高次伴随矩阵的求法及其特征根

任意n阶矩阵A,可得一个伴随矩阵A,我们称A为A的一次伴随。对A来讲又有伴随矩阵A,称为A的二次伴随。一般地,一个n阶矩阵A有任意m次伴随,为了书写方便,我们把A的m次伴随记为A。(相应地A记为A)对于二次以上(包括二次)的伴随矩阵我们统称为高次伴随矩阵。本文给出求高次伴随矩阵及其特征根的公式。     

行列式的映射定义及其几个性质的证明

给出了行列式的映射定义,并利用初等矩阵与初等变换之间的关系,证明了矩阵乘积的行列式等于它们各自行列式的乘积;三角形矩阵的行列式等于它对角元素的乘积;矩阵A转置的行列式等于A的行列式;设A=(aij)n×n∈Mn(F),Aij是detA中元素aij的代数余子式,则a1Aj1--ai2Aj2+…-ainAjn={detA i=j 0 i≠j.     

變系数线性常微分方程组的积分因子解法

§1 引言大家都知道利用矩阵可以把綫性常微分方程组dy/dx (?)a_(ij)(x)yj=f(?)(x)(i,j=1.2,……n写为下列形式dY/dx A(x)Y=F(x),(1)     

广义对角占优矩阵的一些性质

设A=(a_(jk)_)(n×n)为n阶复矩阵(本文记为A∈C~(n×n),记o_j=sum from k=1 k≠j to n |a_(jk)|,j=1,...,n若|a_(jj)|>a_(j),j=1,…,n,则称a为(按行)严格对角占优矩阵.若(?)=1/2(A A~x)为严格对角占优矩阵,则称A为共轭(严格)对角占优矩阵.关于各类对角占优矩阵特征值的分布,已在文     

行列式的几何意义和公理化定义

定义行列式,有许多方法。现行的高等代数教材,一般都是用代数和定义的。其叙述方式之一如下:定义1 n 阶矩阵A=(?)的行列式|A|是由下式确定的一个数:是自然数     

非奇异M-矩阵的新判据(英文)

在这篇短文中,我们主要证明了下列 定理1 设A=(α_(ij)=∈R~(n×n),其中α_(ij)≤0(i≠j,i,j=1,2,…,n),B∈R~((n-1)×(n-1)),α_(nn)∈R,α,β∈R~(n-1),那末A是非奇异M-矩阵的充要条件是α_(nn)>0且B-(1/α_(nn))αβ~T是非奇异M-矩阵。 根据定理1,我们能写出一个程序去判断A∈R~(n×n)是否非奇异M-矩阵,其计算工作量不超过O(n~3),而对于三对角矩阵,其计算工作量不超过2n-2。     

Bifurcation for a Type of Quasilinear Elliptic Equations On R" under the Natural Growth Conditions

The article proved the existence of H~1 (R) ∩ L~∞ (R~n) at the bifurcation λ= 0 by discussing the following nonlinear eigenvalue:—D-(ij)(a_(ij)(x,u)D_ju) +1/2a_(iju)(x,u)D_iuD_ju — q(x)|u|~σu = λu0≠u∈H~1(R~n) ,0<σ< 4/n,n≥3,x∈ R~nMeanwhile the article studied the conditions of q(x) under which λ=0 was a bifurcation point for the nonlinear eigenvalue . Here a_(ij) are not required to be bounded as u varies.     

一类高次根式的分母有理化

为了探索分母有理化的方法,先来研究n=3时的情况。不失证明的一般性,可将三次无理分式的分母写成“1+a_1(p)~(2/3)+a_2(p~2)~(2/3)”的形式。 令矩阵A=()当|A|≠0时 解方程组:A()=() 得x_1= x_2=(a_1~2-a_2)/|A|     

一类M-矩阵阿达玛积最小特征根的下界

讨论一个 M- 矩阵与另一个 M- 矩阵的逆的阿达玛积的最小特征根,证明了对任一矩阵B,如果 B- 1 的主对角线元素的值相等,则q( A‘B- 1) > 1n ·q( A)q( B) .     

