挖掘例题各侧面 组成系统知识链

重视教材中例题的处理，是加强双基教学，引导学生正确理解并掌握教学大纲所规定的知识和技能的基本途径。正确运用教材中的例题及其引伸，有利于学生系统的掌握知识，有利于培养学生各种优良的思维品质。l直接观察，分析比较，寻求结论例题（九年义务教育初中几何三册第144页例4），如图fool和O02外切于点A，BC是①OI和①02的公切线，B、C为切点。求证：AB上AC分析：要证AB上AC，需要考虑有几种证明AB上AC的方法，因为两圆相切常作两圆公切线，从而借助于切线长定理可得OA＝OB＝OCo由圆周角度数定理的推论知AB上ACo（由三切点…     

n元一次不定方程非负整数解的个数

不定方程的非负整数解在实际中有着重要的作用，可以说，实际问题中所需要的大都是非负整数解。如“鸡翁一，钱值五，鸡母一，钱值三，鸡雏三，钱值一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”因此，研究不定方程的非负整数解对于理论和应用都具有很大价值。本文拟讨论n元一次不定方程满足条件ai＞0,i＝1，2…，n（a1，a2,…an）＝1的非负整数解的个数。关于二元一次不定方程的非负整数解的个数，在［1」中有如下一道习题：证明，二元一次不定方程ax＋by＝N，a＞0，b＞0，（a，b）＝1的非负整数解的个数为［？］或［号］＋l。这一结论由于它的解…     

对函数f（x）=cx＋d／ax＋b的n次迭代周期性的探讨

就函数的特征根方程ax2＋（b－c）x－d＝0的判别式△＝0，△＞0，△＜0讨论f[n]（x）＝x的存在性．给出存在n使f[n]（x）＝x成立时，a，b，c，d满足的条件，并给出一些特例及定理的应用．     

一阶线性微分方程的推广

众所周知，一阶线性微分方程的通解为本文将（1）加以推广，并得到其通解公式．定理一阶型微分方程若满足条件则（3）的通解为由一阶线性微分方程的熟知结果，则得所求通解：8＼y／d特别地，当取y（y）＝l，a＝l时／y）＝y，这时（3）即（l），故（3）是（l）的推广．此时，（5）JL．．IP（x）山／In八＿IP（x）dsJ．．＿＼刀y＝eJ””～”一iD叭xJ刽“””一则＊cJ即（2）．定理证毕．例1求方程y’＋Zx＝xe－’的通解．。，。，。，。t，。。。，＊。，。。。lA：n。。。、。。。。。，解g（g）＝e－’，入g）＝l，a二l适合条件人g）…     

积分第二中值定理中ξ的渐近性质

本文研究了积分第二中值定理中ξ的渐近性质，得到主要结果：ｌｉｍｂ→ａζ－ａ／ａ－ｂ＝ｎ＋１√ｎ／２ｎ＋１。     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

浅谈一元三次方程有等根的条件

许多学生都知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有等根的条件是：b2－4ac＝0而对于一元三次方程y3＋ay2＋by＋c＝0在什么条件下有等根往往束手无策，本文介绍几种不同的解法。首先，我们知道解一元三次方程的问题容易归结为解不含未知数的平方项的一元三次方程的问题，为此只须令，事实上，将此式代入方程（1）并去掉括号，合并同类项即得式中“…”表示X的一次及零次各项，由此可见食X2的项是相互抵消了。因此求一元三次方程有等银的条件问题转化为求一元三次方程有等根的条件问题。解法一：若p—0只有q＝0，方程X’＋pX＋（l＝0有三个相等报X…     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

等式a^2·b^2=ab^2的扩充及质疑──a与b并非非负数

众所周知，在实效范围内，是成立的，但总是限定a≥0，b≥0，当a与b并非非负数时，等式还成立不成立呢？在实数范围内和在复数范围内，符号“N”的意义是不同的，例如：在实数范围内，／了只表示1的算术根1，在复数范围内，／了就表示1的两个平方根是士王，又如，在实数范围内，Mry只表示一1，但在复数范围内，Mry就表示一1的三个立方根，一1，－。，－d（。＝－1＋／了。、。＿＿、。。。＿．。＿＿＿＿＿＿。。＿＿＿＿＿＿＿＿。。、＿、＿＿＿，＿，＿。＿＿．＿二（尸℃），为了避免“）一”是在实数范围内的还是在复数范围内的混淆…     

用中间值定理讨论实根的分布

中间值定理：函数f（）是肝，b］上的连续函数，若f（a）f（b）＜0，则必有XOE（a，b），使f（N）一0。核定理的直观性是显而易见的．如下图所示，由广a卜f几〕＜0＿，＿川a）＜0，＿可得厂二、－（如图1）”mb）＞0””．f（a）＞0。或K＊、／（如图2）K比）＜0因为两端点的函数值异号，连续函数f（X）的图象在（a，b）内必横穿一次x轴，故f（）的图象和x轴总有一个交点（w，0），且佝E（a，b）即佝就是方程f卜）＝0的一个实根。该定理附8命题也是成立的，即：函数f（X）是卜，b］上的连续函数，且f（X）不恒等于零，若有功E（a，b）…     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

