充分必要条件是f（x0）=0…     

单纯形上Durrmeyer—Bernstein算子的Lipschitz性质

本文研究单纯形上Durrmeyer-Bernstein算子的Lipschitz性质,即算子Dn(f)与函数f属于同一Lipschitz函数类。     

关于Gauss-Weierstrass算子线性组合的同时逼近

为了提高正线性算子 Gauss-Weierstrass 算子的逼近阶,往往采用线性组合的方法.本文主要研究了一类 Gauss-Weierstrass 算子线性组合的同时逼近问题,在一致逼近的意义下,给出了逼近的正定理、逆定理及特征刻划.即我们得到了如下结果:设 f∈C_(-∞,+∞),f~(m)(x)存在,W_(n,r)(f;x)表示 Gauss-Weierstrass 算子的一种线性组合,则当 a<2r 时,有(i)‖W_(n,r)~(m)(f;x)-f~(m)‖≤M[ω_(2r)(fn~(-1/2))+n~(-r)];(ii) k_(2r)(f~(m);n~(-r))≤‖W_(k,r)~(m)(f;x)-f_(x)~(m)‖+M(k/n)~rk_(2r)(f~(m);k~(-r));(iii)‖W_(n,r)~(m)(f;x)-f~(m)‖=O(n~(-(a/2))ω_(2r)(f~(m);h)=O(h~a).