行式的依行依列展开定理及其应用

本文推广了行列式的余子式,代数余子式的概念;定义了行式的特征余子式,代数特征余子式;证明了行式的依行依列展开定理,同时给出了行式的一种切实可行的计算方法。     

用“平均不等式”解题例谈

平均不等式a_1 a_2 … a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n) (a_1>0,a 2>0,…a_n>0,等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立)是人们熟知的一个不等式,巧用这个不等式,可以使一类代数不等式的证明,方程求解,代数式求值以及函数求最值问题显得特别简洁明目了。本文列举数例,予以说明。 一、不等式的证明     

广义特征向量与约旦(Jordan)形矩阵

本文在文[1]的基础上,进一步给出了关于广义特征向量的几个重要结果,从而对于任意的n阶复数矩阵A,都可以得到n个线性无关的特征向量或广义特征向量,使之为列,构成满秩矩阵P,使P~(-1)AP=J,即A与约旦形矩阵J相似。     

正则图的amida数

Orton和Ringeisen定义了图的amida数,图G的amida数记作am(G)。 首先,我们证明了关于对称(0,1)-矩阵的一些引理。 引理1 对于任意非负整数m和k,1≤m≤k+2,存在一个2(m+k+2)阶对称(0,1)-矩阵M=(a_(ij)),满足     

实方阵的行列式的上界

文[1]给出了实方阵的上界,即阿达玛不等式,亦即若A=(a_ij)_n×m是非异实方阵,则|A|~2≤multiply from j=1 to m(sum from i=1 to m a_(ij)~2).本文改进了此不等式,又给出了n阶实方阵新的上界.     

应用平均值不等式求函数最值

平均值不等式详见高中代数下册P8,不等式定理1的推论:如果a,b∈R~ 那么(a b)/2≥ab～(1/ab),当且仅当a=b时取‘=’号.”并且能推广至n个正数的平均值不等式:a_1,a_2,…,a_n∈R~ ,(a_1 a_2 … a_n)≥(a_1a_2、a_n)~(1/(a_1a_2、a_n)上述推论广泛应用于求函数的值域,最大最小值以及证明不等式,在近几年高考题中多次考查.     

一类复杂生态系统周期解的存在性

本文研究一类复杂生态系统 _i=x_i〔f_i(t)+(sum from j=1 to n)(a_(ij)(t)lnx_j)〕i=1,…,n (1)和 =x_i〔f_i(t)+sum from j=1 to n(f_(ij)(x_j)〕i=1,…,n (2)的周期解的存在性,得到了判定系统(1)和系统(2)存在周期解的充分判据,推广和改进文〔1〕和〔2〕的相应结果。     

关于多项式最大公因式矩阵求法的补充

λ——矩阵的等价标准形定理,即 定理1任一非零的m×n的λ——矩阵A(λ)等价于其标准形r≥1,d_(i(λ))(i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式,且d_(i(λ))|d_(i+1)(i=1,2,…,r—1)□ 所谓λ——矩阵A(λ)与B(λ)等价即可通过一系列初等变换将A(λ)化成B(λ)。由初等变换与初等矩阵的关系得,A(λ)与B(λ)等价的充要条件是存在一系列初等阵P_1,…,P_5和Q1,…,Q_t使 P_1P_2…P_5A(λ)Q_1Q_2…Q_t=B(λ)令P(λ)=P_1P_2…P_5,Q(λ)=Q_1Q_2…Q_tm收P(λ),Q(λ)皆可逆。从而,任意的m×n的λ——矩阵A(λ)与B(λ)等价的充要条件是有m级可逆阵P(λ)和几级可逆阵Q(λ),使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。于是,定理1的一个等价说法即任意一个非零的m×n的λ——矩阵A(λ),有m级可逆阵P(λ)和几级可逆阵Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=D(λ).特别地,A(λ)是1×n的λ——矩阵时,有D级可逆阵Q(λ)使A(λ)Q(λ)=D_0(λ)=diag(d(λ),0,…,0),d(λ)是首项系数为1的多项式。     

射影平坦且具有相对迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量

本文刻画了定义在n维流形上的射影平坦的弱Landsberg的(α,β)-度量F=αφ(β/α),其中α=(a_(ij)(x)y~iy~j)~(1/2)是一个黎曼度量且β=bi_(x)y~i是一个1形式;也刻画了定义在n(≥3)维流形上的射影平坦且具有相对迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量F=αφ(β/α),其中φ=φ(s)是关于s的多项式。     

反对称矩阵的性质及证明

现行的高等代数教材中大多没有专门介绍反对称矩阵的性质,只在习题中有一些涉及。本文在这方面作些工作,定义:设A是是数域F上的n阶矩阵,如果     

一个推广的不等式

复旦大学编的《数学分析》一书中有这么一个命题: 设a_1 a_2,…,a_n均为正数,n为自然数,则有: a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2…+a_n/n)~2 在此我们将它推广为: