a~(1/n)、n~(1/n)的极限

数列a~(1/n)(a>0)、n~(1/n),即数列a,a~(1/a),…,a~(1/a),…,(a>0)l,2~(1/2),3~(1/3),…n~(1/n),…它们的极限都为1.本文介绍此结果的几种证法.     

丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)

本文运用四次Diophantine方程的性质以及初等方法证明了:丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)至多有2~(w(n))-1个正整数解.当n=p~k时,方程的正整数解为(p,k,x,y)=(5,1,4,30),(29,1,4900,2612610).当n≡2p,p.5,7(mod8)时,方程的正整数解为(p,x,y)=(3,24,420).     

Z[(-n)~(1/2)]的唯一分解

讨论了Z[(-n)~(1/2)]的唯一分解问题,得到的主要结论是当n≥3时,Z[(-n)~(1/2)]不是唯一分解环;当-2≤n≤2时,Z[(-n)~(1/2)]是唯一分解环,同时给出了Z[2~(1/2)]的可逆元等价表达形式.     

公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

差分方程x_(n+1)=(ax_(n-1))/(1+bx_nx_(n-1))的全局稳定性

研究了差分方程x_(n+1)=ax_(n-1)/1+bx_nx_(n-1),n=0,1,2,…(a,b,x-1,x0为非负实数)的全局性质,得到了方程所有正解的单调性、有界性、周期性、局部渐近稳定性和全局渐近稳定性等相关结果.     

关于爱多士猜想4/n=1/x+1/y+1/z

文献[3]指出,不定方程 4/n =1/x+1/y+1/z除了n≡1 ,121,169,289,361,529(mod840)外,对其余的所有正整数n都可解。本文给出了上述不定方程的解满足的条件,借助这一条件,得到了文献[3]中没有解决的n≡1,121,169,289,361,529(mod840)中每一种情形的两大类正整数解的具体表达式。     

关于Diophantine方程(ax4-1)/(ax-1)=yn+1

设a是大于1的正整数.该文给出了方程(ax4-1)/(ax-1)=yn 1的所有适合min(x,y,n)＞1的正整数解(x,y,n).     

对整环Z(2~(1/2))的单位的讨论

本文根据Pell方程的有关定理，给出了整环Z（）的全体单位，并推广讨论了整环Z（）（n∈N，且n为非平方数）的单位情况．     

integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx能表为有限形式的充要条件及其待定系数(积分)法

本文讨论积分integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx(其中p(x)为x的n次多项式,n≥1,m>2,m∈n.a≠0,b~2-4ac≠0),得出该积分能用初等函数表示(称为能表为有限形式)的充要条件,进而给出了求integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx的待定系数法.     

K_(2n)完美1-因子分解的一些结果

K_(2n)的1-因子分解称为完美的,如果它的任意两个不同的1-因子的并形成K_(2n)的Hamilton圈.1963年,A.Kotzig猜想是:n≥2时,K_(2n)有完美1-因子分解,该猜想已成为图论和组合设计中最难的未解决的问题之一。本文利用有限城上的强初子和计算机构造了K_(12168)和K_(16808)的完美1-因子分解。     

论数列{1+1/2+1/3+…+1/n}发散性的证明

一、问题的提出 数列的歌西收敛准则,是数学分析基础理论重要支柱之一。尤应注意数列发散性的证明。 很多教材都喜欢引用调和数列y_n=1+1/2+1/3+…+1/n作为典型的发散性例子。但在证法上很值得深入研究一番。     

关于数论函数方程d(nm)=kd(n)解的探讨

本文用构造法指出若(E)k0∈N使方程d(nm)=k0d(n)有解,那么方程d(nm)=(m'k0-1)d(n)必有解.另一方面,给出方程d(nm)=kd(n)有解关于k的密率的定义,证明lim x→∞r(2,x)=0.5等,提出了两个猜想.     

和式(n_∑~k=1)(-1)~κcos~ικβ及(n_∑~k=1)(-1)~κκsin~ικβ计算

引理1，设L＞1整数，当L=2m，则证明由三角函数指数定义（A1）式成立，同法可证（A2），（A3），（A4）式成立.引理2，n＞1整数，为整数，则（l）一（2）式得：当。羊1时，a一2。n。，也就是p一（2。＋1）。利用复数相等条件，实部、虚部分别相等．命题1，设L＞l整数，若L—2；n，则成立，当L—2。n＋l时，则成立，当L—Zll；时，则成立，当L二Zn；＋l，则这里。、刀在本文中分别表示隔数和奇数，约束条件的意义是：如来满足约束条件的，存在，那么第，项按规定算式计算，如果第，项不满足约束条件，那么第，项的值为O，以下公式均含…     

关于丢番图方程x~n-2y~n=1和Erds猜想

本文运用Baker方法证明了：方程x~n-2y~n＝1，x，y∈Z＼｛0｝，（x，y）≠（-1，-1），n∈N，n＞2，至多有432组解（x，y，n），而且这些解都满足n≤3231以及|x|＜e~(10)~(208460)。     

-1/2E~2(?)ε 1/2(?)(E~2τδε/δτ)的物理诠释

本文分析了(-1/2)E~2?ε (1/2)?(E~2τ(?ε)/(?τ))的物理意义,并指出ε在表面处是变量,不能提出积分号外。     

2~(1/2)无理性的又一证明

2~(1/2)无理性的证明已有多种,其中不乏简单明了的,现在再给出一种简易的证明。 证明:(应用反证法) 假定2~(1/2)=a/b,其中a,b为互质的正整数。由此得a~2=2b~2 由于b~2只能以0,1,4,5,6或9为末位数字,因而2b~2只能以0,2或8为末位数字。     

混合Ramsey数X_2(m,k_(1,n))的下界

一个图G的全色数x_2(G)是着色G的边和顶点使相邻、关联元素均着不同色所需要的最少颜色数。对于正整数m和星形图K_(1,n),混合Ramsey数x_2(m,K_(1,n))是这样的最小正整数P,使得任一P阶图G或者有x_2(G)≥m,或者G的补图G含K_(1,n)为子图。本文引进全着色矩阵的概念,据此得到混合Ramsey数x_2(m,K_(1,n))的下界:对于m≥3、n≥1,有 x_2(m,K_(1,n))≥m+n-2。 结合Fink给出的上界可知,当m奇数、n偶数时,x_2(m,K_(1,n))=m+n-2;其余情况时,m+n-2≤x_2(m,K_(1,n))≤m+n-1。     

教学札记——关于极限lim/n→∞{1+1/n}~n证明的一点建议

本文利用Cauchy不等式给出了极限lim/n→∞(1+1/n)~n存在的证明,说明了Cauchy不等式的重要性并摘要给出了该不等式的初等证明。     

二阶中立型非线性时滞差分方程的振动性判据

研究了一类较广泛的二阶中立型非线性时滞差分方程　　　　　Δ2 (x(n) +∑li=1ci(n)x(n -mi) ) +∑sj =1 fj(n ,x(n -kj(n) ) ) =0 ,n≥n0的振动性 ,给出了该类方程振动及差分算子振动的判据。     

受外力的二球相碰时e=V′_(2n)-V′_(1n)/V_(1n)-V_(2n)成立的充分条件

力学中研究二球的碰撞问题时一般都限于外力可以忽略的自由碰撞,这时恢复系数e=V′_(2n)-V′_(1n)/V_(1n)-V_(2n),如果外力是不能忽略的冲力,等式还成立吗?成立的条件是什么呢?本文从恢复系数的定义着手对这个问题进行较详细的讨论。