关于调和点列的若干证明

调和点列的证明在几何中颇为多见。本文提出了调和点列及其性质和判定。讨论了调和点列的若干判定方法。1、定义、定理先给出一个定义及几个定理。定义。若线段AB被点C内分成的两条线段之比等于点D外分AB所成的两条线段之比，则称共线点A、B、C、D为调和点列。由定义知，也即。可见，B内分（或外分）CD所成的两条线段之比也等于A外分（或内分）CD所成的两条线段之比。性质定理1：如果四点A、B、C、D是调和点列，且点O是AB中点，则证明：如图考虑到上面的证明每步可逆，于是有下面的结论。判定定理l：共线五点A、B、C、D、（），…     

关于矩阵的逆

本文对矩阵的逆定义，引出矩阵的左逆、右逆定义，并分别给出矩阵有左逆、有右逆的充分必要条件。定义1数域P上n阶矩阵A叫做可逆的，如果存在P上n阶矩阵B，使AB=BA=E。判断数域P上的n阶矩阵A是否可逆，我们有：定理1数域P，上n阶矩阵A可逆定理2数域P上的n阶矩阵A、B互为逆矩阵.这两个定理的证明是很容易的，但学生在使用时，往往会忘记大前提：即A、BEMn（P）一（数域P上n阶方阵）。这里仅管有AB＝E。，但A、B均不可逆，因为它们都不是方阵。类似于刻划映射的左（右）逆映射概念一样，可以定义矩阵的左（右）逆矩阵。定义2设Amx…     

论微分与积分的内在关系

微分与积分是高等数学中的一对基本矛盾，反映在几何上，就是“直”与“曲”的予盾，本文利用图形和一些熟知的重要公式来揭示它们之间的内在联系，并尝试从哲学的角度加以说明，同时，给出牛顿─—莱布尼兹公式的一个直观而简捷的推导方法。（一）积分可转化为微分高等数学中指出：若函数f(x)在［a、b」上连续，则积分上限的函数在［a、b」上具有导数；并且它的导数是于是当凸。很小时，有上式指出：在一个很小的区间上，积分可以转比为微分，等同于微分。从几何上看，就是在局部范围内，“‘曲”可以转比为“直’”，但是这种转比是在相差…     

关于微分方程△H＋2H（H~2－K）＝0

通过分析椭圆型微分方程△Ｈ＋２Ｈ（Ｈ~２－Ｋ）＝０得到关于闭Ｗ－曲面和卵形面的几个结论。这些结论具有清晰的几何特征，而且属于整体微分几何性质。     

Baker方法的若干应用(ⅩⅤ)

设a、b、n是正整数本文运用Baker方法证明了：当n≥2·108或者2＜n＜2·108且ab＞（4nn2／（n-1））2／（n-2）时方程。axn-by＝±1至多有1组正整数解（x，y）．上述结果基本上证实了Siegel的一个猜想．     

一个平几公式的证明和应用

斯蒂瓦特（stewart）公式：设D是△ABC的BC边上的任意一点，则：证法一（平几法）过凸ABC的顶点A作对边BC的垂线AH，垂足是H，那么H点或者在BC线段内，或者在BC的延长线上。如下列各图的情况：下面，仅就图1的情况进行证明，其他各图类似可证。根据勾股定理：即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一L证法二（三角法）如图5设ZADB—a，贝IJ；ZADC—180”＝－cosa，根据余弦定理：则：AB’·DC＋AC’·BD即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一BC·DC·BD证法三（坐标法）如图6建立直角坐标系，不妨设各点的坐标分别为…     

关于Garfunkel猜想

借助一种新的几何变换证明Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ１９８５年提出的猜想，将结论推广到更一般的适用范围“－π＜Ａ，Ｂ，Ｃ＜π，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π”，同时建立了一个新的几何不等式。     

浅谈“数形结合”培养学生转化能力

<正> 数学是研究数、形及其关系的一门学科,数形结合的观点是研究数学的一个基本观点,因此,在中学数学教学中应注重培养学生使用数形结合方法的能力。美国著名的数学家斯蒂恩指出:“如果一个特定的问题,可以被转化为一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,且能创造性地思索问题的解法”。给数与算式以适当的几何意义,把数量关系转化为图形,借助图形的几何性质和直观形象,触发了学生的灵感,使学生获得重大的发现和突破,进而培养学生思维的灵活性和创造性,激发学生学习数学的兴趣和积极性。     

集对分析中的系统数及其确定不确定性方程组

由笔者在1989年提出的集对分析（SPA）已在多个领域得到应用．而联系数a＋bi＋cj是集对分析的基石．从系统的角度看，一个具体的联系数之确定事实上与论域N的大小，不确定数i与对立度系数j的定义，联系数所在的系统S，系统S所在的环境E，以及所论问题W的性质与要求，确定联系数的方法M有关．为此，引进以下方程组：来全面地说明一个具体的联系数．并定义，由（1）～（3）式组成的方程组为确定不确定性方程组．可以简称为不确定性方程组，（2）式与（3）式称为联系数a＋bi＋cj的系统约束方程，相应地称由（2）式与（3）式约束下的联系数a＋bi＋cj为“系统数”．实际应用时，可以根据需要和可能给出（3）式中各参量的具体数值．如在不考虑（3）式中其它参量取值的情况下，令j＝－１，i∈[－1，1]且不确定取值，可得普通意义下的联系数；如果令j＝i在实单位数1与虚单位之间不确定取值时，可得虚实型联系数等等,从学科交叉的角度看，系统数与它的不确定性方程组从新的角度揭示了数（学）与系统（科学）之间的内在联系．具有重要意义．