公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

关于爱多士猜想4/n=1/x+1/y+1/z

文献[3]指出,不定方程 4/n =1/x+1/y+1/z除了n≡1 ,121,169,289,361,529(mod840)外,对其余的所有正整数n都可解。本文给出了上述不定方程的解满足的条件,借助这一条件,得到了文献[3]中没有解决的n≡1,121,169,289,361,529(mod840)中每一种情形的两大类正整数解的具体表达式。     

a~(1/n)、n~(1/n)的极限

数列a~(1/n)(a>0)、n~(1/n),即数列a,a~(1/a),…,a~(1/a),…,(a>0)l,2~(1/2),3~(1/3),…n~(1/n),…它们的极限都为1.本文介绍此结果的几种证法.     

论数列{1+1/2+1/3+…+1/n}发散性的证明

一、问题的提出 数列的歌西收敛准则,是数学分析基础理论重要支柱之一。尤应注意数列发散性的证明。 很多教材都喜欢引用调和数列y_n=1+1/2+1/3+…+1/n作为典型的发散性例子。但在证法上很值得深入研究一番。     

用PLA实現m/n碼全自检检测器的通用方法

本文提出了关于m/n码码集的恰当划分概念,并在此基础上用PLA实现m/n码全自检检测器。对m/n码集恰当划分的存在性也作了讨论,并给出了任意m/n码集恰当划分的生成算法。文中给出的方法适用于任意m/n码全自检检测器的设计。     

公式n=sum from 0

孙宗明 《佛山科学技术学院学报(社会科学版)》1987,(4)

关于Diophantine方程x(m_1/n_1)+y(m_2/n_2)=z(m_3/n_3)

1979年,戴宗铎,冯绪宁和于坤瑞用代数数论的方法给出了方程 x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) (1)(其中n>1)的全部正整数解。1981年,Newman利用一个整函数的可约性,求出了方程     

k-维空间中n点确定的最大距离

n点确定的不同距离问题是PErdos提出的重要问题。P是志一维空间的n元集，记P中两点确定的最大距离为dmax。Lenz给出4-维空间中，n点确定的最大距离可达[n^2/4]次。现证明6-维空间中n点确定的最大距离可达[n^2/3]次。在8-维空间中。点确定的最大距离可达[3n^2/8]次。     

加权二维筛法和Ω(n)问题

我们以记号Ω(n)表示自然数π的全部素因数的个数(按重数计),是否存在无穷多个自然数n使得Ω(n)=Ω(n 1)?这是一个难度非常大的问题,Vaughan注意到运用陈景润的方法可证明存在无穷多个素数部使得Ω(2p 1)≤2,这样解决了存在无穷多个n,使得Ω(n)=Ω(n 1)或Ω(n)=Ω(n 1) 1. 众所周知陈景润的方法是一种加权线性筛法,1982年Heath-Brown首先给出一     

Z[(-n)~(1/2)]的唯一分解

讨论了Z[(-n)~(1/2)]的唯一分解问题,得到的主要结论是当n≥3时,Z[(-n)~(1/2)]不是唯一分解环;当-2≤n≤2时,Z[(-n)~(1/2)]是唯一分解环,同时给出了Z[2~(1/2)]的可逆元等价表达形式.     

联图P_(1)(?)T_(n)和P_(1)(?)T_(3)的优美性

本文给出了一类图P_1(?)T_n和P_1(?)T_3,并给出了其优美性的证明.     

函数完备的n+1值逻辑公理系统的强完全性

构建多值逻辑系统可以有多种方法,如表列、自然演绎、根岑演算、希尔伯特型公理化等等。建立一个n+1值多值逻辑的希尔伯特型公理系统,利用极大一致集方法可以证明它的完全性。证明利用了一个特殊的否定词,比其他方法更为简便。该证明方法还可以证明该系统是函数完备的。     

一类非线性退缩抛物方程解的唯一性

本文研究下述Cauchy问题（其中）广义解的唯一性问题，在一定条件下，得到了唯一性结论，并给出严格证明．     

关于C_3的St(n+1)冠的优美性

对于自然数n∈N(N为自然数集合),本文给出C3的St(n+1)冠,论证了该图是优美图,由此推 广了文献[4]的一些结果。     

n—幂零Hall子群的Wielandt定理

本文证明了类似于Wielandt定理的结果:设G为有限群,H是G的n—幂零Π-Hall子群,若M是G的Π—子群,(|M|,n(1—n))=1,则存在aG使M~a≤H。并对文[2]中定理2.2的证明进行了改进,证法比文[2]更简洁。     

S~(n+1)中极小曲面的外刚性定理

设M是S~(n+1)的闭定向极小超曲面,众所周知,如果M的高斯映射的象取决于S~(n+1)的开半球,则M为全测地。当n=2时此定理已由文[2]准确地给出,本文讨论n≥2时的情形。     

关于矩阵e~A的一个定理和应用——SU（n）群生成元的零迹证明

证明了一个关于矩阵eA的定理并给出了U(n) 群元素的表示式,应用定理证明SU(n)群生成元之迹等于零.     

2~(1/2)无理性的又一证明

2~(1/2)无理性的证明已有多种,其中不乏简单明了的,现在再给出一种简易的证明。 证明:(应用反证法) 假定2~(1/2)=a/b,其中a,b为互质的正整数。由此得a~2=2b~2 由于b~2只能以0,1,4,5,6或9为末位数字,因而2b~2只能以0,2或8为末位数字。     

n—可解群的Hall定理

本文证明了如下结果: 设G是有限n—可解群,Π是一些素数的集合,若对任意p∈Π∩Π(G)都有(p,n(1—n))=1,则G是Π—可解群。由此可把可解群的Hall定理完整地推广到n—可解群。     

关于关系式■=2~(1/2)■的证明

本文给出气体分子的平均相对速率是平均速率的2~(1/2)倍的一个新的简洁证明,证明较其它证明更为简单。同时指出,速度分布函数只要与方向无关,即使不满足麦克斯韦分布,结论也是正确的。