非齐次常系数线性微分方程解法的简化公式

<正> 本文在将常见的几种类型的方程归结为最简单的一类; Z~(n)+b_1Z~(n-1)+…+b_(n-1)Z~1+b_nZ=P_m(x)时,给出了一个无需记忆的非常整齐的公式,用于解方程时可直接套用。 定理:已给方程:y~(n)+a_1y~(n-1)+…+a_(n-1)y~1+a_(n)y=P_m(x)e~(λx)则在替换:y=Ze~(λx)下,方程化为:     

三角形惯性极矩不等式的推广

M·S·Klamkin教授于1975年建立了三角形惯性极矩不等式,揭示了平面上任一点到三角形顶点的距离加权平方和与三边的加权平方和之间的不等量关系。这一不等式表述为: 设λ_1,λ_2,λ_3为任意正数,△A_1A_2A_3的三边长分别记为a_1,a_2,a_3,平面上任一点P到顶点A_i的距离记为R_i(i=1,2,3),则 (λ_1+λ_2+λ_3)(λ_1R_1~2+λ_2R_2~2+λ_3R_3~2)≥λ_2λ_3a_1~2+λ_3λ_1a_2~2+λ_1λ_2a_3~2 (1) 本文试对三角形惯性极矩不等式作若干有意义的推广。 首先,我们有     

广义对角占优矩阵的一些性质

设A=(a_(jk)_)(n×n)为n阶复矩阵(本文记为A∈C~(n×n),记o_j=sum from k=1 k≠j to n |a_(jk)|,j=1,...,n若|a_(jj)|>a_(j),j=1,…,n,则称a为(按行)严格对角占优矩阵.若(?)=1/2(A A~x)为严格对角占优矩阵,则称A为共轭(严格)对角占优矩阵.关于各类对角占优矩阵特征值的分布,已在文     

Gauss-Bonnet公式的另一种表示形式

设M为n=2P维的紧致定向Riemann流形,本文将证明Gauss-Bonnet公式可表示成 x(M)=((-1)~p/2~pπ~p)∫_(mΩ_(1…n)) 其中,对任意偶数m≤n。 Ω_(i_1…i_m)=(sum from k)ε((1K2…K-1K+1…m)(1…m)Ω_(i_1i_k)∧Ω_(i_2…i_(k-1)i_(k+1)…i_m))     

浅议幂级数逐项积分、逐项微分后的收敛域

如果幂数级数: Sum form n=0 to ∞ (a_nx~n=a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n+…) (1) 的收敛区间是(-R,R),则将幂级数(1)在(-R,R)内逐项积分、逐项微分后所得的幂级数分别为:     

一元三次方程的一种解法

<正> 对于一般的一元三次方程ax~3+ax~2+cz+k=0(a≠0)可以在方程两边除以a(a≠0的假设)后变形为: x~3+a_1x~2+a_2x+u_s=0     

关于左定微分方程解的讨论

本文应用Gram矩阵有关理论,证明2n阶实系数对称微分方程∑ k=0(-1)~(n-k)(P_ky~(n-k))~(n-k)=λry(r是不定实权函数,λ∈c,且I_mλ≠0)至少有n个线性独立解属于Hibert空间H。     

用“平均不等式”解题例谈

平均不等式a_1 a_2 … a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n) (a_1>0,a 2>0,…a_n>0,等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立)是人们熟知的一个不等式,巧用这个不等式,可以使一类代数不等式的证明,方程求解,代数式求值以及函数求最值问题显得特别简洁明目了。本文列举数例,予以说明。 一、不等式的证明     

重调和方程“最好的”13点近似差分方程

一九五七年D.Greenspan曾导出和证明了差分方程-20U_0+4(U_1+U_2+U_3+U_4)+U_5+U_6+U_7+U_8=0为拉普拉斯方程U_xx+U_yy=0的“最好的”9点近似差分方程。一九五九年我国彭清泉试图导出和证明差分方程20U_0-8(U_1+U_2+U_3+U_4)+2(U_5+U_6+U_7+U_8)+U_9+U_10+U_11+U_12=0为重调和方程     

拟Hermite-Fejér插值多项式的饱和性

§1 引言设P_n(x)是Legendre多项式P_n(1)=1,以P_n(x)的零点{x_k}_(k-1)~n为节点的拟Hermite—Fejér插值多项式是 H_n(f,x)=sum from k=0 to n 1 f(x_k)h_k(x),Vf∈C_([-1,1]). 这里 h_0(x)=(1 x/2)P_x~2(x),h_(n 1)(x)=(1-x/2)P-n~2(x), h_k(x)=((1-x~2)/(1-x_k~2))((P_n(x))/((x-x_k)P′_n(x_λ)))~2。关于H_n(f,x)对f的逼近度人们已作了不少工作。例如J. Prasad和A. K.     

