一个平几公式的证明和应用

斯蒂瓦特（stewart）公式：设D是△ABC的BC边上的任意一点，则：证法一（平几法）过凸ABC的顶点A作对边BC的垂线AH，垂足是H，那么H点或者在BC线段内，或者在BC的延长线上。如下列各图的情况：下面，仅就图1的情况进行证明，其他各图类似可证。根据勾股定理：即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一L证法二（三角法）如图5设ZADB—a，贝IJ；ZADC—180”＝－cosa，根据余弦定理：则：AB’·DC＋AC’·BD即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一BC·DC·BD证法三（坐标法）如图6建立直角坐标系，不妨设各点的坐标分别为…     

挖掘例题各侧面 组成系统知识链

重视教材中例题的处理，是加强双基教学，引导学生正确理解并掌握教学大纲所规定的知识和技能的基本途径。正确运用教材中的例题及其引伸，有利于学生系统的掌握知识，有利于培养学生各种优良的思维品质。l直接观察，分析比较，寻求结论例题（九年义务教育初中几何三册第144页例4），如图fool和O02外切于点A，BC是①OI和①02的公切线，B、C为切点。求证：AB上AC分析：要证AB上AC，需要考虑有几种证明AB上AC的方法，因为两圆相切常作两圆公切线，从而借助于切线长定理可得OA＝OB＝OCo由圆周角度数定理的推论知AB上ACo（由三切点…     

初中几何复习探索

如何进行几何复习抓住图形训练，培养学生的逻辑思维能力，最终达到会解几何题之目的。我们进行了有益的尝试。一、抓住图形认！练，提高学生的解题能力。1．以图形串概念，落实“双基”每个几何定义、定理都可以由一个基本图形表示。要求学生在基本图形中，见到什么条件就可以根据定义或定理得出什么结论。例如：学生看到图（1）就可得到iC一对”，ZA＋zB＝90“，／＋b‘＝／，边。最长且a＋b＞。，AB是＂ABC外接圆的直径，S＝ah／2等结论，若LA＝30”，得到LB＝＝60”，a＝。／2，著作rp上AB，则有CD·AB＝＝AC·BC，三个直角三…     

关于调和点列的若干证明

调和点列的证明在几何中颇为多见。本文提出了调和点列及其性质和判定。讨论了调和点列的若干判定方法。1、定义、定理先给出一个定义及几个定理。定义。若线段AB被点C内分成的两条线段之比等于点D外分AB所成的两条线段之比，则称共线点A、B、C、D为调和点列。由定义知，也即。可见，B内分（或外分）CD所成的两条线段之比也等于A外分（或内分）CD所成的两条线段之比。性质定理1：如果四点A、B、C、D是调和点列，且点O是AB中点，则证明：如图考虑到上面的证明每步可逆，于是有下面的结论。判定定理l：共线五点A、B、C、D、（），…     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Bn表示所有的n阶布尔矩阵的集合，R（A）表示A∈Bn的行空间，|R（A）|表示R（A）的基数，m、n为正整数．本文证明：（1）m∈[1，46]，存在A∈B7，使得|R（A）|＝m；（2）当n≥9为奇数时，则m∈[1，22＋22＋…＋23]，存在A∈Bn，使得|R（A）|＝m．     

隐含条件的挖掘

解题时，若能深挖题设中的隐含条件，则可进一步拓宽解题思路，帮助我们迅速地找到解题途径。现举例说明如下：例1．求征：分析：本题如用代数法解较为困难，而x~2 y~2~(1/2)隐含着点P(x，y)到点0（0，0）的距离，分别隐含着P（x，y）到点A（1，0），点B的距离，而C（0，0、A（1，0）B恰好构成了一个三角形的三个顶点，这样就启迪我们用几何法求解。证明：作边长为1的正三角形AOB，以OA所在的直线为x轴，0为原点建立直角坐标系（如图1），则0（0，0）、A（1，0）、设点P的坐标为（x，y）则由两点间的距离公式得本题得证。评注：挖掘数…     

