集对分析与不确定量

集对分析（SPA）是笔者于1989年正式提出的一种处理摸糊、随机、中介等不确定性的新数学理论和系统分析方法，已在多方面得到应用[1]．从数学的角度看，集对分析主要是创造了一个联系度表达式来客观地描述、分析、计算各种不确定性．文献[2]中又把联系度拓展为联系数，合理地给出了1＋1＋1＞3（三个臭皮匠低个诸葛亮）以及1＋1＋1＜3（三个和尚没水吃）的数学原理．不难看出，形如a＋bi以及a＋bi十cj的联系数其关键之处在于其中的不确定系数i，由于i的不确定取值，自然使人们想到联系数所刻划的量是一种带有不确定性的量，研究表明，可把这种量简称为不确定量．从系统层次的观点看，不确定量可以理解成是在宏观层次上取确定的值而在微观层次上不确定取值的量．不确定量与常量、变量之区别可见下表．正因为如此，对不确定量的数学处理才需要新的理论和方法．     

单项选择题选项的优劣性判据

1信息摘概念克劳修斯提出均概念之后，玻尔茨曼把均与概率相联系，提出了闭的统计物理形式S＝Kap（l）信息的概念也是与事件发生的概率相联系的。信息是某过程中对事物不了解程度的减少。事件出现的概率越小，它的不确定性就越大，因此信息量的大小是事件的不确定性的标志。IWe年由农提出了一个计算离散信息源产生的信息量公式：如果某事物具有3种独立的可能结果（状态）。；，32，。3，…，。。，每一结果出现的概率为pl，pZ，p3，…，pN，并且有Zp；＝l那么事物所具有的不确定性数量为式中诚表示以2为底的对数，p；为一概率向量（i＝1…     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

有关Hamilton图与连通度的一个充分条件

利用插点方法和H-序列，证明了如果G是n阶简单图，k=k（G）≥k≥2．而（a1，a2，…，ak＋1）是H-序列，若对于任意的Y∈Ik＋1^（e）（G），有∑i=1^k＋1aisi（Y）＋sk＋1（Y）〉n＋k＋k-3，则G是Hamilton-图,该定理也是对这方面已有的某些定理的有效推广。     

反常规方法解题例谈

解决常规数学问题需要选择最优化的解题思路．为此，就要尽可能回避诸如复杂的分类讨论和冗长的逻辑论证以及繁难的数式运算等．实践证明，恰当运用反常规方法解题则可大大优化解题过程，取得很好的解题效果．现列举数例于后．以动观静，简捷新颖──反常规方法之一例1.已知a＋b＋c=0求证：a3＋b3＋c3=3abc.分析：首先，a＋b＋c=0不是静止的，可视为方程ax＋bg＋cz=0有非零解x=y=z=1．其次，a＋b＋c=0形式并非唯一的，可由一变三：a＋b＋c=0，b＋c＋a=0，c＋a＋b=0，这表明齐次线性方程组：有非零解x=y=z=1，从而其系数行列式为零：式于、数…     

对函数f（x）=cx＋d／ax＋b的n次迭代周期性的探讨

就函数的特征根方程ax2＋（b－c）x－d＝0的判别式△＝0，△＞0，△＜0讨论f[n]（x）＝x的存在性．给出存在n使f[n]（x）＝x成立时，a，b，c，d满足的条件，并给出一些特例及定理的应用．     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

棱喙毛莨的核型变异

本文就棱喙毛莨（RanunculustrigonusHand．－Mazz）的6居群77个个体进杆了核型分析，发现核型变异现象，并用下面4种不同的核型形式加以表示。（1）昆明型核型2n＝2x＝16＝4m＋2sm＋10st（2SAT）是四种核型中最普遍的一种技型；（2）苍山型核型公式为2n＝2x＝16＝6m＋2sm＋8st（以2SAT），其杂色体大小与其他几种核型相比，显得特别大，它是一种旱生性的细胞型；（3）贵州型核型公式为2n＝2x＝16＝4m＋6sm＋6st（2SAT），其随体染色体具有一个比短臂大得多的随体，而其他核型的随体是近等于它们的短臂，它是一种株形矮化的细胞型；（4）昆明-苍山型核型2n＝2x＝16＝4m＋3sm＋9st（2SAT）其特征介于昆明型及苍山型之间，故认为核核型是后两者之间的余种。     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