完全二部图的拟C_(2k)-因子分解

λKm,n表示完全二部多重图,kC2表示2k长圈。如果λKm,n的子图F包含λKm,n的m+n-1个点,且其每个分支都同构于kC2,则称F为λKm,n的拟kC2-因子。如果λKm,n的边集可以划分为λKm,n的拟kC2-因子的和,则称λKm,n存在拟kC2-因子分解。本文利用直接构造法,得到完全二部多重图λKm,n存在拟kC2-因子分解的充分必要条件是:(1)λ=0(mod 2),(2)m=n+1,(3)n=0(mod k)。     

高阶变系数线性微分方程的特征值解法

本文主要讨论高阶变系数线性微分方程P_n(x)y~(n)+P_(n-1)(x)y~(n-1)+……+P_1(x)y~’+P_0(x)y=0的特征方程的特征值解法.     

n阶线性微分方程的初值问题

本文给出n阶线性微分方程的初值问题的求解公式。 若a_1(t),a_2(t),…,an(t),f(t)是区间[a,b]上的连续函数;x_1(t),x_2(t),…,xn(t)是区间[a,b]上齐线性方程     

数制转换程序设计

一、数制转换概述 设p为一个大于1的正整数,我们通常记(a_La_(L-1)…a_1a_0)_p为一个p进制整数,其中数码a_i∈{0,1,…,p-1},(i=0,1,…,L)。这一p进制数的数值为 (a_La_(L-1)…a_1a_0)p=a_L·p~L+a_(L-1)·p~(L-1)+…+a_1·p+a_0 (1) 当我们要把一个p进制整数转化为一个N进制整数时,转换的方法通常用“除N取     

关于三元线性型的Frobenius问题

本文除说明外,所有字母都表示整数。 设a_i>0,i=1,2,…,k,(a_1;a_2,…,a_k)=1,Mk表示线性型f_k=sum from i=1 to ka_ix_i(x_i≥0,i=1,2,…k)的最大不可表数。 关于如何求Mk的问题,即k元线性型的Frobenius问题,是一个至今尚未完全解决的问题。当k=2时,M_2=a_1a_2-a_1-a_2,Frobenius问题已经完全解决了;对于k≥3,虽然人们已经找到了某些算法,但至今还没有找到类似于M_2=a_1a_2-a_1-a_2的公式,即用固定的有限次代数运算来表示Mk的“公式”。关于如何求M_3的问题,华罗庚在《数论导引》中     

关于菲波那契数列的推广

著名的菲波那契数列{α_n}为:α_0=0,α_1=1,并且当n≥2时,α_n=α_(α_n-1) α_(n-2),其通项公式为:。那么,如果有一个数列{α_n},已知α_0,α_1,且当n≥2时满足α_n=αα_(n-1) βα(n-2),能否给出该数列的通项公式呢?答案是肯定的。具体推导如下: 由于{α_n}当n≥2时满足α_n=αα_(n-1) βα_(n-2),所以可写出{α_n}的特征方程:λ~n=αλ~(n-1) βλ_(n-2)即λ~(2)-αλ#原图像不清晰     

一类高次根式的分母有理化

为了探索分母有理化的方法,先来研究n=3时的情况。不失证明的一般性,可将三次无理分式的分母写成“1+a_1(p)~(2/3)+a_2(p~2)~(2/3)”的形式。 令矩阵A=()当|A|≠0时 解方程组:A()=() 得x_1= x_2=(a_1~2-a_2)/|A|     

指数函数和的零点分布

§1.引言:在微分方程式的稳定性理论中,有时关联到指数函数和的零点分布问题。例如贝尔曼(参考文献1,2)在讨论方程式中(d/dt)u(t+1)=a_1u(t+1)+a_2u(t)u=φ(t) 当0≤t≤1此 u(t)的有界解存在的条件为se~s-a_1e~s-a_2=0的根全部落在 R(s)=-λ<0的左半平面内。我们要问 a_1及 a_2要满足什么条件才有这样的分布呢?为了研究这一类的问题我们来讨论更广泛的问题即所谓指数函数和     

关于Müntz有理逼近的点态估计

给定M＞0，0＜α＜1，非负实数序列{λ_n}~∞_(n=1)满足λ_(n+1)-λ_n≥Mn~(1+α)对所有n≥1成立，给出了Müntz系统{x~λn}有理逼近在区间[0，1]之右端点1处的点态估计．     

图与其补图特征值之和的界

设G是n阶简单图,其补图记为Gc,iλ(G)为G的第i大特征值。文中给出了图与其补图几个常见的特征值之和的界(i=1,2,…,n):-2(nn--1 i)(+i-1 1)≤λi(G)+λi(Gc)≤2(n-i)i(n-1)()及n-1≤λ1(G)+λ1(Gc)≤-1+1+2n(n-1)()()式中,下界可达当且仅当G为正则图。