《高等数学》中的概念、定理教法浅淡

<正> 众所周知,在《高等数学》课程的教学中,基本概念和定理占有相当重要的位置.一方面,它们是学习后继课程所必需的基础知识;另一方面,概念本身的实际背景及定理的证明方法和着眼点就是学生解决实际问题,掌握好数学这门武器的关键.     

对《数学分析》教材中一道习题的证明的反思

在平时的数学教学过程中发现,学生由于对定理或定义理解不透,在应用书中定理或定义解题时常会犯一些偷换概念的错误。本文通过对一道数学证明题的错误证明的分析与反思,启示我们在教学中要多思考,多参考有关资料,多发现同学中出现问题来提高课堂教学的思考性,让数学课堂活起来。     

数学教学应注重培养学生的“数觉”

数学学习中,有学生主动参与的教学才是有效的教学。作为数学教师有必要转变教学观念,将教学重点从数学定理的讲解、证明和如何解题转向对学生“数觉”的培养上。只有培养了学生的数觉,才能使学生在与数学有关的心理机能方面不断得到锻炼,逻辑思维能力和解决数学问题的能力不断得到提升。     

周期函数最小正周期存在性定理的一个证明

关于周期函数最小正周期存在性定理,吴品三教授和颜怀曾教授在《数学通报》上发表的有关文章中,各自给出了证明。郑格于同志在《数学通报》上发表的有关文章中,又给出和证明了条件较弱的空理。本文作为学习心得,对这两个定理,也给出一个证明。     

如何提高学生对定理公式的理解运用能力

在数学教学和学习中经常要用定理、公式进行推理判断,学生对定理、公式的理解、运用能力如何,无疑直接影响学生的学习成绩。不少学生反映:老师讲的定理、公式似乎听懂了,也初步理解了数学中定理、公式内容,甚至还能背出来,但是怎样运用定理,公式去解答有关问题,总认为有些茫然,思路不广,把握不大。究其原因在于我们平时教学中对定理、公式要求死记硬背的多,真正理解的少;盲目生搬硬套的多,灵活运用能力培养不够。本文结合自己平时的教学实践,就如何提高学生对定理,公式理解运用能力谈点粗浅看法,有不妥之处,请批评指正。     

微积分中不等式的证明方法探讨

不等式的证明在高等数学中起着重要的作用.同时,不等式证明的教学对发展学生的数学思维,培养逻辑思维能力起着非常重要的作用,证明不等式没有固定的模式,方法因题而异,灵活多变,技巧性强.将利用函数的单调性、函数极值及拉格朗日中值定理等证明一些与函数有关的不等式,通过几个例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同中值定理在解决的不等式的区别.     

Taylor中值定理证明对数学教学方法的启示

泰勒（Taylor）中值定理是微分学中的重要定理之一，在一般的数学分析或高等数学教材中，该定理的证明是先构造函数的n次泰勒（Taylor）多项式，然后再给出证明。本文给出一个别于传统的证明，这种证法渗透了数学中常用的两种分析问题的重要方法，即等量代换的“换位思考”法和构造辅助函数法。教学实践表明，这种证明方法简单、逻辑思雏强，不仅有利于学生对Taylor中值定理的理解，而且易于掌握和应用。     

浅谈培养学生创造性思维能力

教师的任务不仅是传授知识,重要的是培养学生各种能力。我们知道,数字的发明,发展,是人们长期实践中经验总结及数学家们辛勤探索、研究的结果。我们经常会遇到不少学生提问:“这个定理怎提出来的?”“这种证明方法怎么想出来的?”这些问题不是教师能简单回答得了的,但教师能结合教材教学,运用启发式教学方法,培养学生分析问题、解决问题能力。尽可能结合教材内容回答学生提出的“怎么想出来的?”让学生在“读书”中有所发现,有所创造,这对于培养学生创造性思维能力十分有益。     

LAPLACE定理引理证明的一点改动

高教版《高等代数》第二章第八节中谈到行列式的乘法规则—LAPLACE定理,对该定理的证明及运用取决于对定理引理的证明。笔者在教学过程中发现,对教材中引理证明的最后几步作些改动,可使初学《高等代数》的学生更易于接受、理解。     

泰勒定理在考研数学中的应用

泰勒定理是高等数学课程中的重要内容,该部分内容的技巧性比较强,在历年的研究生入学考试中备受考研数学命题专家的青睐.以考研数学真题为案例,系统的讨论泰勒定理在求极限、求高阶导数、证明不等式和等式等方面的应用及解题技巧,并与其它方法进行比较.     

学科教学中渗透素质教育的初步探讨

新一轮的基础教育改革已在全国各试验区全面展开,这意谓着我国的基础教育将全面从应试教育走向素质教育。作为传递知识,促进学生个性发展的有效形式的学科教学,则是实施素质教育的基本途径。未来的中国公民应该具有怎样的数学素质?在数学学科教学中又应如何渗透素质教育?这已是数学教育研究者与实践者面临的一个迫切而重要的问题。     

Егоров定理建立的方法与证明的思路——实变函数教学案例

Егоров定理是实变函数理论中一个极其重要的定理,对于它的建立与证明方法的探讨是有必要的.在分析数学中一致收敛的重要性及几乎处处收敛不一定能够一致收敛.为了弄清楚在什么条件下几乎处处收敛能够转化为一致收敛,细致地解剖了一个典型反例,由此得到启发建立了Егоров定理,并论述了定理证明的思路与方法.最后从几个方面进行了详细的注解,交代了下一步的任务.     

