椭圆曲线y^2=px（x^2±1）的正整数点

设P是素数．该文利用w．Ljunggren关于四次Diophantine方程的结果证明了：（i）椭圆曲线了y^2=px（x^2-1）仅当p=5和p=29时各有一组正整数点（x．y）=（9，60）和（x,y）=（9801,5225220）．（ii）当p≠1（mod 8）时．椭圆曲线y^2=px（x^2＋1）仅当p=2时有正整数点（x,y）=（1，2）；当p≡1（mod 8）时，该曲线至多有一组正整数点（x，y）．     

公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

关于丢番图逼近中的一个猜想（I）

证明了Cusich提出的猜想（I）。对于任何的n个正整数α1，α2，…，αn总存在一个实数，使得||αix||≥1/n 1,i=1,2,…n成立，其中||x||表示x到其最近整数的距离。     

关于完全t部图的色等价性

设K（n1,n2,…,nt）表示完全t部图,K(n1,n2,…,nt）－A表示从K（n1,n2,…,nt）中删去子边集A所得之图．本文证明了：令G＝K（n1,n2,…,nt）,J为整数集,R为实数集．设简单图Y满足Y～G,则且进一步有：若s＞0且αi∈R（i＝1,2…．t）．则     

关于指数Diophantine方程（x^m-1）／（x-1）=y^5

该文证明了：方程（x^m-1）／（x-1）=y^2．x〉1。y〉1，m〉2，没有正整数解（x，y，m）可使m=4（mod5）且m是平方数．     

平方数的位数和函数的2个性质

设正整数n的二进制表达式为n=∑i≥0εi（n）2^i，这里最（n）=0或1，i≥0，定义二进制位数和函数为s（n）=∑i≥0εi（n）．设s（n）=κ，证明了s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，并且证明了几乎所有满足s（n）=κ的正整数n都满足s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，i≥0从而给出了｜{n〈2^N：s（n）=κ，s（n^2）=m}｜的一个确切分布．     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

以“进化”求简化——一类椭圆问题的纯几何处理

我们知道如果排除某些人为界定,圆可以作为椭圆的特殊情况。将椭圆的长轴适当压缩（使之等于短林即可使椭圆得以加强为圆．利用这个“进化”,许多有关椭圆的问题就可以上升到圆的范畴内作纳几何处理,得出结果后通过换算,再回到椭圆中去得出其相应的结论．这样地通过椭圆（问题）→圆（处理）→椭圆（结论）的变换,可以使这些椭圆问题的解析收到简化计算乃至避免计算的功效．变换方法1：设在平面直角坐标系XOY内有椭圆C：,以作坐标变换,则椭圆C在平面直角坐标系X'O'P'内的相应图形即为圆C'：X'2＋y'2变换方法2：设在平面直角坐标…     

平均数代换法的某些应用

平均数代换法的应用很广泛,下面仅就证明不等式和求极值等问题,谈谈它的应用。一若x y=A (A为常数),x~n y~n=B。作平均数代换x=A/2 α,y=A/2-α,能够得列仅含α的偶次幂项的等式 f(α)=C_n~1(A/2)α~(n-1) C_n~(n-3)(A/2)~3α~(n-3) … C_n~2(A/2)~(n-2)α~2 =B/2-(A/2)~n(n为奇数)。 (1)     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数，a非平方数，若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1，（x，D）＝1）有最小解（x，m，Z）＝（b，2α＋1，d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

关于数论函数方程δ（x^2＋y）＋δ（x＋y^2）=2ψ（x^3＋y^3）

对于正整数k，设δ（k）和ψ（k）分别是k的约数和函数和Dedekind函数．该文证明了：方程仅有正整数解（x,y）=（1，1）．     

有关Hamilton图与连通度的一个充分条件

利用插点方法和H-序列，证明了如果G是n阶简单图，k=k（G）≥k≥2．而（a1，a2，…，ak＋1）是H-序列，若对于任意的Y∈Ik＋1^（e）（G），有∑i=1^k＋1aisi（Y）＋sk＋1（Y）〉n＋k＋k-3，则G是Hamilton-图,该定理也是对这方面已有的某些定理的有效推广。     

从解答选择题看创造性思维的培养

随着现代科学技术（如计算机改卷）的发展，选择题越来越受到人们的重视和关注，并得到了广泛的应用。数学选择题一般来说是单项选择题，数学选择的命题，要求错误选项具有一定的迷惑性，使其对正确选项起干扰作用。能否克服迷惑性，是衡量答题者有无良好的创造性思维能力的重要因素。本文着重谈一下如何利用解答选择题来训练培养学生创造性思维的能力。l思维过程中的选择例1一动国与两定圆X’＋／二1和X‘＋／－8。＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为（）。（A）抛物线；（B）圆；（C）双曲线一支；（D）椭圆。解题思维一：由题设知，两…     

非奇异M-矩阵的新判据(英文)

在这篇短文中,我们主要证明了下列 定理1 设A=(α_(ij)=∈R~(n×n),其中α_(ij)≤0(i≠j,i,j=1,2,…,n),B∈R~((n-1)×(n-1)),α_(nn)∈R,α,β∈R~(n-1),那末A是非奇异M-矩阵的充要条件是α_(nn)>0且B-(1/α_(nn))αβ~T是非奇异M-矩阵。 根据定理1,我们能写出一个程序去判断A∈R~(n×n)是否非奇异M-矩阵,其计算工作量不超过O(n~3),而对于三对角矩阵,其计算工作量不超过2n-2。     

平方数的位数和函数的渐近分布

设正整数n的二进制展开式为n=∑εi2^i,这里εi=0或1,i≥0,定义二进制位数和函数为s（n）=∑εi.证明了假设n^2的二进制展开式中每个位置上0和1出现的概率相等,则s（n^2）在模2和模3的剩余类里的浙近分布是均匀的．     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

关于广义Fibonacci矩阵集合上的Fermat方程

设Am是阶广义Fibonacci矩阵，设B={Am^k ｜k∈Z，k≥0}．证明了：方程x^n＋y^n=z^n，x，y，z∈B，n∈N，n≥2没有解（n，x，y，z）．     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Bn表示所有的n阶布尔矩阵的集合，R（A）表示A∈Bn的行空间，|R（A）|表示R（A）的基数，m、n为正整数．本文证明：（1）m∈[1，46]，存在A∈B7，使得|R（A）|＝m；（2）当n≥9为奇数时，则m∈[1，22＋22＋…＋23]，存在A∈Bn，使得|R（A）|＝m．     

4个不同素因子时的Nicol问题

主要讨论了4个不同素因子的Nicol数,得到了如下结果：（1）4个不同素因子的Nicol数只可能是3-Nicol数或4-Nicol数,同时也证明了Nicol猜想在4个不同素因子情况下是正确的;（2）4个不同素因子的4-Nicol数只能是2^α1·3^α2·5^α3·P^α4,P≥7为素数;（3）4个不同素因子的3-Nicol数只能是下列形式之一：n=2^α1·7^α2·11^α3·P^α4或n=2^α1·7^α2·13^α3·P^α4或n=2^α1·5^α2·P^α3·q^α4,P≤41．P〈q或n=2^α1·3^α2·P^α3·q^α4,P．q为素数且5≤P〈q。