高阶线性常微分方程初值问题的二个求解公式

考虑n阶线性常微分方程 通常的解法是,先求出对应齐次方程的n个线性无关的特解。然后用常数变易法求出(1)的通解,最后利用初始条件(2)确定(1)通解中的任意常数。本文将给出一个公式直接把初值问题(1)、(2)的解表示出来,以简化求解步骤。 设y_1(x),y_2(x),…y_n(x)为(1)对应的齐次方程的基本解组。w(x)为其Wronski行列式。即:     

一种求解Riccati方程的方法

由于Riccati方程为非线性方程，常用的初等积分方法难以获得其解析解，但如果知道Riccati方程一个特解，则可通过变换将其简化为一阶线性非齐次微分方程求解.文章以实例形式分析了一阶线性微分方程与Riccati方程之间存在相同特解的情况，在求解思路上，提出了将一阶线性微分方程作为Riccati方程求解的引导方程，分析了引导方程与Riccati方程之间存在共同特解的条件，给出了寻求可解Riccati方程的方法，并通过示例验证了此方法的可行性.     

求Riccati微分方程通解的一种方法

已知Riccati方程的一个特解,可求出该方程的通解公式.     

对函数sin(kx+)一个性质的探讨

本文探讨如何找最小正实数k,使f(x)=sin(kx+)在任意两个整数间至少有一个最大值1与一个最小值-1,导出了函数f(x)的周期T与f(x)具有上述性质的关系,然后把问题简化为在0≤φ≤π/2的范围内讨论,并得出了φ为0,π/2,q/p·π/2(q/p为既约真分数)及其它四种情况的最小正实数k。     

高阶常系数线性微分方程“连环解法”的改进

在《常微分方程》的各种教材中,介绍了常系数线性非齐次微分方程(其中p_1,p_2,…,p_(n-1),p_n均为实常数)的各种解法。如[1]中的“算子法”;[2]中的“常数变易法”;[1,3]中的Laplace变换法”;[2,3,4]中当f(x)为某几类特殊函数时,先用代数法求出对应齐次方程的通解,再用“待定系数法”求出非齐次方程的一个特解,然后迭加;资料[5]中利用特征方程的特征根,将原高阶线性方程转化为由n个一阶线性常系数微分方程组成的一个连环方程组(笔者称其为“连环解法”),此法有它独到之处,本文又将改进“连环解法”,以大大减少积分的计算量。     

RLW-Burgers方程的对称分类及其精确行波解

本文基于吴-微分特征列集算法确定了RLW-Burgers方程的对称分类并对其进行了约化.在约化后的几种情况中我们选取了一个方程,利用推广的Tanh函数法进行求解,并得到了丰富的精确行波解,这些解分别以含任意参数的双曲函数、三角函数及有理函数等三种形式表示,其中双曲函数表示的行波解中参数取特殊值时可得到孤波解.     

关于用“算子法”解非齐次常系数线性方程组的一个问题

用“算子法”解非齐次常系数线性方程组,把D看成常数,象解线性代数方程组一样来解,比较通用,且方法好记,(见[Ⅰ]P_(193)例11)。但我们发现象[1]中那样求特解可能会产生解不配对的问题,即求出的x,y、分别是各自的特解,但归在一起可能不是原微方程组的一组特解。下以[1]P_(196)习题3(2)说明之。     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

求常系数线性非齐次方程特解的一种简捷而实用的方法

本文借助于Laplace变换,以及复变函数的积分,给出了计算常系数线性非齐次方程特解的公式。该公式简单易记,简便实用,不失为求特解的一种简捷方法。     

关于y′ p(x)y=q(x)的一点注释

本文通过对y＇ p(x)y=q(x)注释,把通解中的任意常数C交易为待定函数C(x),从而加深对常数变易法的理解与掌握。     

三次参数曲线拟合算法的优化研究

计算机图形学的许多专著都曾对三次参数曲线的参数拟合算法做了一些讨论,但在曲线方程确定下来后,如何进行快速的拟合,尚未有一个统一的优化算法.本文通过分析研究,给出了一种可适用于任意三次曲线段拟合的优化算法,较大地提高了计算效率.     

