在等价变换下矩阵的标准形的一个重要应用

[1]、[2]文中指出,用初等变换可把任意矩阵A化简为,用矩阵等式可表示成ABQ=其P,Q非奇异矩阵,并称A等价于本文利川(＊)式探求一般线性方程组Ax=b的可解性及在有解时解的结构.有定理 设A∈C~(m×n)(C~(m×n)表示复数域上mxn矩阵的全体),P,Q分别满足(＊)式的m,n阶非奇异矩阵,且Q=(q_1…q_rq_(r+1)…q_n),P~(-1)=(p_1…p_rp_(r+1)…p_m),则(i)q_(r+1)…q_n是(1)的导出方程组Ax=0的一组其础解系.     

低阶可约惯量任意符号模式矩阵的刻画

一个n阶实矩阵B的惯量是一个非负三元整数组i(B)=(r,s,t),其中r、s、t分别表示矩阵B的实部为正、负、零的特征值个数(特征值的重数也计算在内)。设A是一个n阶符号模式矩阵,A的惯量i(A)是指由全体与A有相同符号模式的实矩阵的惯量构成的集合。若对于任意满足条件r+s+t=n的非负三元整数组(s,r,t),都有(s,r,t)∈i(A),则称A是惯量任意的。完全刻画了4、5、6阶惯量任意的可约符号模式矩阵。     

广义对角占优矩阵的一些性质

设A=(a_(jk)_)(n×n)为n阶复矩阵(本文记为A∈C~(n×n),记o_j=sum from k=1 k≠j to n |a_(jk)|,j=1,...,n若|a_(jj)|>a_(j),j=1,…,n,则称a为(按行)严格对角占优矩阵.若(?)=1/2(A A~x)为严格对角占优矩阵,则称A为共轭(严格)对角占优矩阵.关于各类对角占优矩阵特征值的分布,已在文     

一个含四个圈的本原有向图的m－competition指数

对于n阶本原有向图D中任意顶点u和v,若都存在m(1≤m≤n)个不同的顶点v1,v2,…,vm∈V(D), 使得ukvi,vkvi(1≤i≤m)成立，则称最小正整数k为本原有向图D的m－competition指数. 本文研究了一类含有一个n长圈、三个n－2长圈的本原有向图, 确定了本原有向图的m－competition指数.     

也谈《最高公因式的矩阵求法》

利用λ——矩阵的初步知识,本文给出了多项式的最大因式的另一种矩阵求法(定理1).该法道理浅显易懂,方法简单实用;同时,本文也解决了最大公因式的组合系数问题(定理2),即在求出多项式的最大公因式的过程中,也同时巧妙地求出了多项式μ_i(X)(i=1,2,…,n),使得(?)μ_i(x)f_i(x)=(f_1(X),f_2(x),…,f_n(x)成立,从而弥补了《最高公因式的矩阵求法》一文的缺陷.如文[1]最后所说:“这种方法并没有给出求得使(?)f_i(x)μ_i(x)=d(x)(d(x)为 f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)的最高公因式)成立的μ_1(x)(i=1,2,…,n)的办法,因此,如果需要求出这样的μ_i(x)(i=1,2,…,n),则应该使用其他方法.”受文[1]的启发,本文给出了同时能求出文[1]中所说的d(x)和μ_i(x)的矩阵方法.     

关于矩阵行列式的几个不等式

本文利用正定Hermite矩阵的性质,对n阶两两可交换的正定Hermite矩阵进行讨论,得到关于矩阵行列式不等式的一些结果,其中主要结果是 定理 设A、B是正定的Hermite矩阵,且AB=BA,则对一切正有理数q/n(q,n∈N)成立不等式 [det(A+B)]~(q/n)>[detA]~(q/n)+[detB]~(q/n)等号成立当且仅当A=B。     

矩阵的强LU分解及其应用

<正> 设F是一数域,Mn(F)是F上全体n阶矩阵的集合。如果A∈Mn(F),且A=LU,其中L∈Mn(F)是下三角矩阵,U∈Mn(F)是上三角矩阵,则称A具有LU分解。 由于A的LU分解可以不涉及A的特征值,从而使得这种分解具有重要的意义和广泛的应用。本文主要讨论A的一种特殊的LU分解——强LU分解,并通过矩阵的初等变换来实现这种分解;由此给出它的若干应用,使得线性代数中一些传统的计算方法得到较好的改进。1 矩阵的强LU分解     

FUZZY相似矩阵方程

设F_n为n阶Fuzzy相似矩阵全体所组成的集合,视X为取值于F_n中的变量,方程X~2=X-定有解,其解是n阶Fuzzy等价矩阵,全体解记为X_n,本文将研究X_n的构造以及求解方法.     

