积分顺序可交换的较弱条件

<正> 关于含参量积分顺序可交换的条件,一般教科书上都表述为: 定理1 若f(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则 integral from n=h to b(dx) integral from n=c to d f(x,y)dy=integral from n=c to d(dy) integral from n=h to bf(x,y)dx。 如所周知,其中“f(x,y)在R[a,b;d]上连续”的条件是很强的,用它刻划积分顺序的可交换性甚不理想。比如     

积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的:当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a)),其中ξ∈[a,b]本文将对该结论做一点推广,即当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a),其中g∈(a,b)。     

一类指数型算子的一致逼近

由文献[4]我们知道,当P(x)不同时,由齐次偏微分方程(α/αx×w(n,x,u)=n/p(x)×w(n,x,y)·(μ-x)及规范化条件integral from -∞=1 to ∞×w(n,x,u)du=1确定出的指数型算子integral from -∞=1 to ∞×w(n,x,u)f(u)·du亦不同。文[1]讨论了p(x)是至多二次的多项式时指数型算子的一致逼近问题,本文将就P(x)的更一般的情形给出一致逼近的正定理及饱和类。     

微积分中值公式推广

本文先给出一道分析命题,然后将它与微积分中值公式联系起来。 命题1 设函数f(x)在区间[0,1]上可导,而且f(0)=0,f(1)=1,则对任何sum from i=1 to n(α_i),0≤α_i≤1,存在[0,1]中n个不同数x_1,…,x_n,便得sum from i=1 to n(a_i/integral to 1(x_i)) =1 证n=1时,α_1=1,结论显然成立,下面不妨0<α_1<1,当n=2时,因为0<α_1<1,所以存在ξ_1∈(0,1)使得f(ξ)=α_1,由微分中值定理得:     

平均单叶函数相邻两系数模之差

将胡克所得的关于单叶函数相邻系数模之差的定理B推广到了平均单叶函数族M_5,得到结论:f(z)=z+sum from n=2 to ∞a_nz~n∈Ms,则||a_n|-|a_n+1||≤2~(3/2)e~(1-c/2)(n=2,3,…),其中.为尤拉常数.     

欧几里得空间中有关不等式的证明

我们用En表示n维欧几里得空间,且 integral from n=En(f(x)dx)=integral from n=En(f(x_1,x_2,…,x_n)dx_idx_2…dx_n 性质1 对于E_2中任何连续可微的函数u(x_1,x_2),其支集包含在某球:|x-x_0|相似文献   

integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx能表为有限形式的充要条件及其待定系数(积分)法

本文讨论积分integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx(其中p(x)为x的n次多项式,n≥1,m>2,m∈n.a≠0,b~2-4ac≠0),得出该积分能用初等函数表示(称为能表为有限形式)的充要条件,进而给出了求integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx的待定系数法.     

从一道习题得到的几个定理

刘玉琏,付沛仁编的《数学分析讲义》最新版(1992年7月第三版)练习题9.2(一)第6题(该讲义下册63页): 证明:若函数级数sum from n=1 to f_n(x)与sum from n=1 to g_n(x)在区间I都一致收敛,且函数列{f_n(x)}与{g_n(x)}在区间I都一致有界,则函数级数sum from n=1 to f_n(x)g_n(x)在区间I一致收敛。 这是历次版本未有的一道新题,遗憾的是它却又是该讲义中少有的一道伪习题。 定理1 上述习题为伪命题 [反例] 取f_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/2),g_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/3)使用莱布尼兹判别法不难验证sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/3)均收敛,由于与x无关,对x当然一致收敛,又,|(-1)~(n-1)1/n~(1/2)|≤1,与(-1)~(n-1)1/n~(1/3)≤1(x)即对x一致有界,但是sum from n=1 to ∞1/n~(1/2)·1/n~(1/3)=sum from n=1 to ∞1/n~(5/6),5/6<1,发散。 因此,上述习题为伪命题 □     

星形奇函数相邻系数的一点注记

设f_2(z)=z+sum from n=1 to ∞(b_nz~(2n+1))∈S~*,本文证明了||b_n|-|b_n-1||<20n~(-1/2)改进了V.I.Milin的一结果。     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