设置一个引理的建议

在向量空间理论中,向量的线性关系,替换定理,矩阵的秩等都是基本而重要的东西,它们也是教学的难点。为使学生更好地掌握和理解这些知识,除设计好教学方案外,本文建议,在讲解替换定理前,设置如下所述的一个引理,并修改替换定理的原有数学归纳法证明,使得     

类比思维在数学教学中的应用探析

类比思维是数学创造性思维中一种重要的思维方法．在数学中，类比是发现概念、公式、定理和方法的重要手段，是科学研究的基本方法．因此，在数学教学中充分运用类比，可使学生深刻理解概念，不断探索新知，联想发现解法，完善认知结构．     

小议学生数学创造性思维的培养

"数学是思维的体操",学生创造能力的形成,依赖于创造性思维的形成和发展。学生的创新思维,不仅能认识客观事物的本质、内在联系,而且能形成新颖、独特的创造力。学生创造性地掌握数学知识,对数学问题的系统阐述,对已知定理或公式的"重新发现"或"独立证明",提出有一定价值的新见解等,均可视如学生的创造性思维成果。     

中学数学教学中学生思维能力的培养

1　引导学生积极参加思维活动 ,学会思维1 .1　创设问题情景 ,明确思维目标和方向 ,激发学生积极思维　　数学思维常由数学问题引起 .随着问题的逐渐展开 ,人的思维也不断深入 ,思维能力也将得到严格的训练 .因此 ,在教学中应创设问题情境 ,使学生思维方向明确 ,激发学生的思维 ,让他们主动地去参与和获取知识 .例如 :教学“矩形性质定理 2 :矩形的对角线相等”时 ,可先引导学生按课本上的方法进行证明 ,然后提问 :“还有没有其他方法可以证明它呢 ?”让学生展开讨论 ,多数学生仍用三角形全等的方法来证明 ,于是可进一步问 :“能不能不用三…     

Abel分部求和公式与排序定理

Ａｂｅｌ分部求和公式与排序定理王慧兴众所周知，排序定理在不等式的证明和最优化设计方面发挥着出奇制胜的作用。本文运用Ａｂｅｌ分部求和公式给出排序定理一个新证明，因而排序定理可作为Ａｂｅｌ分部求和公式的一个推论，进而开拓Ａｂｅｌ分部求和公式在中等数学中的...     

中师数学不等式证明的基本方法

不等式的证明方法很多,中师数学教材中介绍了几种常用的证明方法,分别是比较法,综合法,分析法,反证法.由于不等式证明题目杂,技巧多,学生不容易掌握.所以怎样区分题目类型弄清每种证法所适用的题型范围,是学习掌握不等式证明的关键所在.这里我们以例题分析评注的形式对这几种证法加以说明:     

数学机械化的研究与应用

该学术团队主要从事几何问题自动求解、非线性代数方程组符号处理的研究,近12年来取得了一系列具国际领先水平的成果。将数学机械化的思想、方法和成果应用于计算机辅助教学,以求更多地用计算机代替师生机械性、重复性、对教学没有积极作用的劳动,也是该学术团队学术思想的重要特色。这一学术特色使该学术团队研究的“智能教育平台”的理论和实践更为充实且更具可操作性。该学术团队已形成以张景中院士为学术带头人、以中青年学科骨干为主力的研究群体,其研究工作由基础理论推进到了智能教育软件、符号代数计算软件、工业机械手运动反解程序等方面的相关应用领域,当前已经取得在国内外居于先进行列的成果。1990年,张景中、杨路提出了定理机器证明的数值并行方法,在世界上首次用计算机实现了有严密理论依据的几何定理例证法,也是机器证明中惟一可高度并行的算法。在国外文献中,称此法为“张杨定理”。1992年,张景中等提出了几何定理可读证明自动生成的理论、算法和方法,并实现为通用的微机程序。用此新方法已经证明近千个非平凡的几何定理,其中有几十个非欧几何的新定理,对多数定理计算机自动生成了简捷优美的证明。国外著名计算机科学家在公开发表的出版物中,称这一工作是使计算机能像处理算术那样处理几何的发展道路上的里程碑,是自动推理领域30年来最重要的工作。1995年,该学术团队发现了实系数多项式的完全判别系统,一方面突破了自动推理领域长期阻碍人们在与有序几何、不等式及实代数有关问题方面取得进展的根本性瓶颈困难,另一方面使几个世纪以来悬而未决的一个数学基本问题得到系统而完美的回答。二次方程判别式问题古代已解决,直到本世纪才找出四次方程的完全判别系统。应用他们的理论和算法,在微机上几秒内就能生成五、六、七次方程的完全判别系统,理论上可生成N次方程的判别系统。这是用计算机自动推理解决重大数学问题的少见的范例,为自动推理的几个困难方向的发展开辟了道路。在此基础上,被吴文俊称为“一大难题”的不等式机器证明问题已有了重大进展:该学术团队提出的算法和程序己经发现或证明了500名个非平凡的几何不等式,其中包括数十个见诸于国内外书刊的未解决问题。     

反例及反证法在线性代数中的作用

在线性代数教学中 ,恰当的列举反例能帮助学生正确地理解和掌握数学概念及定理内容 ;恰当的运用反证法能减小命题证明的难度 ,并有较直观的说服力。