巧用待定方程法求三角式值

求三角式值方法很多，本文介绍一种新的方法，即用待定方程法求值。下面举例说明此法，供参考。[例]求三角式之值．分析：设之值为待定一元二次方程Ax~2+Bx+c=0之一根，将代入方程左边，通过恒等变形，再利用比较系数法求出A、B、C之比值，立出一元二次方程，然后求出方程之两根，再选择满足条件的一个根。此根即为所求之值。解设．为一元二次方程Ax~2+Bx+c=0之一根，代入方程则方程左边下面用复数法计算上式后面括号内三式之值。设复数z=cosθ+isinθ，z＝cosθ-isinθ其次再设则将上式求得的值代入（2）式，就得到：方程左边右边=0，由…     

对函数f（x）=cx＋d／ax＋b的n次迭代周期性的探讨

就函数的特征根方程ax2＋（b－c）x－d＝0的判别式△＝0，△＞0，△＜0讨论f[n]（x）＝x的存在性．给出存在n使f[n]（x）＝x成立时，a，b，c，d满足的条件，并给出一些特例及定理的应用．     

利用点的变换解决常见图象变换问题

在中学数学中，有函数图象的平移变换与伸缩变换问题，方程的曲线的对称变换问题。这几类问题的解决，都可以用一种共同的思想方法──图象中的对应点的变换。1平移变换例1把直线l向在平移1个单位，再向上平移2个单位，所得直线l’与l重合。求直线l的斜率。分析：直线l：y＝kx＋b平移变换后所得直线产，可理解为直线l上的一点（x0，y0），平移变换后得到直线l’上的一个对应点（x，y），这里x，y的关系式即为直线l’的方程。把点（x0，y0）向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得点为（xo－1，y0＋2），因此x＝x0－1，y＝y0＋2，即x0＝x…     

由曲线的对称性及交点理论看简单二元二次方程组的解

本文利用高中数学中关于曲线的对称性及交点理论来解释现行初中数学课本代数第三册第138页，例2的求解方法的合理性，并从中得出一些简单二元二次方程组根的规律。为说明问题方便起见，先把课本里例2的解法写出：例2解方程组解：这个方程组的x、y是一元二次方程z~2-7z+12＝0的两个根，解这个方程，得：z_1=3或z_2＝4，所以原方程的解是：这个方程组虽然可以用代入法解，但采用上述解法更简洁。课本配备了许多类似例2的习题，无疑是要求学生熟练地掌握这类题的例2解法。但是例2解法过程中从z_1＝3或z_2=4这一步直接得出原方程组的解是比较突…     

椭圆的参数方程在解题中的应用

椭圆的参数方程为：（0≤0＜2π）其中参数叫做离心用．椭圆的参数方程可简化计算和论证，在研究图形、性质求解轨迹方面亦有多方面的应用：1用椭圆的参数方程求最值例一：已知椭圆和直线4X＋5y－40=0，求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离.解设椭圆上任意一点则P到已知直线的距离例二：求椭圆的切线被其对称轴所截的最短线段的长，它与。，。轴的义劳分别是。（忘，0），B。。·5。，其中等号当atso—bctso即tso一士VS时成立．因此线段＊D最短为U＋b，2用椭圆的参数方程求轨迹方程例三：已知椭圆一组平行弦的斜率是定值k，求其中点…     

一类Riccati方程的通积分

众所周知,Riccati方程）’一分’＋Q｝＋R一般是不可积的,这早已被刘维尔所证明．本文给出一类Ricc。ti方程：y＝P）‘＋Qy＋Re卜“（）在条件Pe冲“＝2（r〕下的通积分．IRdx定理吉R卜can方程问满足条件：Pe」帅一2（）口）则（l）可积,通积分为：其中不定积分中的积分常数为零,以下类同．证对mCCCti方程（1诽变换：U＝eW·）。两边关于x求导,得U＝（q·y＋）、）e一卜把其代人方程（l）,整理得先解U’＝Pe卜·U’,得t在（6）中,视C＝C（C）,并关于C求导,则（7）是一个关于c的foccati方程．由于c、c‘项的系数和末项满…     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