关于方程｜f(x)｜=■(x)的同解定理

对于实数城上的方程，何时才能去掉绝对值符号，也即原方程是否能和同解？定理1若f（x）≥0，则方程与同解。f（x）≤0，则方程与同解。此结论显然成立。定理2若，则与同解。证明设a是的任一解，则。若f（a）≤0，由得即，与矛盾，故f（a）＞0，即也就是。因此a也是的解。设b是的任一解，则，故，所以等价于，因此b也是的解。定理3若测方程同解。证明设a是的任一解，则。若f（a）＜0，则可得，于是，此与矛盾，故f（a）≥0，因而等价于，因此a也是的解。反之，设b是的任一解，则，因此b也是的解。由定理2、3，可得定理4若，则方程与同解。注…     

椭圆的参数方程在解题中的应用

椭圆的参数方程为：（0≤0＜2π）其中参数叫做离心用．椭圆的参数方程可简化计算和论证，在研究图形、性质求解轨迹方面亦有多方面的应用：1用椭圆的参数方程求最值例一：已知椭圆和直线4X＋5y－40=0，求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离.解设椭圆上任意一点则P到已知直线的距离例二：求椭圆的切线被其对称轴所截的最短线段的长，它与。，。轴的义劳分别是。（忘，0），B。。·5。，其中等号当atso—bctso即tso一士VS时成立．因此线段＊D最短为U＋b，2用椭圆的参数方程求轨迹方程例三：已知椭圆一组平行弦的斜率是定值k，求其中点…     

浅淡运用联想,发展思维

几何这门学科，其主要目的是为了培养人的逻辑思维能力。可要学好几何，发展人的思维，并非一件容易的事。下面举例说明如何运用联想来发展思维：1横向联想，在一题多解中发展思维横向联想指的是在不改变条件和结论的情况下从不同的角度求得解答的联想。例：如图1，已知：凸＊＊c中，点D是BC边上的中点，点E是AD的中点，BE的延长线交AC于F。求证：FC＝2AF。联想1：本题在三角形中已知有中点，自然联想到过中点添加平行线，应用平行线等分线段定理及推论，三角形中位线定理等知识来解决。证：（以下都是简证）过点D作DGI【BF交AC于…     

谈谈几何题的一题多解在培养学生思维能力方面的作用

中学数学教学除了向学生传授数学知识之外，还有着培养学生数学能力的任务。学生的能力有运算能力、思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及解决实际问题的能力等，但其核心是思维能力。在中学几何教学中，特别是几何复习课中若能精心选取例题，进行一题多解的教学，对学生思维能力的培养起着很大的作用。今举两例，以作阐述。例1如图1—1，梯形ABCD中，AB∥CD，以AC，AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F。求证：EF=BF．思考方法一：构造三角形，利用全等三角形性质证。证法1:如图1—2，过F作FG∥DA交AB于G。则可证△GBF≌…     

学报论文中的附录和注释

1附录1）有些材料编入文章主体会有损于编排的条理性和逻辑性或有碍于文章结构的紧凑和突出主题思想等，为了文章的完整，可将这些材料作为附录编排于全文的末尾。2）附录的序号用A，B，C…系列，如附录A，附录B，……，附录中的公式、图和表的编号分别用（A1），（A2），……系列；图A1，图A2，……系列；表A1，表A2，……系列。2注释1）解释题名、作者及某些内容，均可使用注释，能在文章内用括号注释的，尽量不单独列出。2）不随文列出的注释，际注符号应注在需要注释的词、词组或文句的右上角，标注符号可用加半个圆括号的阿拉伯数…     

二项分布逆定理的改进

已知若X、Y是相互独立的随机变量且服从相同参数的二项分布，则X关于X＋Y的条件分布是超几何分布；反之亦然（参见文献［1］）．本文对上述结果的逆命题的条件加以削弱，证明了该逆命题仍然成立．     

有关Hamilton图与连通度的一个充分条件

利用插点方法和H-序列，证明了如果G是n阶简单图，k=k（G）≥k≥2．而（a1，a2，…，ak＋1）是H-序列，若对于任意的Y∈Ik＋1^（e）（G），有∑i=1^k＋1aisi（Y）＋sk＋1（Y）〉n＋k＋k-3，则G是Hamilton-图,该定理也是对这方面已有的某些定理的有效推广。     