中国古代完备完美的分数表达形式

（一）关于中国古代的分数表达形式，杨树达在《高等国文法）中指出七种①。它们是：第一式母数＋分＋名词＋之＋子数第一式母数＋名词＋之＋子数第三式母数＋分＋之＋子数第四式母数＋之＋子数。第五式母数＋分＋子数第六式母数＋名词＋子数＋名词第七式母数＋子数（二）除了《高等国文法》所列举的七种古汉语分数表示法格式以外，笔者还发现一种格式，它是“分母（即母数）＋分＋名词＋分子（即子数）”式。如：①木，晨始见，去日半次，顺，日行十一分度二，百二十二日、（《汉书·律历志》）②水，展始见，去日半次。………顺，疾，日行…     

系统.↑x=—λx—2x^2＋4xy .↑y=—εy—xy＋y^2的全局结构分枝

不少学者对描术生态学中种群与种群之间的动力学关系的数学模型．↑ｘ＝ｘ（ａ１０＋ａ１１ｘ＋ａ１２ｙ） ．↑ｙ＝ｙ（ａ２０＋ａ２１ｘ＋ａ２２ｙ）进行了大量的研究。本文在全平面内讨论了该模型的一种特殊情况：．↑ｘ＝－λ－２ｘ＾２＋４ｘｙ ．↑ｙ＝εｙ－ｘｙ＋ｙ＾２（λ≥０，ε≥０）并得到了它的１２种不同拓扑结构。     

氢化物A─H键键能计算方法的研究

本文在研究氢化物分子中Ａ—Ｈ键键能变化规律的基础上，运用分子原子结构参数提出了一个新的Ａ—Ｈ键键能计算公式：Ｄ０Ａ－Ｈ＝３８．８７Φ１＋５２．０５Φ２＋Φ３＋３２．５（Ｋｃａｌ／ｍｏｌ）［Ｒ＝０．９９９３］．用该式计算了３４个氢化物Ａ—Ｈ键的键能，其计算值与实际值较吻合．新公式物理意义明确，计算方便，可靠性强．     

利用二次函数的性质求极值

我们知道二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）配方得 ｙ＝ ａ（ｘ＋），所以顶点坐标为（　　　）．（１）当 α＞０时，抛物线开口向上，有最低点，即，有最小值，即当时，最小值＝　时，抛物线开口向下，有最高点，ｙ有最大值，即当ｙ最大值．应用这一性质求极值，有以下几种类型．１一般二次函数的极值 例 １（１）求函数ｙ＝－ｘ２－ ３ｘ＋ ２的极值；（２）求函数 ｙ＝ ４ｘ２－ ３ｘ＋２的极值．这类问题可直接利用性质或通过配方来解，具体解答略．２高次函数的极值 有些次数高于２的高次函数的极值，通过变换后，可以利用以…     

中立型Timoshenko射线方程的强迫振动性

研究了中立型Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ射线方程４ｔ４〔ｕ＋λｕ（ｘ，ｔ－τ）〕＋ａ２ｕｔ２－ｂ４ｕ２ｘｔ２＋ｃ４ｕｘ４＋Ｃｘ，ｔ，ｕ，ｕ（ｘ，σ（ｔ））＝ｆ（ｘ，ｔ），（ｘ，ｔ）∈Ｊ×Ｒ＋解的强迫振动性，其中Ｊ＝（０，Ｌ），Ｒ＋＝（０，∞），λ，ａ，ｂ，ｃ为非负常数，τ＞０是常数，ｕ＝ｕ（ｘ，ｔ）．     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

