常系数齐线性差分方程公式解的推广及其证明

众所周知,一般教材上只介绍常系数齐线性差分方程的公式解。其实,结论对于变系数齐线性差分方程同样成立。下面将给出证明。 定义1 设a_0,a_1,a_2,…,是一个无穷序列,则称关于a_n,a_(n+1),…,a_(n+k-1),a_(n+k)的方程 λ_0a_(n+k)+λ_1a_(n+k-1)+…+λ_ka_n=0 (1)为k阶齐线性差分方程。 这里k是自然数,λ_j(j=0,1,2,…,k)是关于n的函数,λ_0λ_k≠0。 定义2 关于x的一元k次方程     

数制转换程序设计

一、数制转换概述 设p为一个大于1的正整数,我们通常记(a_La_(L-1)…a_1a_0)_p为一个p进制整数,其中数码a_i∈{0,1,…,p-1},(i=0,1,…,L)。这一p进制数的数值为 (a_La_(L-1)…a_1a_0)p=a_L·p~L+a_(L-1)·p~(L-1)+…+a_1·p+a_0 (1) 当我们要把一个p进制整数转化为一个N进制整数时,转换的方法通常用“除N取     

指数函数和的零点分布

§1.引言:在微分方程式的稳定性理论中,有时关联到指数函数和的零点分布问题。例如贝尔曼(参考文献1,2)在讨论方程式中(d/dt)u(t+1)=a_1u(t+1)+a_2u(t)u=φ(t) 当0≤t≤1此 u(t)的有界解存在的条件为se~s-a_1e~s-a_2=0的根全部落在 R(s)=-λ<0的左半平面内。我们要问 a_1及 a_2要满足什么条件才有这样的分布呢?为了研究这一类的问题我们来讨论更广泛的问题即所谓指数函数和     

一元三次方程的一种解法

<正> 对于一般的一元三次方程ax~3+ax~2+cz+k=0(a≠0)可以在方程两边除以a(a≠0的假设)后变形为: x~3+a_1x~2+a_2x+u_s=0     

多项式理论中未定元的替换

本文初步讨论一元多项式理论中未定元的变化的一些简单问题,我们称之为未定元的替换。在大多数〈高等代数〉书,如[1],[2],[3]中,一元多项式都被定义为形式表达式a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0,而x被称为文字。由于没有给x以确切的定义,所以,在有的情况下,就不能作出严格的论述。如,y=x+1的意义是什么,就难于解说。但是,在[4]中,对此作了严格的论证,并将称之为文字的x,叫做未定元。x有确切的意义,见[4]P101—P109,本文将在此基础上进行讨论。     

用“平均不等式”解题例谈

平均不等式a_1 a_2 … a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n) (a_1>0,a 2>0,…a_n>0,等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立)是人们熟知的一个不等式,巧用这个不等式,可以使一类代数不等式的证明,方程求解,代数式求值以及函数求最值问题显得特别简洁明目了。本文列举数例,予以说明。 一、不等式的证明     

Bifurcation for a Type of Quasilinear Elliptic Equations On R" under the Natural Growth Conditions

The article proved the existence of H~1 (R) ∩ L~∞ (R~n) at the bifurcation λ= 0 by discussing the following nonlinear eigenvalue:—D-(ij)(a_(ij)(x,u)D_ju) +1/2a_(iju)(x,u)D_iuD_ju — q(x)|u|~σu = λu0≠u∈H~1(R~n) ,0<σ< 4/n,n≥3,x∈ R~nMeanwhile the article studied the conditions of q(x) under which λ=0 was a bifurcation point for the nonlinear eigenvalue . Here a_(ij) are not required to be bounded as u varies.     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

非齐次常系数线性微分方程解法的简化公式

<正> 本文在将常见的几种类型的方程归结为最简单的一类; Z~(n)+b_1Z~(n-1)+…+b_(n-1)Z~1+b_nZ=P_m(x)时,给出了一个无需记忆的非常整齐的公式,用于解方程时可直接套用。 定理:已给方程:y~(n)+a_1y~(n-1)+…+a_(n-1)y~1+a_(n)y=P_m(x)e~(λx)则在替换:y=Ze~(λx)下,方程化为:     

系数为多项式的幂级数求和法

任何一个幂级数,只要它的系数可表达为项数n的代数多项式,略为改写后我们就可以毫无困难地求它的和。考察某一具有正的收敛半径的幂级数f(x)=sum form∞to n=0 a_nx~n,那么就有     