独立集的邻域并和图的哈密尔顿性

设G是一个图，对于两个正整数s和t，记σs.t=S,t{ ｜ N（S） ｜ ＋ ｜ N（T） ｜- 1/2 ｜N（S）∩N（T）｜： ｜ S｜ = s, ｜ T｜ = t,且S∪T是G的独立集}．本文利用插点方法，给出了关于（s＋t）或（s＋t＋1）一连通图g是哈密顿的，哈密尔顿连通的或1-哈密尔顿的统一的证明．其充分条件是关于σt,s与n（Y）的不等式，这里Y-S∪T是图G的任一独立集，n（Y）= ｜{v∈V（G）：dist（v,Y）≤2}｜．     

命题的“题设”和“结论”及其教学

学生不清楚命题的“题设”和“结论”，就等于没有真正理解命题的确切含义．掌握命题的“题设”和“结论”，不仅为几何题的计算及证明打下牢固的基础，而且也能帮助学生深入理解代数等课中的一些概念、法则及性质．现就如何使初一学生掌握命题的“题设”和“结论”，谈谈如下几点意见．1关于命题1．1命题的概念命题是对某一件事情作出判断的语句，它是由“题没”和“结论”两部分组成．命题主要有下面几种类型：（1）“高度概括”型如：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．（2）“如果A，那么B”型如：如果两条直线都垂直于第三…     

Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5     

和式(n_∑~k=1)(-1)~κcos~ικβ及(n_∑~k=1)(-1)~κκsin~ικβ计算

引理1，设L＞1整数，当L=2m，则证明由三角函数指数定义（A1）式成立，同法可证（A2），（A3），（A4）式成立.引理2，n＞1整数，为整数，则（l）一（2）式得：当。羊1时，a一2。n。，也就是p一（2。＋1）。利用复数相等条件，实部、虚部分别相等．命题1，设L＞l整数，若L—2；n，则成立，当L—2。n＋l时，则成立，当L—Zll；时，则成立，当L二Zn；＋l，则这里。、刀在本文中分别表示隔数和奇数，约束条件的意义是：如来满足约束条件的，存在，那么第，项按规定算式计算，如果第，项不满足约束条件，那么第，项的值为O，以下公式均含…     

关于椭圆内接（外切）n边形面积最大（小）值的计算公式及其推广

《数学通报》87年第3期刊载了《椭圆内接四边形和三角形的最小面积》一文，只研究了两种简单图形，本人考虑了两种方法来推导椭圆内接（外切）n边形面积最大（小）值的计算公式．并推广到椭球面上，获得了类似的结果．首先推导单位圆的内接（外切）多边形面积的表达式：如（图1），设A1A2…An是单位圆x2＋y2=1的内接n边形，点A1的坐你为（cosαi，sinαi；）．（i=1，2，…，n）。根据多角形面积公式，算得：仍如（图I），设D1D2…Dn是单位园x2＋y2=1的外切多边形，A1，A2，…，An是其切点，A1的坐你为（cosαi．sinαi），（i=1，2，…     

用中间值定理讨论实根的分布

中间值定理：函数f（）是肝，b］上的连续函数，若f（a）f（b）＜0，则必有XOE（a，b），使f（N）一0。核定理的直观性是显而易见的．如下图所示，由广a卜f几〕＜0＿，＿川a）＜0，＿可得厂二、－（如图1）”mb）＞0””．f（a）＞0。或K＊、／（如图2）K比）＜0因为两端点的函数值异号，连续函数f（X）的图象在（a，b）内必横穿一次x轴，故f（）的图象和x轴总有一个交点（w，0），且佝E（a，b）即佝就是方程f卜）＝0的一个实根。该定理附8命题也是成立的，即：函数f（X）是卜，b］上的连续函数，且f（X）不恒等于零，若有功E（a，b）…     

一类近四边形地图的K──优美性

1一些概念和记号定义1对于正整数K，简单图G=（V，E）称为是K──优美的．若存在单一映射使得由之导出的映时是一一映射．[1]、[2]定义2除无限面为可能例外，所有的面皆为四边形的有限连通平面图称为近四边形地图．定义3设G是近四边形地图．把它的所有有限四边形面画成边长为I的正方形面，再将G放在平面直角坐标系内．使G的各项点的坐标力（s，t），s、l均为非负整数．这样所得的近四边形地图记作G(IV)。显然，直线系覆盖了G(W)的所有顶．记一个覆盖。若对任意的Lh。’。’）和L（I。”，。I”）（。11’＞。IJ且。”＜I。）都不能…