算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

比内公式推广及斐波那契数列求和

斐波那契数列a,b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，…的通项公式为Un=a/√r[（（1＋√5）/2）^（n-2）-（（1-√5）/2^（n-2）]＋b/√5[（1＋√5）/2^（n-1）-（（1-√5）/2^（n-1）]，前n项和公式为Sn=Un＋2-U2=Un＋2b前10n项和公式为S10n=11（U7＋U17＋…＋U10（n-1）＋7），这是研究法国数学家比内的公式后得到的推广。     

Baker方法的若干应用(ⅩⅤ)

设a、b、n是正整数本文运用Baker方法证明了：当n≥2·108或者2＜n＜2·108且ab＞（4nn2／（n-1））2／（n-2）时方程。axn-by＝±1至多有1组正整数解（x，y）．上述结果基本上证实了Siegel的一个猜想．     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

和式(n_∑~k=1)(-1)~κcos~ικβ及(n_∑~k=1)(-1)~κκsin~ικβ计算

引理1，设L＞1整数，当L=2m，则证明由三角函数指数定义（A1）式成立，同法可证（A2），（A3），（A4）式成立.引理2，n＞1整数，为整数，则（l）一（2）式得：当。羊1时，a一2。n。，也就是p一（2。＋1）。利用复数相等条件，实部、虚部分别相等．命题1，设L＞l整数，若L—2；n，则成立，当L—2。n＋l时，则成立，当L—Zll；时，则成立，当L二Zn；＋l，则这里。、刀在本文中分别表示隔数和奇数，约束条件的意义是：如来满足约束条件的，存在，那么第，项按规定算式计算，如果第，项不满足约束条件，那么第，项的值为O，以下公式均含…     

涉及一类全纯函数复合的正规定则

研究了一类全纯函数族的正规性。证明了结论：设F是区域D内的一族全纯函数，p（z）=an^z^n＋an-1z^n-1＋…＋a0/bm^z^m＋bm-1z^m-1＋…b0是一个满足m＋1〈n，an≠0，bm≠0的有理函数。若对F中的任意函数f，复合函数p（f（z））≠h（z），h（z）为非常数全纯函数或者当h（z）为常数函数时p（z）－h（z）至少有两个判别的零点，则F在D内正规。这一结果对文献[1]中P（z）是次数≥2的多项式的结果进行了改进。     

n元一次不定方程非负整数解的个数

不定方程的非负整数解在实际中有着重要的作用，可以说，实际问题中所需要的大都是非负整数解。如“鸡翁一，钱值五，鸡母一，钱值三，鸡雏三，钱值一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”因此，研究不定方程的非负整数解对于理论和应用都具有很大价值。本文拟讨论n元一次不定方程满足条件ai＞0,i＝1，2…，n（a1，a2,…an）＝1的非负整数解的个数。关于二元一次不定方程的非负整数解的个数，在［1」中有如下一道习题：证明，二元一次不定方程ax＋by＝N，a＞0，b＞0，（a，b）＝1的非负整数解的个数为［？］或［号］＋l。这一结论由于它的解…     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

反常规方法解题例谈

解决常规数学问题需要选择最优化的解题思路．为此，就要尽可能回避诸如复杂的分类讨论和冗长的逻辑论证以及繁难的数式运算等．实践证明，恰当运用反常规方法解题则可大大优化解题过程，取得很好的解题效果．现列举数例于后．以动观静，简捷新颖──反常规方法之一例1.已知a＋b＋c=0求证：a3＋b3＋c3=3abc.分析：首先，a＋b＋c=0不是静止的，可视为方程ax＋bg＋cz=0有非零解x=y=z=1．其次，a＋b＋c=0形式并非唯一的，可由一变三：a＋b＋c=0，b＋c＋a=0，c＋a＋b=0，这表明齐次线性方程组：有非零解x=y=z=1，从而其系数行列式为零：式于、数…     

