复合函数极限的存在性

讨论了如果两个函数y =f(u)与u =φ(x)的极限都存在 ,不妨设limx→x0φ(x) =u0 ,limu→u0f(u) =A ,则复合函数f[φ(x) ]在x0 点是否存在极限 ?如果复合函数f[φ(x) ]的极限存在 ,那么是否还等于A ?通过论证得到 ,并不能由limx→x0φ(x) ,limu→u0f(u)的存在性推出limx→x0f[φ(x) ]的存在性。     

多元复合函数求导教学浅谈

多元复合函数求导是多元函数微分学的教学重点之一,又是教学的一个难点,本文就这部分内容的教学谈点粗浅体会。 利用图形、记忆法则 多元复合函数求导法则: 若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)有偏导数,函数z=f(x,y)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)有对x及y的偏导数,且计算公式:     

此变换非彼变换

在不定积分和定积分的计算问题中,都有换元积分法.二者大体相似,又有重要区别.不定积分的换元法的一般叙述是:设x=φ(t)在[α,β]上可导,且有反函数在t=φ_(x)~(-1),α≤φ_(f)≤b,f(x)在[α、β]上有定义,如果f[φ_(t)]φ′_(t)有原函数G(t),则在[a,b]上存在,且     

反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。     

复合函数y=f〔φ(x)〕单调性的一个初等解法

由于函数y=f(u)和u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)],其单调性的习题常见于各种教材及习题集中。特别是在高三总复习阶段,总结一下解题方法是有必要的。本文给出的定理,是把复合函数的单调性问题转化为基本初等函数的单调性问题。 我们约定:在复合函数y=f[ψ(x)]中u=ψ(x)称为里层函数,y=f(u)称为外层函数。     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

一个新的一阶常微分方程的可积类型

本文借用文[3]的思想方法,给出了一类一阶常微分方程可积的充分条件及其通积分,由此还可以推得许多新的可积型和古典可积的一阶常微分方程及其通积分,大大推广了文[1]、[2]、[3]的有关结果。定理.设P、Q、F∈C,φ、f_1.f_2.f_3h∈C′,并且φ(x)>0、f_1(y)>0、f_2(y)>0、f_3(y)>o、h(x)>o、F(u)≠0,K、a、β为任意实常数(β≠0),如果满足条件     

(R)积分顺序可交换的充要条件

本文在文[1]的基础上把含参量的(R)积分顺序可交换的条件再加以削弱,得到如下定理:设f(x,y)在R[a,b;c,d]上定义并有界,则成立的要条件是f(x,y)分别对x、y均(R)可积。     

对称函数的性质

n 元函数 f(X_1,X_2,…X_n)称为对称函数,如果 f(X_1,…,Xi,…,X…X_n)=f(X_1,…,Xj,…,X,…,X=1,2,…,n.)。对称函数有许多特殊的性质,下面主要就二元函数来讨论对称函数的几个性质。显然,二元函数 f(x,y)是对称函数,如果 f(x,y)=f(y,x)。下面各性质中,总是假定 f(x,y)是对称的,不再作声明。     

再认识正反函数图象的关系

通常,对正反函数图象的关系是这样认识的:本来函数y=f(x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象是同一的,但将反函数x=f~(-1)(y)中的x与y交换位置之后,函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象就不同一了,并且这两个图象关于直线y=x对称。现在,笔者从一般的函数及其图象的定义出发,导出与上述相反的结论:函数y=f)x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象根本不同,这根x与y位置交换无关。同时讨论了这两个图象在坐标平面上的表示,并得到一个相应结论。为了把这些问题阐述清楚,有必要回顾一点基础知识:     

一个重要积分不等式的证明、推广及应用

利用定积分定义直接证明和推广了文献 [1 ,2 ]中的一个重要积分不等式φ(1b -a∫baf(x)dx)≤ 1b -a∫baφ(f(x) )dx ,并应用它推广了文献 [2 ,3]中的一些积分不等式     

