浅谈一元三次方程有等根的条件

许多学生都知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有等根的条件是：b2－4ac＝0而对于一元三次方程y3＋ay2＋by＋c＝0在什么条件下有等根往往束手无策，本文介绍几种不同的解法。首先，我们知道解一元三次方程的问题容易归结为解不含未知数的平方项的一元三次方程的问题，为此只须令，事实上，将此式代入方程（1）并去掉括号，合并同类项即得式中“…”表示X的一次及零次各项，由此可见食X2的项是相互抵消了。因此求一元三次方程有等银的条件问题转化为求一元三次方程有等根的条件问题。解法一：若p—0只有q＝0，方程X’＋pX＋（l＝0有三个相等报X…     

关于不定方程组a2x2-a1y2＝a2-a1,a3y2-a2z2＝a3-a2的非平凡解

给出了不定方程组a2x2-a1y2＝a2-a1,a3y2-a2z2＝a3-a2有正整数解的一个充分必要条件以及当系数(a1,a2,a3)满足条件(a1,a2,a3)＝1且a1a2+1∈N2或a2-a1＝1时求该不定方程组的非平凡正整数解的一个方法.该方法可以在计算机上用"迭代"算法实现.     

关于方程 P~m-q~n=4

对给定的素数 p、q 和整数 h,求方程 p~m-q~n=2~h (1)的解(m,n)[1],人们已有许多研究.曹珍富在文献[2]中证明了当(p,q)≡(5,3),(3,5),(±3,7),(7,±3)(mod8)时,方程(1)除5~2-3~2=2~4和3~4-7~2=2~5外,无其它 h≥4的解(m,n),在 h=2时曹珍富指出:当 p=qt~2±4或 q=pt~2±4时,方程p~m-q~n=4 m>1,n>1 (p,q 是奇素数) (2)无解.本文通过研究 Di ophantus 方程p~m-q~n=4 2 mn p,q 为奇素数 (3)的解,进一步给出方程(2)的无解条件.     

隐含条件在解题中的作用

在解数学题时，所给的已知条件有两种：一是直接而明显的已知条件；另一种是题目本身所隐含的条件．本文结合例题浅谈数学隐含条件在解题中的作用．1定义本身所包含的意义有些习题看上去可用较普遍的方法来解，而忽视定义本身所包含的意义．例！解方提：（1）分析：第（1）题通常的解法是格项、两边平方等变成一个一元二次方程，然后根据＜0，判断此方程无解．而实际上，只要稍微分析一下题目，便可根据很式的定义知即5＜x＜2，而这样的数是不存的，故原方程无解．第（2）题可根据对数的真教要大于零而判断此方程无解．2人为地缩小了未知数…     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

巧用待定方程法求三角式值

求三角式值方法很多，本文介绍一种新的方法，即用待定方程法求值。下面举例说明此法，供参考。[例]求三角式之值．分析：设之值为待定一元二次方程Ax~2+Bx+c=0之一根，将代入方程左边，通过恒等变形，再利用比较系数法求出A、B、C之比值，立出一元二次方程，然后求出方程之两根，再选择满足条件的一个根。此根即为所求之值。解设．为一元二次方程Ax~2+Bx+c=0之一根，代入方程则方程左边下面用复数法计算上式后面括号内三式之值。设复数z=cosθ+isinθ，z＝cosθ-isinθ其次再设则将上式求得的值代入（2）式，就得到：方程左边右边=0，由…     

对用消去法解常系数线性微分方程组的注记

可以借助于求某一未知函数。的二阶、三阶、…直至n阶导数，然后消去其余的未知函数，化为关于yk的高阶常系数线性微分方程，以求得一阶线性方程组（1）的通解．我们称这种方法为消去法．但在运用这种方法时，应注意如下的四个问题：1．应明确不是每一个常系数线性微分方程组都可化为关于某一个未知函数的高阶微分方程的．比如，方程组就不能化为关于未知函数y1或y1的一个二阶微分方程．2．运用消去法当化为关于某一个未知函数的高阶微分方程即可，其阶数1≤k≤n，即阶数不超过方程组中方程的个数．比如：例1解方程组解对y1，求至二阶导数时…     