平方数的位数和函数的2个性质

设正整数n的二进制表达式为n=∑i≥0εi（n）2^i，这里最（n）=0或1，i≥0，定义二进制位数和函数为s（n）=∑i≥0εi（n）．设s（n）=κ，证明了s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，并且证明了几乎所有满足s（n）=κ的正整数n都满足s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，i≥0从而给出了｜{n〈2^N：s（n）=κ，s（n^2）=m}｜的一个确切分布．     

关于平面二次系统极限环分布结构(Ⅰ)

利用系数组成的代数不等式,证明E200中仅具有四种极限环的分布结论：（奇,偶）、（奇,奇）、（偶,偶）、（偶、奇）,其下界至少为（i,j）分布（i,j=0．1）．证明具有三阶细焦点的二次系统E203中只有一种极限环的分布结构：（奇,偶）,其下界至少为（1,0）分布利用Hopf分支对函数小扰动只可能构造出极限环的（1,k）分布（k=1,2,3）,其它三种分布结构不可能构造出极限环的（1,k）分布（=2,3,4）与（0,k）分布（k=1,2,3,4）．     

关于函数转移系统的生成系统

函数转移系统是定义在有限个符号上一些自映射的转移系统；对函数转移系统中的元（fi）i∈N，由xi＋1=fi（xi）决定一个符号序列（xi）i∈N，按此方式可生成符号空间的一个转移系统，叫做函数转移系统的生成系统．在2个符号且函数转移系统取为全转移系统的情形下，讨论了相应生成系统的分类问题，得出如下结论：不同函数转移系统可能具有相同的生成系统．     

和式(n_∑~k=1)(-1)~κcos~ικβ及(n_∑~k=1)(-1)~κκsin~ικβ计算

引理1，设L＞1整数，当L=2m，则证明由三角函数指数定义（A1）式成立，同法可证（A2），（A3），（A4）式成立.引理2，n＞1整数，为整数，则（l）一（2）式得：当。羊1时，a一2。n。，也就是p一（2。＋1）。利用复数相等条件，实部、虚部分别相等．命题1，设L＞l整数，若L—2；n，则成立，当L—2。n＋l时，则成立，当L—Zll；时，则成立，当L二Zn；＋l，则这里。、刀在本文中分别表示隔数和奇数，约束条件的意义是：如来满足约束条件的，存在，那么第，项按规定算式计算，如果第，项不满足约束条件，那么第，项的值为O，以下公式均含…     

基金使用计划模型

本文按中国银行现行的利率单利计算制,对不同的存款方式进行分析讨论,得出了“存款最优原则”,即:若i,j,i+j年期税后年利率ri,rj,ri+j满足:(1+iri)(1+jrj)<1+(i+j)ri+j,则:存(i+j)年期所得本息大于选择i年期存i年后,再将本息存j年期所得的本息。由此递推,一次性存k年期,或分为每次取本息后再存,连续几次,总年数为k,所得本息都以一次性存k年期为最大。同理,购买国库券也满足此原则。对于相同的本金,选择几次性存款与购买国库券后又存款,列举所有情况比较后得最优方式。1.若不考虑国库券,则只须由“存款最优原则”,每年的奖金尽可能的由到期的本 息刚好提供,最初决策后,过五年再决策一次(若n=10,则第二次决策与第一 次决策相同),由奖金相等关系及最终仍保持原基金数不变,得到了一个线性方 程组,并解得每年奖金数为109.817万元及存款方案。2.若不考虑国库券,尽管国库券发行不定,由假设为上半年或下半年发行,无论国 库券在任何时发行,计划购买国库券的基金到发奖金时始终可存一个半年定期和 分两次共半年活期,两次存活期近似于一次性存活期。则最初决策后,等到五年 期国库券到期后再决策一次,各种情况比较后类似于1选择最优方式,可得一线 性方程组,并解得上半年或下半年发行国库券时的奖金数均为130.436万元