一个命题的推广

高中《代数》（必修）上册复习参考题三第22题（1）小题是这样一个题目：在△ABC中求证：tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC。本文给出上述命题的几个推广。推广1若A B C=k·π（k∈Z），则有上式用余切函数表示，可证得：证明由推广1高中《代数》（必修）上册复习参考题三第22题（1）小题是这样一个题目：在△ABC中求证：tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC。本文给出上述命题的几个推广。推广1若A B C=k·π（k∈Z），则有上式用余切函数表示，可证得：证明由推广1则：（证明略）。推广2则证明即上式用余切函数表示，可证得：一般地，对于若干…     

数学教学中的一种形式主义

在一次新生入学的初等数学考试中,我们出了一道这样的命题:(如图1)“P为正△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求AB.”本想这道平几题,对这些经过择优录取的学生总不会产生太大的困难。但出乎意料,几乎所有的学生都在这道题留下了空白。什么原因?     

IT杯数学竞赛试题解题探讨

已知:在△ABC中,AD、BE分别是∠A、∠B的平分线,∠ABC=80°,∠C=40° 求证:AB+BD=AE+BE 证法(1):作C点关于AD的对称点F,则F必在AB的延长线上,连结BF,DF,显然BE=CE,由△ADF≌△ADC得:AF=AC=AE+CE=AE+BE∵ ∠F=∠C=∠BDF=40°∴ BF=BD,故:AB+BD=AE+BE     

关于周长三分点的一个几何不等式

1.引言 设P、Q、R分别位于△ABC的边BC、CA、AB上,且将△ABC的周长三等分,即AQ+AR=BR+BP=CP+CQ,QR=p,RP=q,PQ=r,则 p+q+r≥1/2(a+b+c)(1) 不等式(1)早就被人所知道,但它的证明无论是分析的还是几何的,都是十分复杂的。1960年,A·Zirakzadeh给出了一个属于纯粹几何的冗繁证明。1988年,曾振炳给了一个比较简单的证明。到1991年,杨学枝给出的证明则更加简单,令人惊异。而且他认为,(1)式似乎可以推广为:若AQ+AR=μ,BR+BP=λ,CP+CQ=ν,则     

对一道数学竞赛题的探讨

1990年全国初中数学竞赛第一试中有这样一道题:“ΔABC中,AB=2,BC=(?)2,AC=1设P为BC上任意一点,则PA～2>PB·PC”.本文在一般三角形中讨论了PA～2>PB·PC成立的充要条件,由此进一步讨论了使等式PA～2=PB·PC成立的PA分别是ΔABC的中线、高、角平分线的充要条件. 以下记ΔABC中的边BC=a,CA=b,AB=c.     

Weitzenbock不等式的加权推广

<正>在△ABC中,其三边之长分别为a、b、c面积为△,则有△成立,等号当且仅当a=b=c时成立,这就是著名的Weitzenbck不等式,第三届国际数学奥林匹克竞赛曾将此不等式的证明作为一道试题。关于它的证法已不下十种,笔者在文[2]中择其具有代表性的五种作了论述。历年来,人们绕有兴趣地探求着它的推广形式,主要有Finsler-Hadwiger不等式、Pedoe不等式等等,这在文[2]中均已论及。《美国数学月刊》1988年P.658上给出了如下的一个推广:     

△y = k△x在物理中的应用

在物理习题中 ,有类问题当某个物理量发生变化时 ,引起其他物理量的变化 ,其中属正比例关系的 ,应用函数 ,△ｙ=ｋ△ｘ求解较为方便。一、数学模型当ｙ与ｘ成正比时 ,即ｙ=ｋｘ ,则可证明△ｙ=ｋ△ｘ。即ｋ=ｙ/ｘ=△ｙ/△ｘ。有两种证明思路 ,可结合学生的实际选用 :1、利用公式 :令ｙ1 =ｋｘ1 ,ｙ2 =ｋｘ2 ,则△ｙ=ｙ2-ｙ1 =ｋ(ｘ2 -ｘ1 ) =ｋ△ｘ。2、利用图象 :如图 1所示 ,ｋ=ｙ/ｘ=△ｙ/△ｘ ,则△ｙ =ｋ△ｘ。图 1二、物理应用1、查理定律一定质量的理想气体 ,在体积不变的情况下 ,它的压强跟热力学温度成正比。即ｐ/Ｔ=恒量。根据数…     

