偏微分方程的非线性变换和精确解

利用截属的Painlev'e展开式、非线性变换和可积的微分方程，可以求出一类非线性偏微分方程的自Backlund变换和它的精确解，孤立波解。波动方程、Hirota-Satsuma方程组和非线性色散与耗散方程作为例子来说明这一方法。     

一类非线性偏微分方程的摄动解法

首先用行波变换将非线性偏微分方程转化为非线性常微分方程,然后采用摄动方法直接求解该非线性常微分方程,最后求得了非线性K le in-Gordon方程的二级近似解。这种方法也可进一步推广用于求其它非线性偏微分方程的近似解析解。     

一类非线性偏微分方程的多孤子解（英文）

许多重要的自然科学问题和工程问题都可以归结为非线性偏微分方程。从传统的角度来看,非线性偏微分方程的多孤子解是很难得到的。经过几十年的研究和探索,已经发现了一些构造精确解的方法。借助于科尔-霍普夫变换和Af+B=0方法,获得了Burgers方程和KP方程的多孤子解。该方法能够解决一系列偏微分方程。     

用改进的试探函数法求解广义KdV方程

试探函数法求解非线性数学物理中一个非常著名的非线性偏微分方程—广义KdV方程,求得其一般形式的指数函数解,据此不但求得了广义KdV方程的sech2型钟状正则孤波解,而且求得了其csch2型奇异行波解,最后,利用一些熟知的数学关系式,又求得其若干其它显式精确解,包括三角函数型周期波解等。     

寻找非线性演化方程精确解的新的双曲函数法

基于齐次平衡法的思想,利用双曲函数建立了一种求解非线性偏微分方程的新的双曲函数法,其基本原理为,通过作一些特殊的变换,将非线性偏微分方程的求解问题转化为非线性超定代数方程组的求解问题,借助数学软件Mathematica,利用吴消元法等,求解此非线性超定代数方程组,最终获得非线性偏微分方程的精确孤波解.     

用试探函数法求KdV方程的孤子解

通过引入一个新的变换,利用试探函数法,并选取准确的试探函数形式,将一个难于求解的非线性偏微分方程化成了一组易于求解的非线性代数方程,从而简洁地求得了KdV方程的孤子解,所得结果与已有结果完全吻合。这种方法可望进一步推广用于求解其它非线性偏微分方程。     

广义KDV-MKDV方程的精确解

利用直接积分方法将广义KDV-MKDV方程化为一阶变系数非线性常微分方程组,然后用待定系数法确定相应的常数获得了广义KDV-MKDV方程新的精确解;利用先作假设变换后选取试探函数的方法来直接构造广义KDV-MKDV方程新的精确解.     

广义的tanh-coth方法在求解一类分数阶非线性偏微分方程中的应用研究

本文主要是利用广义的tanh-coth方法去求解分数阶非线性偏微分方程的精确解.因为时间分数阶耦合Drinfel'd-Sokolov-Wilson(DSW)方程精确解的求解方法相对较少,所以以该方程为例,对广义的tanh-coth方法进行研究.该方法通过复变换将分数阶非线性偏微分方程转换成常微分方程,从而得到多组易于计算得到、无需线性化、无小扰动的收敛级数形式的解析解.     

无阻尼单摆运动方程反函数形式的精确解

利用函数进行变换,将单摆的二阶非线性微分方程化为一阶非线性微分方程进行积分求解,再利用三角函数变换,最后求出用Legendre椭圆积分表示的无阻尼单摆运动方程反函数形式的精确解。     

非线性耦合VB方程组的精确行波解

利用构造辅助函数的方法,给出了非线性耦合VB方程组的某些新的精确行波解,包括孤子解、三角函数解、椭圆函数解和幂函数解,其中某些解还是复线型的.     

构造非线性偏微分方程精确解的(1/G)-展开法

精确解是研究非线性偏微分方程的重要课题。许多自然现象都可以由非线性偏微分方程的精确解描述。利用(1/G)-展开法,并借助符号计算系统Maple,获得了Sharma-Tasso-Olver方程和Ablowitz-Kaup-Newell-Segur水波方程的精确解,其中包括一些新的结果。未来这一方法也可用来构造其他非线性偏微分方程的精确解。     

变分方法在求解非线性偏微分方程(组)中的应用

构造非线性偏微分方程精确解是数学物理中的一项热门课题.在本文中,在变分方法框架内成功推出Cubic非线性Schr?dinger方程和Dave-Stewartson方程组的孤立波解,进而揭示该方法的有效性和可操作性.     