反常规方法解题例谈

解决常规数学问题需要选择最优化的解题思路．为此，就要尽可能回避诸如复杂的分类讨论和冗长的逻辑论证以及繁难的数式运算等．实践证明，恰当运用反常规方法解题则可大大优化解题过程，取得很好的解题效果．现列举数例于后．以动观静，简捷新颖──反常规方法之一例1.已知a＋b＋c=0求证：a3＋b3＋c3=3abc.分析：首先，a＋b＋c=0不是静止的，可视为方程ax＋bg＋cz=0有非零解x=y=z=1．其次，a＋b＋c=0形式并非唯一的，可由一变三：a＋b＋c=0，b＋c＋a=0，c＋a＋b=0，这表明齐次线性方程组：有非零解x=y=z=1，从而其系数行列式为零：式于、数…     

关于广义Fibonacci函数的整数值

设a是正整数，数列满足遍推关系u0＝1，u1＝a，um＋2＝aum1＋um（m≥0），函数本。文证明了：对于任何正整数a，当且仅当X＝0或者X＝u2n-1／u2n（n∈N）时，U（x）是正整数上述结果完整地解决了Brugia、DiPorto和Filipponi提出的一个公开问题     

n元一次不定方程非负整数解的个数

不定方程的非负整数解在实际中有着重要的作用，可以说，实际问题中所需要的大都是非负整数解。如“鸡翁一，钱值五，鸡母一，钱值三，鸡雏三，钱值一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”因此，研究不定方程的非负整数解对于理论和应用都具有很大价值。本文拟讨论n元一次不定方程满足条件ai＞0,i＝1，2…，n（a1，a2,…an）＝1的非负整数解的个数。关于二元一次不定方程的非负整数解的个数，在［1」中有如下一道习题：证明，二元一次不定方程ax＋by＝N，a＞0，b＞0，（a，b）＝1的非负整数解的个数为［？］或［号］＋l。这一结论由于它的解…     

关于二次方程的根

我们知道一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＝ ０（ａ ／ ０）的根的判别式为△＝ ｂ２－ ４ａｃ,则 １）当△＞０时,方程有两个不相等的实根; ２）当△＝０时,方程有两个相等的实根; ３）当△＜０时,方程无实根。 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０）的两根为 ｘ１、ｘ２,则 ,这种根与系数的关系,我们又称韦达定理． 对于一元二次方程来说,根的判别式、根与系数关系是比较重要的基础知识,教科书和有关专业期刊都有涉及,本文主要从以下两个方面对二次方程的根进行更深入的讨论．１根的虚实正负 例 １ｍ取何实数值时,方程 ｘ２…     

一类绝对值方程(不等式)的几何解法

绝对值方程（不等式）通常解法是去掉绝对值符号，化为普通方程（不等式）解之．但去绝对值符号需要分若干类讨论，一般都比较繁琐，又易出错．因此并不是一种很好的解法．本文绘出绝对值方程虾等式）的一种几何解法，借助数轴及绝对值的几何意义、函数的单调性等，可避免分类讨论之苦，能迅速准确地求出结果．先看两个简单的事实．事实1：同一直线上三点A、B几，若C夹在A、B两点之间，则有|AC|＋|BC|＝|AB|，如图1；反之也成立．若C在线段AB或线段BA延长线上，则|AC|＋|BC|＞|AB|，反之也成立，如图2．事实2：同一直线上的n个点A…     

