算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

数m~n的末两位数的确定

《数学通报》1985年第5期刊登了《数m”的个位数的确定》的一个一般且简明的方法，那么数m”的末两位数的确定是否也有一般的方法呢？本文将对这个问题作一点探讨。对数5来说，很显然，只要n＞2，则5”的末两位数就是25。定理1设。;一20k＋r，（k＞0，0＜r＜19）则（l）当k＞1，r-0时，2’“的末两位数为76;（2）当k＞l，r-l时，2’“”‘的末两位数为52;（3）当k＞0，2＜r＜19时，2‘’‘”r的末两位数与2”的两位数相同（若2”为一位数，则在2”前加0）。证明:（1）由计算知，2”的末两位数为76，所以可令2”一100m;＋76，则2m‘＝（100-1…     

关于多项式T_n(x)的整除性的一个问题

设n是适合n≥2的正整数,Tn（x）＝（1＋x）n＋（1－x）n－2n．本文证明了：如果p是素数,则对于任何适合2p＞r＞3的正整数r,都有Tr（x）T2p（x）．     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Bn表示所有的n阶布尔矩阵的集合，R（A）表示A∈Bn的行空间，|R（A）|表示R（A）的基数，m、n为正整数．本文证明：（1）m∈[1，46]，存在A∈B7，使得|R（A）|＝m；（2）当n≥9为奇数时，则m∈[1，22＋22＋…＋23]，存在A∈Bn，使得|R（A）|＝m．     

关于不定方程x^3-1=Dy^2

证明了如下结果：如果题设方程有非平凡整数解，D只有唯一的6k＋1形素因子p，则D要么没有其他素因子，要么任何其他素因子q都满足（3p／q）=1或（p／q）=1。     

一类绝对值方程(不等式)的几何解法

绝对值方程（不等式）通常解法是去掉绝对值符号，化为普通方程（不等式）解之．但去绝对值符号需要分若干类讨论，一般都比较繁琐，又易出错．因此并不是一种很好的解法．本文绘出绝对值方程虾等式）的一种几何解法，借助数轴及绝对值的几何意义、函数的单调性等，可避免分类讨论之苦，能迅速准确地求出结果．先看两个简单的事实．事实1：同一直线上三点A、B几，若C夹在A、B两点之间，则有|AC|＋|BC|＝|AB|，如图1；反之也成立．若C在线段AB或线段BA延长线上，则|AC|＋|BC|＞|AB|，反之也成立，如图2．事实2：同一直线上的n个点A…     

关于完全t部图的色等价性

设K（n1,n2,…,nt）表示完全t部图,K(n1,n2,…,nt）－A表示从K（n1,n2,…,nt）中删去子边集A所得之图．本文证明了：令G＝K（n1,n2,…,nt）,J为整数集,R为实数集．设简单图Y满足Y～G,则且进一步有：若s＞0且αi∈R（i＝1,2…．t）．则     

关于丢番图方程(n-1)_∑~(k=0)[1-(80s+72)k]~r=[1+(80s+72)~n]~7

本文证明了：当n，r为正整数，s为非负整数，丢番图方程无整数解。     

关于限量分配问题

考虑把n个球放入m个盒内的I型分配问题，若限制每个盒的容量都取自由某些非负整数所组成的集A，则把分配数记为d~(1)_n（m，A）．分配数列（d~(1)（m，A）n≥0的指母函数记为e~d~(I)(m,A)设k≥0，Nk＝｛k，k十1，…｝为不小于k的全体整数所组成的集，W2k=｛2k，2k＋2，…｝为不小于2k的全体偶数所组成的集，J2k＋1＝｛2k＋1，2k＋3，…｝为不小于2k＋1的全体奇数所组成的集。魏万迪给出了如下计数公式：[1]此外，文献[2]还介绍了下面的计数公式其中S（n，m）是第二类Sitrling数．本文分别给出了计算分配数d：I（。n，A”。），dz‘’…     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