丢番图方程(x~2-y~2)~2-2y~4=-1的一个初等解法

本文用初等方法给出了Ljunggren方程的一种特殊情形（x2－y2）2－2y4＝－1的一个证法，证明了它只有整数解X＝0，y＝±1。     

也谈爱可尔斯定理的推广

[1]中介绍了关于两个正三角形的定理:爱可尔斯定理1 如果△z_1z_2z_3和△u_1u_2u_3都是正三角形,则线段z_1u_1,z_2u_2,z_3u_3的中点作成正三角形.爱可尔斯定理2 如果△z_1z_2z_3,△u_1u_2u_3和△v_1v_2v_3都是正三角形,以△z_1u_1v_1,△z_2u_2v_2,△z_3u_3v_3的重心也作成正三角形.[2]将这两个定理中的正三角形推广到同向相似三角形,即有:定理1 如果△z_1z_2z_3和△u_1u_2u_3是同向相似的两个三角形,则z_1u_1,z_2u_2,z_3u_3的中点作成与它们同向相似的三角形.定理2 如果△z_1z_2z_3,△u_1u_2u_3,△v_1v_2v_3是同向相似的三个三角形,则△z_1u_1v_1,△z_2u_2v_2,△z_3u_3v_3的重心作成与它们同向相似的三角形.[3]又将上述四个定理中的三角形推广到n边形,得到了如下的两个定理和两个推论:定理3 如果n边形z_1z_2…,z_n和u_1u_2…u_n是两个同相似的n边形,则z_1u_1,z_2u_2,…z_nu_n的中点作成与它们同向相似的n边形.定理4 如果n边形z_1z_2…z_n,u_1u_2…u_n和v_1v_2…v_n是三个同向相似的n边形,则△z_1u_1v_1,△z_2u_2v_2,…,△z_nu_nv_n的重心作成与它们同向相似的n边形.     

4n-2阶发展方程的算子半群

针对高价发展方程的形式解,将二阶发展方程扩展为时滞分布参数系统标准型中的4n?2阶发展方程,同时构造内积形成4n?2维Hilbert空间。将4n?2阶发展方程转化为一阶发展方程组,求得4n?2阶发展方程的生成算子和在一定的条件下生成半群。构造出半群的结构式并证明其具有的基本特征。当n=1时为二阶发展方程型的Golstein算子半群。     

脉冲中立型微分方程的振动性

本文讨论一阶脉冲中立型方程这里τ，σ，p均为常数，τ＞0，σ＞0，Q（t）∈C（［0，∞），R＋），bk＞－1（k＝1，2，…），得出了方程（E）所有解振动的充分条件，改进了文[3]的结果。     

两类方程的求根公式

<正> 其中u~2=b~2-4ac=D叫做根的判别式,且当D>0,方程有两个根;当D=0,方程有一个根,当D<0,方程无根。这给解一元二次方程和讨论根的性质带来极大的方便。 一般的对数方程和指数方程是没统一方法求根的。但是,对型如(1)和(1′)的特殊类型的对数方程和指数方程是否也有一个求根公式和判别式呢?下面的讨论给出肯定的回答。     

关于Pell方程x^2—2y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解

设D=2kⅡi=1Pi，其中诸Pi是互异的奇素数，Pi≠（mod8）i=1，2，…k，证明了不定方程组x^2-2y^2=1与y^2-Dz^2=4仅有平凡解。     

高阶常系数线性微分方程“连环解法”的改进

在《常微分方程》的各种教材中,介绍了常系数线性非齐次微分方程(其中p_1,p_2,…,p_(n-1),p_n均为实常数)的各种解法。如[1]中的“算子法”;[2]中的“常数变易法”;[1,3]中的Laplace变换法”;[2,3,4]中当f(x)为某几类特殊函数时,先用代数法求出对应齐次方程的通解,再用“待定系数法”求出非齐次方程的一个特解,然后迭加;资料[5]中利用特征方程的特征根,将原高阶线性方程转化为由n个一阶线性常系数微分方程组成的一个连环方程组(笔者称其为“连环解法”),此法有它独到之处,本文又将改进“连环解法”,以大大减少积分的计算量。     

关于Laplace方程一类定解问题的适定性

本文证明了一个矩形区域Ω剖分为二个小矩形区域Ω_1vΩ_2vΓ_0(公共边界Γ_0带衔接条件)的Laplace 方程的 Dirichlet 问题是适定的,且小矩形Ω_1与Ω_2上的 Laplace 方程 Dirichlef 问题的解,与原矩形区域Ω上的 laplace 方程 D-问题的解是一致的.     

平行线组被二次曲线所截线段中点轨迹方程的巧解探讨

1问题的提出求斜率为5的一组平行线被抛物线y二3。‘截得的线段中点轨迹方程。1．l常规解法由已知可设斜率为5的直线方程为y二sx＋b，则直线与抛物线交点坐标为下面方程组的解所以裁得线段的中点坐标为即截得线段中点均在直线6。二5上。因此，斜率为5的平行线被抛物线y二3X‘所     

关于指数Diophantine方程（x^m-1）／（x-1）=y^5

该文证明了：方程（x^m-1）／（x-1）=y^2．x〉1。y〉1，m〉2，没有正整数解（x，y，m）可使m=4（mod5）且m是平方数．     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

关于丢番图方程∑ni=1 ∑nj=1aij xi xj＝0的整数解

当丢番图方程∑ni=1 ∑nj=1aij xi xj＝0有一组不全为0的整数解时,给出了它满足(x1,x2,…,xn)＝1的全部整数解的公式.     

关于幂和丢番图方程S5（x）=y^n

获得了幂和丢番图方程Ｓ５（ｘ）＝Ｙ＾ｎ有正整数解的充要条件：得到了当ｎ＝２时方程有无穷多组正整数解的解集公式：证明了当ｎ＝３和≥４为偶数时，该方程公有解（ｘ，ｙ）＝（１．１）。