关于y'+p(x)y=q(x)的一点注释

本文通过对y'+p(x)y=q(x)注释,把通解中的任意常数C变易为待定函数C(x),从而加深对常数变易法的理解与掌握.     

理想气体与卡诺循环效率的证明

一、引言 关于理想气体可逆卡诺循环效率的证明问题,《大学物理》先后刊登两篇文章[1][2],就文[2]出的问题进行了讨论。该问题是:在证明理想气体卡诺循环效率时,一般教科书都利用理想气体的绝热过程方程TV~(r-1)=C(或与其等价的方程),而该方程是在假定γ为一与温度无关的常数下得到的近似方程,这样就容易使人怀疑证明的结果是否也有近似的性质。同时为避免这一问题     

一类Riccati方程的通积分

众所周知,Riccati方程）’一分’＋Q｝＋R一般是不可积的,这早已被刘维尔所证明．本文给出一类Ricc。ti方程：y＝P）‘＋Qy＋Re卜“（）在条件Pe冲“＝2（r〕下的通积分．IRdx定理吉R卜can方程问满足条件：Pe」帅一2（）口）则（l）可积,通积分为：其中不定积分中的积分常数为零,以下类同．证对mCCCti方程（1诽变换：U＝eW·）。两边关于x求导,得U＝（q·y＋）、）e一卜把其代人方程（l）,整理得先解U’＝Pe卜·U’,得t在（6）中,视C＝C（C）,并关于C求导,则（7）是一个关于c的foccati方程．由于c、c‘项的系数和末项满…     

广义KDV-MKDV方程的精确解

利用直接积分方法将广义KDV-MKDV方程化为一阶变系数非线性常微分方程组,然后用待定系数法确定相应的常数获得了广义KDV-MKDV方程新的精确解;利用先作假设变换后选取试探函数的方法来直接构造广义KDV-MKDV方程新的精确解.     

关于丢番图方程multiply from i=1 to k(x_i~(x_i))=Z~z的相等奇数解

本文讨论了丢番图方程multiply from i=1 to kx_i~(x_i)=Z~Z的相等奇数,确定了方程在2×k时有全相等奇数解的全部k值,解决了文〔4〕中提出的一个问题。     

自共轭矩阵在具一反自同构变换的体上的推广

本文将实数域上对称矩阵与复数域上Hermite矩阵的概念推广到具有一个反自同构的任意体上,证明了“自共轭矩阵合同于对角矩阵”在具有一个反自同构的任意体上仍成立。     

函数导数阶数的推广及性质

本文把微积分学中函数的导数阶数推广到了任意的非负实数，讨论了任意阶导数的一些性质，证明了微积分学中的三个中值定理即“洛尔定理”、“拉格朗日定理”、“柯西定理”在导数的阶数推广后仍然成立。     

谈相图中二种特殊点的自由度

一、单组分体系的临界点 大家知道,对于单组分体系,它们都有确定的临界数值,例如对于服从范德瓦方程的气体,它们的临界温度T_0与临界压力P_0分别为上二式中b为范德瓦常数,对于每种真实气体均有一定的b值,因此y●与P,也有一定的值。如果该气体服从其它真实气体状态方程,则其T_O与P_O也有其它相应值。显然纯物质的临界点的自由度为零。     

二维变系数线性微分系统的求解定理

本文研究二维变系数线性微分系统且已知系统（1）的一解类型的求解法．引理设X1（t）为二阶变系数线性齐次微分方程（其中p（t）,q（t）∈C）的解,而且x1（t）≠0,则函数为方程（2）的另一线性无关的解。此引理不难证得,故从略．定理1若二维变系数线性微分系统（1）,已知系统（1）的一解,则系统（1）的通解为C1、C2为任意常数．证明我们容易将系统（1）化为方程（2）的形式．对（1）的第一个式子两端求导数,则有把（1）的第二个式子代入（5）式得由（1）的第一式解出将（7）代入（6）得（8）式即为（2）的形式依据引理,可得不难验…