线性代数刍议

一、线性代数的发展简史 线性代数是在18世纪产生发展起来的一门重要学科,它的发展历史大致可分为以下三个阶段: 18世纪莱布尼兹与克莱姆等人给出了行列式概念及其基本理论,线性方程组的克莱姆公式及行列式的拉普拉斯展开式就是这一阶段的重要成果。 19世纪,贸柯勃逊将行列式用于数学分析,给出Jacobi函数行列式这一重要工具,使行列式的应用更为广泛。矩阵理论两大始祖J·Sylvester与A·Cayley于19世纪上半叶均作     

四元数体上的极化余子式和逆矩阵公式

在四元数体Q上研究了行列式及所谓类自共轭矩阵的行列式的性质，提出了自共轭矩阵的极化余子式和极化伴随矩阵的概念，推广了域上行列式按一行（列）展开定理，得到了逆矩阵公式以及左线性方程组的Cramer解式。     

n阶行列式的计算

1、直接用行列式的性质计算利用行列式的性质，简化行列式，然后再进行计等。例1计算a阶行列式：解：当n=1时，D1=a1＋b1；当n=2时，D2=（a1－a2）（b2－b1）；（ri-r1表示第一行乘（－1）加到各行上，不同）2、化为三解角行列式将行列式化为下列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出。（对角行列式）（上三角行列式）（下三角行列式）（次角行列式）（次上三角行列式）（次下三角行列式）下面我们讨论可化为三角行列式的几种情形。。）或形行列式例2计苏：（C；－C；表示第一列来以（．l）加到各列上，不同）b）可化为而形行列式…     

用降阶定理求行列式的值

将行列式与矩阵联系在一起，用行列式的降阶定理计算n功行列式，以使方法简单化．     

Xβ=Y的最小二乘解与正规方程X'Xβ=X'Y的解

在研究线性统计模型时,需要求线性方程组Xβ=Y的最小二乘解,其中Y为已知的n维观察向量,β为欲求的k维未知参数向量,X为n×k阶常数矩阵。     

四元数正定阵与线性方程组Ax＝b的反问题

引入了四元数正定矩阵的概念，给出了ｎ阶四元数矩阵为正定的充要条件，得到了四元数线性方程组Ａｘ＝ｂ的反问题有正定阵解、正定自共轭阵解的充要条件及解的一般形式．     

在等价变换下矩阵的标准形的一个重要应用

[1]、[2]文中指出,用初等变换可把任意矩阵A化简为,用矩阵等式可表示成ABQ=其P,Q非奇异矩阵,并称A等价于本文利川(＊)式探求一般线性方程组Ax=b的可解性及在有解时解的结构.有定理 设A∈C~(m×n)(C~(m×n)表示复数域上mxn矩阵的全体),P,Q分别满足(＊)式的m,n阶非奇异矩阵,且Q=(q_1…q_rq_(r+1)…q_n),P~(-1)=(p_1…p_rp_(r+1)…p_m),则(i)q_(r+1)…q_n是(1)的导出方程组Ax=0的一组其础解系.     

一类一阶线性方程组的解法

利用复系数的一阶线性方程解公式，给出一类一阶线性方程组的新解性。     

线性代数教学新思路的逻辑依据

针对线性代数(非数学专业)内容抽象、头绪较多的问题，在教学中改变了把行列式、矩阵、线性方程组与向量、向量空间、向量的线性变换分割成两大块的传统做法，抓住线性空间和变换这一核心内容，提前引入向量的概念和计算，并且把向量、向量空间、向量的线性变换作为贯穿于分析和解决行列式、矩阵、线性方程组、二次型等具体问题全过程的一务主线，逐步展开。这一改变使得较具体问题一开始就有抓住实质的分析思路，又使得较抽象概念得以结合不同的、较能把握的实际背景，逐步展开和反复领会，从而收到事半功倍、深入浅出的教学效果。     

对用消去法解常系数线性微分方程组的注记

可以借助于求某一未知函数。的二阶、三阶、…直至n阶导数，然后消去其余的未知函数，化为关于yk的高阶常系数线性微分方程，以求得一阶线性方程组（1）的通解．我们称这种方法为消去法．但在运用这种方法时，应注意如下的四个问题：1．应明确不是每一个常系数线性微分方程组都可化为关于某一个未知函数的高阶微分方程的．比如，方程组就不能化为关于未知函数y1或y1的一个二阶微分方程．2．运用消去法当化为关于某一个未知函数的高阶微分方程即可，其阶数1≤k≤n，即阶数不超过方程组中方程的个数．比如：例1解方程组解对y1，求至二阶导数时…     