关于某三次自然样条投影算子范数估计式的一个证明

E. Neuman在[1]文中的定理3.1指出,某三次自然样条投影算子的范数界的估计式为: ‖L_N~((3))‖≤1 3/2R_(△N)~2 (1) 这里的△_N是[0,1]上一个任意的固定的分划:而这里的f∈C_([0,1])‖f‖_∞≤1,L_n~((3))f是插值于数据f(x_i)(i=0,1,…N)的三次自然样条算子:L_n~((3))f=sum from n=1 to N f(x_i)S_i(x),此处的S_i(x)是满足S_i(x_j)=δ_(ij)的基样条,容易验证L_n~((3))是线性的,有界的,幂等的,故是一个投影算子,而‖·‖_∞表上确界范数。傅清祥在[2]文中改进了E. Neuman的结果,他以定理的形式给出了估计式     

罗曼诺夫斯基定理在Banach空间的推广

本文通过类似Stieltjes积分的处理,对在Banach空间取值的向量值函数f(t)和数值函数 g(t)定义integral from n=a to b(g(t)df(t) 、integral from n=a to b(f(t)dg(t)), 从而将其结果推广到Bochner可积的向量值函数。     

关于带权Hardy不等式

本文得到了Hardy算子Tf(x)=integral from o to x f(t)dt从空间L~p(R_+,vdx)到L~q(R_+,Udx)有界的权函数对(u,v)的特征,其中1≤q相似文献   

对函数级数“逐项可微分”定理的一点看法

我们知道,在数学分析中对函数级数有如下的“逐项可微分”定理: 若函数级数sum from n=1 to ∞u_n(x)满足下列条件 (i)在区间[a、b]上收敛,并且和为s(x)。 (ii)每一项在区间[a,b]上有连续导数。 (iii)函数级数sum from n=1 to ∞u_     

核物理中一个非线性积分方程存在唯一解的充分条件

研究了核物理中的非线性积分方程1=(?)(x)+(?)(x)integral from n=0 to 1(dx/x)R(x,y)/x~2-y~2(?)(y)dy,得到了存在唯一解的一个充分条件.所得结论改进了若干文献中的已知结果.     

带位移的非线性奇异积分方程组解的存在与唯一性条件

本文应用Newton——Кáнторович方法重点研究并解决了带位移的非线性奇异积分方程组;a_(11)(x)u_1(x)+a_(12)(x)u_2(x)=λ/πintegral from a to b f_1〔s,u_1(s),u_2(s)〕/(S-α(x)) dsa_(21)(x)u_1(x)+a_(22)(x)u_2(x)=λ/πintegral from a to b f_2〔s,u_1(s),u_2(s)〕/(S-α(x)) ds解的存在与唯一性条件,并给出了逐次逼近解的收敛性的估计式。     

关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几点浅见

众所周知,勒贝格有界收敛定理可以这样叙述:设(1)f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…是E上的一串可测函数,(2)它们一致有界,即有正的常数M,使|f_n(x)|≤M(n=1,2,3,…;x∈E),(3)f_n(x)(?)f(x),则lim(?)f_n(x)dx=(?)f(x)dx。这个定理除了必须满足上述的三个条件外,还是在假定mE<+∞的情况下提出的。即是说,勒贝格有界收敛定理对测度为无穷的集合是不成立的。今举一例说明之。例:设E=[0、+∞),     

Hermite—Fejer型插值算子的平均收敛

以第二类多项式U_n(x)的原点为插值节点的Hermite—Fejer型插值算子H_(i,n)(f)(i=11,12,…,16)并非对任何[-1,1]上的连续函数f(x)都能在[0,1]上一致收敛于f(x)。本文讨论了这些算子在区间[-1,1]上关于权函数(1-x~2)~(1/2)的平均收敛问题。     

关于单叶函数S族的函数之系数估计

1961年Bieberbach提出如下猜想:若f(z)∈S, S={f(z)│f(z)在单位园│z│<│内单叶,f(0)=0,f’(0)=1} f(z)=z sum from n=2 to ∞(a_nz~n)则对一切n≥1成立着不等式│a_n│≤n等号限于Koebe函数 K(z)=z/(1-ez)~2其中2为实数。 关于这一猜想,目前最好的结果为│a_n│≤n,而1≤n≤6。     

一类条件不等式的探讨

本文在解决sun from i=1 to n(α _i=s),multiply from i=1 to n(α _i+1/α _i)在二元情形下的最小值问题的基础上,给出了不等式multiply from i=1 to n(α _i+1/α _i)≥(s/n+n/s)~n的两个充分条件。与涉及指数型multiply from i=1 to n(α _i+1/α _i)~(t_i)与循环型multiply from i=1 to n(α _i+1/α _(i+1)的若干较深刻的结论。并借助计算机扫描论及深化某些结论的可能性。