关于ord_a(b~n±1)的上界

设ａ ,ｂ 是互素的正整数,ａ ＞ １,ｂ＞ １ ．本文给出了ｏｒｄａ（ ｂｎ ±１） 的最好的上界：设ν是使得ａα｜ｂν±１ 　及　ｇｃｄ（ａ ,ｂυ±１ａα） ＝１成立的最小正整数,而α≥２ 是一个整数．令ｃａ ,ｂ ＝ ａα／υ,则对于任何正整数ｎ,都有ｏｒｄａ（ｂｎ±１） ≤ｌｏｇ（ Ｃａ ,ｂｎ）ｌｏｇａ ．     

二项式定理及其应用

二项式定理是中学数学的一个重要定理，不仅在初等数学学习中有着广泛应用，而且又是学习概率、微积分等有关高等数学的重要基础知识。本文根据平时教学所得从几个方面重点谈谈该定理在初等数学中的应用，以供参考。首先重温一下二项式定理二项式定理：设N，则其中Tr＋1＝C叫做二项展开式的通项。（证明略）二项式系数的主要性质有：（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即（2）如果二项式的幂指数是偶数，那么中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇效，那么中间两项的二项式系数相等并且最大…     

关于(x~p+y~p)/(x+y)的素因子的一个命题及两点应用

Ⅰ 设P是奇素数,x、y是整数,本文讨论整数(x~p+y~p)/x+y的素因子问题,关于这个问题有下面结果: 命题Ⅰ:设P是奇素数,x、y是互素的整数(x+y≠0),那么对于(x~p+y~p)/x+y的任一素因子q有: i) q≥P ii)若q≠p,则p|q-×,即存在正数h,使q=2hp+1。 为了证明命题Ⅰ,先证明下面的引理: 引理:设k、m是互素的正奇数,x、y、d是整数,若d|x~k+y~k,d|x~m+y~m,则d|x+y。 证:为了方便,不妨设(x,y)=1、((x, y)≠1结论同样成立。) 此时有(x,d)=1 (y,d)=1     

Baker方法的若干应用(ⅩⅤ)

设a、b、n是正整数本文运用Baker方法证明了：当n≥2·108或者2＜n＜2·108且ab＞（4nn2／（n-1））2／（n-2）时方程。axn-by＝±1至多有1组正整数解（x，y）．上述结果基本上证实了Siegel的一个猜想．     

应用台劳公式证明算术——几何平均不等式

利用导数证明了算术一几何平均不等式[1]一文，读后很受启发．现应用台劳公式给出了该不等式的证明，供参考．设龙Xi＞0．i＝1，2，…，n，则当且仅当X1＝X2＝…＝Xn；时，等式成立．lnXi．Xi＞0，（i＝1，2，…，n）；再设f（x）＝lnx（x＞0），由台劳公式，有其中介于两正数X0与Xi之间．对上式两边求和，并注意到，应用台劳公式证明算术──几何平均不等式@王端中$临沂教育学院!山东2760011 顾海润 算术-几何平均不等式的导数证明 抚州师专学报,1996(1)     

n元一次不定方程非负整数解的个数

不定方程的非负整数解在实际中有着重要的作用，可以说，实际问题中所需要的大都是非负整数解。如“鸡翁一，钱值五，鸡母一，钱值三，鸡雏三，钱值一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”因此，研究不定方程的非负整数解对于理论和应用都具有很大价值。本文拟讨论n元一次不定方程满足条件ai＞0,i＝1，2…，n（a1，a2,…an）＝1的非负整数解的个数。关于二元一次不定方程的非负整数解的个数，在［1」中有如下一道习题：证明，二元一次不定方程ax＋by＝N，a＞0，b＞0，（a，b）＝1的非负整数解的个数为［？］或［号］＋l。这一结论由于它的解…     

de Sitter空间S_1~(n+1)(c)中标准数量曲率为c的类空超曲面

得到deSitter空间s_1~(n+1)(c)中标准数量曲率为常数c的类空超曲面的一个定理:设M~n是de Sitter空间s_1~(n+1)(c)中标准数量曲率r与s_1~(n+1)(c)的截面曲率c相等的n维(n>2)紧致的类空超曲面,则M~n是全测地超曲面.     

联立Pell方程组x2-Dy2=-1和z2-(D+4)y2=-1

设D是正奇数.该文证明了:如果D≡1(mod8),则方程组x2-Dy2=-1和z2-(D 4)y2=-1没有整数解.