关于广义Ramanujan-Nagell方程解数

设p是奇素数，D是适合p D是正奇数，证明了，当D≠Ap^r-1，其中r是正整数时，方程x^2 D=4p^n至多有1组正整数解（x,n）。     

关于椭圆内接（外切）n边形面积最大（小）值的计算公式及其推广

《数学通报》87年第3期刊载了《椭圆内接四边形和三角形的最小面积》一文，只研究了两种简单图形，本人考虑了两种方法来推导椭圆内接（外切）n边形面积最大（小）值的计算公式．并推广到椭球面上，获得了类似的结果．首先推导单位圆的内接（外切）多边形面积的表达式：如（图1），设A1A2…An是单位圆x2＋y2=1的内接n边形，点A1的坐你为（cosαi，sinαi；）．（i=1，2，…，n）。根据多角形面积公式，算得：仍如（图I），设D1D2…Dn是单位园x2＋y2=1的外切多边形，A1，A2，…，An是其切点，A1的坐你为（cosαi．sinαi），（i=1，2，…     

关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数，a非平方数，若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1，（x，D）＝1）有最小解（x，m，Z）＝（b，2α＋1，d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

关于推广的Hardy—Hilbert不等式

利用改进的Euler—Maclaurin求和公式，建立了一个新的Hardy—Hilbert型不等式：设p〉1,1/p＋1/q=1,a≥1/2.an,bn≥0,满足0〈∞∑n=0an^p〈∞及0〈∞∑n=0bn^q〈∞,则有 ∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈{∞∑n=0k（q）an^p）^q/p{∞∑n=0k（p）bn^q}^1/q, 其中k（r）=∞∑n=02（n＋1）[1/（n-1/r＋1）^3＋1/（n＋1/r＋1）^3],r=p,q. 特别，当1〈p≤2且1/2≤a≤1时有 ∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈[k^1/q（p）k^1/p（q）]{∞∑n=0an^p}^1/p{∞∑n=0bn^q}^1/q, 这里，常数因子k^1/q（p）k^1/p（q）是最佳值．     

等式a^2·b^2=ab^2的扩充及质疑──a与b并非非负数

众所周知，在实效范围内，是成立的，但总是限定a≥0，b≥0，当a与b并非非负数时，等式还成立不成立呢？在实数范围内和在复数范围内，符号“N”的意义是不同的，例如：在实数范围内，／了只表示1的算术根1，在复数范围内，／了就表示1的两个平方根是士王，又如，在实数范围内，Mry只表示一1，但在复数范围内，Mry就表示一1的三个立方根，一1，－。，－d（。＝－1＋／了。、。＿＿、。。。＿．。＿＿＿＿＿＿。。＿＿＿＿＿＿＿＿。。、＿、＿＿＿，＿，＿。＿＿．＿二（尸℃），为了避免“）一”是在实数范围内的还是在复数范围内的混淆…     

曲线凹凸性与拐点判定法新探

判定曲线凹凸性与拐点，我们常用“雨水法则”：对于区间（a，b）内任-x值，若f″（x）＞0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凹的；若f″（x）＜0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凸的。如果f（x）在稳定点x0。处（满足f″（x）=0）改变其曲线的凹凸方向，则点（x0,f（x0））称之为曲线f（x）上的一个拐点。即是说，要判定点（x0，f（x0））是否为f（x）的一个拐点，只需确定点x0处左右近旁f″（x）的符号。是否能通过求在x0处的导函数之值来确定曲线凹凸性与拐点呢？就此问题，本文作出如下探讨。1结论定理：设函数=f（x）在（a，b）内具有n阶…     

包含完全数的非线性Euler函数方程的解

在Euler函数φ(n)性质的基础上,利用整数分解的方法讨论了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c(c为完全数且ab=c)当c=6时方程的正整数解。     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Bn表示所有的n阶布尔矩阵的集合，R（A）表示A∈Bn的行空间，|R（A）|表示R（A）的基数，m、n为正整数．本文证明：（1）m∈[1，46]，存在A∈B7，使得|R（A）|＝m；（2）当n≥9为奇数时，则m∈[1，22＋22＋…＋23]，存在A∈Bn，使得|R（A）|＝m．     

关于不定方程x^3-1=Dy^2

证明了如下结果：如果题设方程有非平凡整数解，D只有唯一的6k＋1形素因子p，则D要么没有其他素因子，要么任何其他素因子q都满足（3p／q）=1或（p／q）=1。