应用改进的Kudryashov方法求解演化方程

非线性发展方程的行波解在许多应用科学领域中有重要作用.本文在(2+1)维KaupKupershmidt(KK)方程组中应用改进的Kudryashov方法构造行波解,该方法适用于非线性波动方程(组)的求解.应用该方法得到全新的解,其解具有某些特殊的物理现象.     

RLW-Burgers方程的对称分类及其精确行波解

本文基于吴-微分特征列集算法确定了RLW-Burgers方程的对称分类并对其进行了约化.在约化后的几种情况中我们选取了一个方程,利用推广的Tanh函数法进行求解,并得到了丰富的精确行波解,这些解分别以含任意参数的双曲函数、三角函数及有理函数等三种形式表示,其中双曲函数表示的行波解中参数取特殊值时可得到孤波解.     

KS型议程的行波解讨论

本文利用齐次平衡法确定了KS型方程双曲正切函数解的参数所满足的方程组，并且展开相关讨论，如给出了解的几种特殊情况及双曲正切函数法的适定条件等，为非线性发展方程的行波解（孤立波解）的求出给出了具有参考价值的理论与实例。所采用的方法具有普遍性。     

对用消去法解常系数线性微分方程组的注记

可以借助于求某一未知函数。的二阶、三阶、…直至n阶导数，然后消去其余的未知函数，化为关于yk的高阶常系数线性微分方程，以求得一阶线性方程组（1）的通解．我们称这种方法为消去法．但在运用这种方法时，应注意如下的四个问题：1．应明确不是每一个常系数线性微分方程组都可化为关于某一个未知函数的高阶微分方程的．比如，方程组就不能化为关于未知函数y1或y1的一个二阶微分方程．2．运用消去法当化为关于某一个未知函数的高阶微分方程即可，其阶数1≤k≤n，即阶数不超过方程组中方程的个数．比如：例1解方程组解对y1，求至二阶导数时…     

一类非线性发展方程的新精确解

本文通过行波变换将改进的（2＋1）维ZK方程和（2＋1）维破裂孤子方程约化为标准椭圆方程,再由标准方程的行波解结构和参数假设法并借助计算机代数系统Mathematica求出原方程的解,从而得到了方程的多组精确孤立波解．与其他方法相比,这种方法简单有效,也可用于寻找其他非线性发展方程的精确孤立波解．     

一类无散射耦合的Kotreweg-de Vries方程组的约化和精确解

将一类无散射耦合的Korteweg -deVries方程组约化为一阶拟线性双曲型方程 ,并给出了它们之间的一种变换关系 ,然后利用拟线性双曲型方程的解 ,得到无散射耦合的Korteweg-deVries方程组的精确解     

微分方程解的存在定理及稳定性

前言:对一个微分方程以及方程组积分的基本问题乃是寻求所有解并研究它的性质。 如果能将所有解用初等函数表示,那么研究解的性质不会出现大的困难,但这种情况是极少的。有些方程能够求积,即将给出的微分方程化为初等函数不定积分的计算,但这种方程遇到的也相当少,这种方程最常见的类型我们已研究过。 在一般情况下微分方程不能求积,那时采用逼近法积分,通常求满足某些补充条件的解,即解柯西问题或极限(边界)问题。 如果解柯西问题,即寻求满足初始条件的解,仅当我们事先知道满足给定初值条件的解在我们关心的自变量变化的区域内存在并且有定义时,在这种情况用逼近法才能够给出微分方程所求解的真实表达式。 我们将阐明柯西问题解存在的三个基本定理:皮卡尔定理,柯西定理以及皮亚拿定理,通常给微分方程加上相应的基本条件。其中的两个(皮卡尔定理和柯西定理)不仅确立满足给定的初始条件的解存在而且唯一。这些存在与唯一性定理对所有自然科学有原则意义,因为它们确立了某种现象,按它微分的性质和初始数据,保证求得完全确定的规律性。因为许多自然现象它对应的规律可借助于微分方程来表示,所以这点特别重要。     

一类平衡阶数为负整数的非线性偏微分方程的精确解

以齐次平衡原理为基础,给出了平衡阶数为负整数时的求解非线性偏微分方程的基本方法,并对方程ut=αuuxx+βu2x+p(u-u2)进行求解,到得了它的两个不同形式的精确解。