关于可积函数的和仍可积定理的证明

江泽坚、吴志泉合编的《实变函数论》(1961年6月第1版,1986年2月第8次印刷)的89页给出了如下定理; 定理7.若f(x),g(x)都是E[1]上的可积函数,则f(x)+g(x)也是E上的可积函数,且     

函数的保号性及其应用

设y=f(x)是区间[a,b]内的一个初等连续函数(图一)。 由图象易知:x_1,x_2,x_3…x_n分别是函数f(x)的n个零点,并把区间(a,b)分成了(n+1)个有序区间(从左到右);在(a,x_1)内,恒有f(x)>0,在(x_1,x_2)内,恒有f(x)<0,在(x_2,x_3)内,恒有f(x)>0,…,在(x_n,b)内,恒有f(x)<0,或者恒有f(x)>0。这一事实告诉我们:     

Bernstein算子和Bernstein—Kantorovic算子的∧_ω(A)类保持性质

设ω(x)是[0,1]上的上凸连续模函数,记Λ_∞(A)={f∈C[0,1]:ω(f,x)≤Aω(x)},本文得到f∈A_∞(A)(?)L_n(f)∈Λ_∞(A),其中L_n表示Bernstein算子或Bernstein-Kantorovic算子。     

积分顺序可交换的较弱条件

<正> 关于含参量积分顺序可交换的条件,一般教科书上都表述为: 定理1 若f(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则 integral from n=h to b(dx) integral from n=c to d f(x,y)dy=integral from n=c to d(dy) integral from n=h to bf(x,y)dx。 如所周知,其中“f(x,y)在R[a,b;d]上连续”的条件是很强的,用它刻划积分顺序的可交换性甚不理想。比如     

关于二重富里埃级数的线性求和法

设C_(2π,2π)为满足下述条件的两个变数函数f(x,y)的全体:1°)f(x,y)关于每一个变数都是具有周期2π的周期函数;2°)f(x,y)是x和y的二元连续函数.对任意的f(x,y)∈C_(2π,2π)借助于数组     

区间上具原函数的函数性质

在区间 I 上存在原函数的函数,或已知区间上可导函数的导函数,具有一些特殊的分析性质.本文即是对这类性质的部分探讨.定理1 设函数 f(x)在区间 l(开的或闭的或半开半闭的)上具有原函数 F(x),则函数 F(x)至多存在振荡间断点.证设 x_0∈I,且右极限 lim f(x)存在,取[x_0,x]I,则函数 F(x)在闭区间[x_0,x]上满足     

函数f:R~2→R~1的微分中值定理

本文把一元函数f:R~1→R~1的微分中值定理推广到二元函数f:R~2→R~1上,下面是二元函数z=f(x,y)的微分中值定理。 定理 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,在D内关于x和y的两个偏导数连续,且算子1×2矩阵的范,则对D内任意两点(x_1,y_1)、(x_2,y_2)有     

微分几何中一个定理的证明

文献〔1〕中有如下定理: 设C:r(s)={x(s),y(s)}是至少为C~2类的平面闭曲线,其中s∈〔0,L〕为弧长参数,令θ(s)表示x轴到C的单位切向量α(s)={x(s),y(s)}的按逆时针方向计算的有向角并且0≤θ(s)<2π,则可定义一个连续可微函数 θ=θ(s),s∈〔0,L〕,使得θ(S)和θ(s)只相差2π的整数倍,即     

与Euler函数φ(n)有关的一个四元不定方程的解

讨论了与Euler函数φ(n)有关的四元不定方程φ(xyzw)=4 (φ(x)+φ(y)+φ(z)+φ(w))的整数解,基于Euler函数φ(n)的性质及初等的方法,给出了其满足x≤y≤z≤w的整数解,再由对称性确定了其共有1 080组整数解,从而确定其全部的整数解。