关于多项式最大公因式矩阵求法的补充

λ——矩阵的等价标准形定理,即 定理1任一非零的m×n的λ——矩阵A(λ)等价于其标准形r≥1,d_(i(λ))(i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式,且d_(i(λ))|d_(i+1)(i=1,2,…,r—1)□ 所谓λ——矩阵A(λ)与B(λ)等价即可通过一系列初等变换将A(λ)化成B(λ)。由初等变换与初等矩阵的关系得,A(λ)与B(λ)等价的充要条件是存在一系列初等阵P_1,…,P_5和Q1,…,Q_t使 P_1P_2…P_5A(λ)Q_1Q_2…Q_t=B(λ)令P(λ)=P_1P_2…P_5,Q(λ)=Q_1Q_2…Q_tm收P(λ),Q(λ)皆可逆。从而,任意的m×n的λ——矩阵A(λ)与B(λ)等价的充要条件是有m级可逆阵P(λ)和几级可逆阵Q(λ),使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。于是,定理1的一个等价说法即任意一个非零的m×n的λ——矩阵A(λ),有m级可逆阵P(λ)和几级可逆阵Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=D(λ).特别地,A(λ)是1×n的λ——矩阵时,有D级可逆阵Q(λ)使A(λ)Q(λ)=D_0(λ)=diag(d(λ),0,…,0),d(λ)是首项系数为1的多项式。     

矩阵A的中心化子可表成A的方阵多项式的充要条件

n阶矩阵A的中心化子C(A) ={B∈Pn×n|AB =BA} ,P[A] ={f(A)∈Pn×n|f(x)∈P[x] } 本文给出了C(A) =P[A] ,即A的中心化子可表成A的矩阵多项式的充要条件     

矩阵的一种分解方法

设矩阵A=(aij)m×n,B=(bxi)×4,如所周知、当n=p时,AB有意义Ⅱ AB=(sum from n=1 to aitbti)max特别是A,B分别是m×1,n×1矩阵时,有容易证明如下 结论1:m×n矩阵A的秩为1的充分必要条件是存在m×1及n×1且矩阵B≠0,C≠O, 使得A=BC~T(此处“T”表转置、以下同) 证:由r(A)=1,故A≠0,即A的行向量组不能都是零向量,不妨设A的第i个行向量α≠0,于是,A的任一行向量αj可同αi线性表出,即αj=kjαi(j=1,…m)令     

关于矩阵e~A的一个定理和应用——SU（n）群生成元的零迹证明

证明了一个关于矩阵eA的定理并给出了U(n) 群元素的表示式,应用定理证明SU(n)群生成元之迹等于零.     

关于Fuzzy方程的极小解

本文中,将把上述矩阵与F集、F关系看作是一个东西。即当我们谈到一个一行n列的矩阵时,就是指F(X)的一个元素,谈到一个n行m列的矩阵时,就是指一个F关系。     

伴随矩阵的特征根

在矩阵论中,为了求一个满秩矩阵的逆矩阵而引进了一个新的矩阵,即所谓伴随矩阵的概念。具体的讲:设A=(a_(ij))是一个n级矩阵,则n级矩阵 叫做A的伴随矩阵,其中A_(ij)是a_(ij)的代数余子式。很显然A的元素由A的一切n-1级代数余子式确定。于是会问:A的特征根是否由A的特征根确定?回答是肯定的。武汉大学张远达教授编《线性代数原理》一书中,第223页叙述并证明了关于满秩矩阵A之伴随矩阵     

高次伴随矩阵的求法及其特征根

任意n阶矩阵A,可得一个伴随矩阵A,我们称A为A的一次伴随。对A来讲又有伴随矩阵A,称为A的二次伴随。一般地,一个n阶矩阵A有任意m次伴随,为了书写方便,我们把A的m次伴随记为A。(相应地A记为A)对于二次以上(包括二次)的伴随矩阵我们统称为高次伴随矩阵。本文给出求高次伴随矩阵及其特征根的公式。     

一类M-矩阵阿达玛积最小特征根的下界

讨论一个 M- 矩阵与另一个 M- 矩阵的逆的阿达玛积的最小特征根,证明了对任一矩阵B,如果 B- 1 的主对角线元素的值相等,则q( A‘B- 1) > 1n ·q( A)q( B) .     

关于半正定矩阵的一些结果

设A是n阶实矩阵,如果对任意非零实n元向量X,均有X＇≥(>0),就称A为半正定矩阵(正定矩阵)。已有不少文章研究了正定矩阵的性质,但关于半正定矩阵的研究尚不多见。本文给出半正定矩阵的一种合同标准形,由此得出了半正定矩阵的两个性质:半正定矩阵的行列式非负;可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定。     

关于A~(K*)的补充

当A为n(n>2)阶可递矩阵时,周程万同志已给出A~(k*)的计算公式。当n不大于2或A为不可递矩阵时,A~(k*)有什么结果呢?为完整起见,简作如下补充。     

关于数论函数方程d(nm)=kd(n)解的探讨

本文用构造法指出若(E)k0∈N使方程d(nm)=k0d(n)有解,那么方程d(nm)=(m'k0-1)d(n)必有解.另一方面,给出方程d(nm)=kd(n)有解关于k的密率的定义,证明lim x→∞r(2,x)=0.5等,提出了两个猜想.     

非奇异M-矩阵的新判据(英文)

在这篇短文中,我们主要证明了下列 定理1 设A=(α_(ij)=∈R~(n×n),其中α_(ij)≤0(i≠j,i,j=1,2,…,n),B∈R~((n-1)×(n-1)),α_(nn)∈R,α,β∈R~(n-1),那末A是非奇异M-矩阵的充要条件是α_(nn)>0且B-(1/α_(nn))αβ~T是非奇异M-矩阵。 根据定理1,我们能写出一个程序去判断A∈R~(n×n)是否非奇异M-矩阵,其计算工作量不超过O(n~3),而对于三对角矩阵,其计算工作量不超过2n-2。