四面体中的正弦定理及应用

文[1],及文[2]已建立了四面体中的余弦定理,本文将建立四面体中的正弦定理,并举例说明它的几个应用,以供大家参考。 如图,设四面体O—ABC,用△0,△A,△B,△C,分别表示顶点0,A、B、C、所对面的     

一类特殊的棱锥

在正棱锥中,如果侧棱与底面正多边形的边长相等,则其侧面△由等腰△“变”成等边△,本文拟解决:一、具有上述性质的棱锥共有多少种?二、若该类棱锥底面边长为a,体积如何?三、正四面体的性质的应用。     

西瓦定理在平面几何中的应用

<正>西瓦(ceva Giovanni)生于公元1647年,卒于公元1734年,为意大利十七世纪著名的数学家,他的论著多发表在1678—1734年间,关于横截线的理论,西瓦研究得甚为详尽。1678年,西瓦编著的Delineis rectis se inricem secantibus一书,内载有当今所称谓的西瓦定理(Ceva's theorem),为近世几何重要定理之一,它表述了三角形截线的重要性质。实为近世几何的理论基础。 过△ABC各顶点引共点三直线交对边于x、y、z,则     

部分种、养业目前动向

一、特种动物养殖动态及前景。(1)特禽类:△山鸡:近几年价格较稳,去年在江苏、上海、福建、广东十分畅销,市场零售价在35元—40元/公斤。由于饲料价格下降,效益可观,但专家指出,应注意品种选育和疾病防治。△肉鸽:近几年价格普遍稳中有升,一般中小城市的需求旺盛,出口量也很大。△乌凤鸡:符合当前世界黑色食品潮流。我国各地都有吃乌凤鸡的习惯,故需     

关于三角形的若干加权不等式

关于三角形的边长与面积之间的关系,已有许多精彩深刻的阐述,Weitzenboeck不等式、Pedoe不等式就是其中的典型范例[1]。本文将揭示在加权情形下三角形边长与面积之间若干不等量关系。为叙述方便,我们记△ABC三内角A、B、C的对边a、b、c上的中线分别为m_a,m_b,m_c,高为h_a,h_b,h_c,外接圆半径为R,半周长为S,面积为△。     

“单端输入—单端输出”差动放大电路的一种等效电路分析方法

图1(a)为“单端输入—单端输出”差动放大电路图。图1(b)为其信号通路。当输入信号△V_i加入后,晶体管BG_1的基极电流I_(b1)、集电极电流I_(c1)和发射极电流I_(E1)都随△V_i而变。由于R_E的存在,△I_(E1)在R_E上产生的压降其极性与△V_i相同。按照图中标定正方向,如果△I_(E1)为正,则因R_E的耦合作用而引起的△I_(b2)和△I_(E2)必然为负,亦即△l~q_2和I△I_(E2)的实际方向应与标定正方向相反。设△I_(b＇2)=-△I_(b2)、△I＇_(E2)=-△I_(E2),则此时流过R_E的信号电流△I_E为△I_(E1)和△I＇_(E2)之代数和。假定BG_1、BG_2管的电流放大系数均为β,则     

工作简讯

△长治市组织各县区老干部局长对全市老干部工作进行交叉检查。(于进) △古交市举办离退休干部学习“三个代表”重要思想百题知识竞赛。(周凤珍) △河津市聘请专家为老干部专题讲解“三个代表”重要思想。(张喜杰) △稷山县举办老干部学习“三个代表”重要思想报告会。(张恩庆) △平顺县聘请50名老干部担任思想政治工作员。(平顺县委老干部局) △太重退管处全面实现微机化管理。(曹克顺) △永济电机厂从今年下半年起,给两名百岁老人每人每月发放200元生活补助金。(荀中祥李增修)编辑/吴根萍工作简讯     