线性代数的掌握与教学(Ⅰ)——以克莱姆法则教学为例

以克莱姆法则为研究载体,通过教师对克莱姆法则的不同教学处理,考察教师对数学知识的理解,探讨教师数学内容知识的掌握对教学的影响,通过莱姆法则的知识包,进一步分析教师的知识结构对数学教学的影响。     

行列式的几何意义和公理化定义

定义行列式,有许多方法。现行的高等代数教材,一般都是用代数和定义的。其叙述方式之一如下:定义1 n 阶矩阵A=(?)的行列式|A|是由下式确定的一个数:是自然数     

一类样条协调板元及其在插值上的应用

[1][2][3]给出了矩形域上满足C′条件的样条插值方法,但它必须解高维的线性方程组。本文将在我们[2][3]的基础上改进这一方法。首先给出一类分片的样条协调板元,借助于这种板元,在矩形域上可以方便地讨论各种插值问题,而不必解高维的线性方程组。同时指出这种新的协调板元将优于一般的双三次式协调板元。     

利用矩阵的分解求矩阵的逆

设A,B是n阶矩阵,X是n元列向量,Y是n元行向量,若有B=A+XY,则称把B分解为-n×n矩阵与-n元列向量与-n元行向量乘积两部分,把B分解为A与XY两部分的目的是能简便地解决一些问题。 利用这种分解可以求矩阵的逆,当分解出的A简单时,计算逆便简单,基于这种想法的依据有以下定理:     

“向量的线性相关性”教学的一点体会

《高等代数》教学中,“向量的线性相关性”这一内容是教学的一个难点.有人曾说:“线性相关,真是一关”,情况确实如此.我以为,学生感到这一内容“难”的原因在于:一、本内容处在从具体到抽象的转折点上.一般《高等代数》书本都把它安排在行列式、矩阵、线性方程组之后,线性空间的基底之前,前面的内容如行列式性质与计算,仍然以具体方法为主,学生较易接受.但一转入向量空间、抽象的概念大批出现,     

有限数域上的矩阵结构

近来随着电子计算机发展起来的一类精确算法获得了巨大的进展,有别于通常的有舍入误差的计算方法,精确算法没有丝毫的误差影响,因此可以在一些特定的问题上得到应用。在精确算法中最基本的算法是解线性代数方程组问题。这一问题已经在以素数为基底的有限数域上得到了解决,但是现有的算法仍然停留在高斯一约当消去法的基础上来处理矩阵以及矩阵求逆的计算上,也就是在有限域上,线性方程组问题的基本解法到目前为止还没有一个较好的办法。现在这篇文章试图从另一个新的角度,通过对于有限数域上矩阵群的研究来探讨线性方程组的解法问题,并获得这样的结果:在有限数域上的矩阵求逆,或线性方程组求解可以用矩阵的乘幂来实现。从而使上述问题最终得解。     

一类常系数线性方程组的简易解法

本文给出了当系数矩阵 A 形如(☆)式时的线性方程组基解矩阵的简易求法.     

矩阵方程XA＝B的亚（半）正定自共轭四元数矩阵解

给出了四元数体Ｑ上ｎ×ｎ分块矩阵为亚（半）正定自共轭矩阵的一个充要条件，进而给出了Ｑ上矩阵方程ＸＡｎｍ＝Ｂｎｍ有亚（半）正定自共轭四元数矩阵解的充要条件及解集合的显式表示，从而推广改进了数城上线性方程组的反问题及矩阵反问题的相应结果．     

关于半正定矩阵的一些结果

设A是n阶实矩阵,如果对任意非零实n元向量X,均有X＇≥(>0),就称A为半正定矩阵(正定矩阵)。已有不少文章研究了正定矩阵的性质,但关于半正定矩阵的研究尚不多见。本文给出半正定矩阵的一种合同标准形,由此得出了半正定矩阵的两个性质:半正定矩阵的行列式非负;可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定。     

利用多项式理论计算行列式

本文运用多项式根的性质，给出了计算各种类型的行列式的方法。关于ｎ阶行列式的计算方法和技巧，各种参考书上．已经给出了一些非常好的方．本文将运用多项式的有关性质。对行列式的计算作一些初步探讨。