利用二次函数的性质求极值

我们知道二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）配方得 ｙ＝ ａ（ｘ＋），所以顶点坐标为（　　　）．（１）当 α＞０时，抛物线开口向上，有最低点，即，有最小值，即当时，最小值＝　时，抛物线开口向下，有最高点，ｙ有最大值，即当ｙ最大值．应用这一性质求极值，有以下几种类型．１一般二次函数的极值 例 １（１）求函数ｙ＝－ｘ２－ ３ｘ＋ ２的极值；（２）求函数 ｙ＝ ４ｘ２－ ３ｘ＋２的极值．这类问题可直接利用性质或通过配方来解，具体解答略．２高次函数的极值 有些次数高于２的高次函数的极值，通过变换后，可以利用以…     

关于三阶可逆整数矩阵的Fermat方程

设A是三阶整数矩阵，V＝｛Ak｜k∈N｝，本文证明了：当｜A｜≠0时，Fermat方程Xn＋Yn＝Zn，X，Y，Z∈V，n∈N，n＞2有解的充要条件是A3＝2I，其中I是三阶单位矩阵。     

关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数，a非平方数，若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1，（x，D）＝1）有最小解（x，m，Z）＝（b，2α＋1，d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

隐含条件在解题中的作用

在解数学题时，所给的已知条件有两种：一是直接而明显的已知条件；另一种是题目本身所隐含的条件．本文结合例题浅谈数学隐含条件在解题中的作用．1定义本身所包含的意义有些习题看上去可用较普遍的方法来解，而忽视定义本身所包含的意义．例！解方提：（1）分析：第（1）题通常的解法是格项、两边平方等变成一个一元二次方程，然后根据＜0，判断此方程无解．而实际上，只要稍微分析一下题目，便可根据很式的定义知即5＜x＜2，而这样的数是不存的，故原方程无解．第（2）题可根据对数的真教要大于零而判断此方程无解．2人为地缩小了未知数…     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

关于丢番图方程(x~p-y~p)/x-y=z~2

设N、P分别是全体正整数和奇素数的集合．本文运用初等数论方法部分地解决了有关万程（xp-yp）／（x-y）＝z2，x，y，z∈N，X＞y＋1，ged（x，y）＝1，p∈P，P＞3（＊）的Ljunggren问题，即证明了：方程（＊）仅有解（x，y，z，p）＝（3，1，11，5）可使x是奇素数的方幂     

求解高阶常系数线性微分方程的新方法

探讨了避开复值解定理求解常系数线性微分方程的方法．施变换ｙ＝ｚｅ￣ｒｘ于方程ｙ（ｎ）＋α１ｙ（ｎ－１）＋…＋αｎｙ＝０，则新方程的特征方程为（λ＋ｒ）ｎ＋α１（λ＋ｒ）ｎ－１＋…＋αｎ＝０．指出了如特征方程分解为（λｌ＋ｐ１λｌ－１＋…＋Ｐｌ）（λｋ＋ｑ１λｋ－１＋…＋ｑｋ）＝０，，则其对应的方程可以写成复合微分方程［ｚ（ｋ）＋ｑ１ｚ（ｋ－１）＋…＋ｑｋｚ］ｌ＋ｐ１［ｚ（ｋ）＋ｑ１ｚ（ｋ－１）＋…＋ｑｋｚ］（ｌ－１）＋…＋ｐｌ［ｚ（ｋ）＋ｑ１ｚ（ｋ－１）＋…ｑｋｚ］＝０．通过把方程写成复合微分方程和转化为非齐次方程，用待定系数法研究了齐次方程的通解结构．在齐次方程通解理论的基础上，通过引进新方程、将其写成复合微分方程和转化为非齐次方程与所给的方程比较，导出非齐次方程的特解设置．     

滴定曲线的微机处理初探

本文从溶液平衡条件出发，对酸碱滴定、沉淀滴定、氧化—还原滴定及配位滴定的滴定曲线方程进行数理推导，对于M＋L＝ML形滴定反应，其滴定曲线方程可拟合为：Kx2＋［Kc（α－1）＋Q］－R＝0同时进行微机处理，得到令人满意的结果．