从Menelaus定理所想到的一类比例问题的若干证法

大家知道,Menelaus定理为:若D、E、F分别是ΔABC三边AB、BC、AC或其延长线上一点,则D、E、F三点共线的充要条件为,式中线段均为有向线段,若两边取绝对值,则有AD/DB·BE/EC·CF/FA=1,式中线段均为线段的长度。 我们考虑命题:已知:D、E、F分别是ΔABC三边AB、BC、CA或其延长线上一点,且D、E、F三点共线,求证:AD/DB·BE/EC·CF/FA=1,它有如下两类证法:     

也谈爱可尔斯定理的推广

[1]中介绍了关于两个正三角形的定理:爱可尔斯定理1 如果△z_1z_2z_3和△u_1u_2u_3都是正三角形,则线段z_1u_1,z_2u_2,z_3u_3的中点作成正三角形.爱可尔斯定理2 如果△z_1z_2z_3,△u_1u_2u_3和△v_1v_2v_3都是正三角形,以△z_1u_1v_1,△z_2u_2v_2,△z_3u_3v_3的重心也作成正三角形.[2]将这两个定理中的正三角形推广到同向相似三角形,即有:定理1 如果△z_1z_2z_3和△u_1u_2u_3是同向相似的两个三角形,则z_1u_1,z_2u_2,z_3u_3的中点作成与它们同向相似的三角形.定理2 如果△z_1z_2z_3,△u_1u_2u_3,△v_1v_2v_3是同向相似的三个三角形,则△z_1u_1v_1,△z_2u_2v_2,△z_3u_3v_3的重心作成与它们同向相似的三角形.[3]又将上述四个定理中的三角形推广到n边形,得到了如下的两个定理和两个推论:定理3 如果n边形z_1z_2…,z_n和u_1u_2…u_n是两个同相似的n边形,则z_1u_1,z_2u_2,…z_nu_n的中点作成与它们同向相似的n边形.定理4 如果n边形z_1z_2…z_n,u_1u_2…u_n和v_1v_2…v_n是三个同向相似的n边形,则△z_1u_1v_1,△z_2u_2v_2,…,△z_nu_nv_n的重心作成与它们同向相似的n边形.     

化学反应中△H△G及Kp单位的探讨

国际纯粹与应用化学会(IUPAC)物理化学分会在1977年修订的关于物理化学量的符号、单位、术语的使用方法中,对化学方程式中的计量系数r规定为一无量纲的纯数,对反应物取负,对生成物取正。关于△H、△G及Kp的单位,不同的教材中有不同的写法。△H和△G的单位在多数版本中写为焦尔。平衡常数Kp的单位,一般有两种观点;一种认为Kp有量纲;另一种则认为     

智趣魔方

博览会的盆景园设有 馨 睿 Z Z 沪 爹 v”以妻老孑”娜 本O“…玲…: △鸟和影子为:1一9，2一6，4--14，7一5，8一12， 哪 11一3，13一10。 △谜底:秦，阳，哈。 △草棍第二次入瓶时，将下面一部分折后放进。 蒙手帕是为了不 胜认、梦人阳叼一一 让观众看到瓶内情况。如图: △有一朵白玫瑰。 △梅、兰、竹、菊。 △起源干中国。 △1.英国 2.意大利 4.瑞士5.埃及6， 3.丹麦 日本 △郁金香—百合科 竹子-一~禾本科， 含羞草—豆科 向日葵—菊科 玫瑰—苍薇科 △走法智趣魔方@曾泉圣 @袁根新 @朱象文 @子川 @母俊男~~…     

一个平几公式的证明和应用

斯蒂瓦特（stewart）公式：设D是△ABC的BC边上的任意一点，则：证法一（平几法）过凸ABC的顶点A作对边BC的垂线AH，垂足是H，那么H点或者在BC线段内，或者在BC的延长线上。如下列各图的情况：下面，仅就图1的情况进行证明，其他各图类似可证。根据勾股定理：即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一L证法二（三角法）如图5设ZADB—a，贝IJ；ZADC—180”＝－cosa，根据余弦定理：则：AB’·DC＋AC’·BD即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一BC·DC·BD证法三（坐标法）如图6建立直角坐标系，不妨设各点的坐标分别为…     

浅谈根的判别式“△”的巧用

解数学题若能抓住“题眼” ,就能事半功倍。教师抓住根的判别式的“题眼”“△”进行教学 ,有利于沟通各类关于根的判别式的应用题目之间的本质联系 ,开拓学生的思路