一类高次根式的分母有理化

为了探索分母有理化的方法,先来研究n=3时的情况。不失证明的一般性,可将三次无理分式的分母写成“1+a_1(p)~(2/3)+a_2(p~2)~(2/3)”的形式。 令矩阵A=()当|A|≠0时 解方程组:A()=() 得x_1= x_2=(a_1~2-a_2)/|A|     

一个推广的不等式

复旦大学编的《数学分析》一书中有这么一个命题: 设a_1 a_2,…,a_n均为正数,n为自然数,则有: a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2…+a_n/n)~2 在此我们将它推广为:     

S(S≥2)元一次不定方程的整数解

设S≥2,S元一次不定方程是指a_1x_1十a_2x_2十…十a_sx_s=n其中a_i(i=1,2,…,s)与n都是给定的整数,a_1a_2…a_s≠0.本又通过S元a_1,a_2,…,a_5的辗转相除法,给出上式的整数解的结构公式.     

关于丢番图逼近中的一个猜想(1)

对猜想:对于任给的a个正整数a_1,a_2…,a_n总存在一个实数x;使得|a_ix|≥1/(a+1)+1 i=1,2,…,a成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的a个正数■,■,…■,总存在a个整数k_1,k_2,…,k_m和a个正数y_1,y_2,…,y_m,使得且(a+1)k_x+1 i=1,2,…,a成立,并给出n=2,3,4时的证明,其方法不同于以前的方法.     

应用平均值不等式求函数最值

平均值不等式详见高中代数下册P8,不等式定理1的推论:如果a,b∈R~ 那么(a b)/2≥ab～(1/ab),当且仅当a=b时取‘=’号.”并且能推广至n个正数的平均值不等式:a_1,a_2,…,a_n∈R~ ,(a_1 a_2 … a_n)≥(a_1a_2、a_n)~(1/(a_1a_2、a_n)上述推论广泛应用于求函数的值域,最大最小值以及证明不等式,在近几年高考题中多次考查.     

一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

关于三元线性型的Frobenius问题

本文除说明外,所有字母都表示整数。 设a_i>0,i=1,2,…,k,(a_1;a_2,…,a_k)=1,Mk表示线性型f_k=sum from i=1 to ka_ix_i(x_i≥0,i=1,2,…k)的最大不可表数。 关于如何求Mk的问题,即k元线性型的Frobenius问题,是一个至今尚未完全解决的问题。当k=2时,M_2=a_1a_2-a_1-a_2,Frobenius问题已经完全解决了;对于k≥3,虽然人们已经找到了某些算法,但至今还没有找到类似于M_2=a_1a_2-a_1-a_2的公式,即用固定的有限次代数运算来表示Mk的“公式”。关于如何求M_3的问题,华罗庚在《数论导引》中     

特殊到一般在中学数学解题中的应用

解数学试题有很多规律与方法,这要因题而异.比如从一般到特殊,或从特殊到一般等等.本文将讨论从特殊到一般的认识规律与方法在解题中的应用.1 特殊解法(特例法) (1)概念特例法 例1 已知等差数列{a_n}的公差d≠0,且a_1,a_3,a_7成等比数列,求(a_1+a_3+a_9)/(a_2+a_4+a_10)的值. 分析:由题意知,只要满足a_1,a_3,a_9成等比数列的条件,取何种等差数列与结果是无关的,因此可选取数     

关于 Laplace(常)微分方程中的一个基本公式及其应用

引言给定方程y″ (a_0 a_1/x)y′ (b_0 b_1/x)y=0或xy″ (a_0x a_1)y′ (b_0x b_1)y=0 (1)若 a_1=b_1=0 则(1)变为常系数二阶线性方程,故可用欧拉方法解之。若 a_1,b_1,不皆为零,则欧拉方法不适用,而需用拉普拉斯变换。所谓拉普拉斯变换,就是这样的一个积分:y(x)=(?)e~(xz)U(z)dz (2)其中 U(z)是待定的复变函数,L 是在 z 平面上与 x 无关的待定路线。我们的目的,在于适当的规定 U(z)和 L,使得 y(x)为(1)的一个不恒等于零的解。为此,我们先作一些形式的处理。     

一类准幂级数及其收敛性

<正> 对于标准形式的幂级数sum from n=n-0 to ∞(a_nx~n),其收敛性及一致收敛性已有熟知的结果.但对一类形式颇似上述幂级数的函数级数,如等,其收敛范围应如何确定?其一致收敛性又怎样呢?为方便,我们暂称形如