数理逻辑中的归纳定义和归纳证明

运用数学归纳法能证明一个表示逻辑定理的全称命题的真实性,即通过证明一集合对象具有某性质,从而证明该集合所有对象具有该性质,其原因在于用归纳法证明的集必须首先是一个用归纳定义给出的归纳集,它是与自然数集相同的最小归纳集,它具有封闭性,即:如果该集合的初始元有某性质,并且有一生成函数使得在初始元基础上,可不断生成新的元,如果这些生成元也有该性质,那么由生成元运用生成函数所生成的其他生成元,也有该性质,于是可断定,该集合中所有元都有该性质.归纳集所具有的这种封闭性质,就是数学归纳法原理.它是一前件真而后件不能假的蕴涵命题,因此归纳证明实际是通过证明它的前件(奠基和归纳两步)真,从而证明后件(归纳命题)必然真的演绎证明.     

最小项二乘法中的一个问题

在北京大学编的高等代数教材里(第365-367页),讨论最小二乘法时,指出无解的线性方程组AX=B(1),利用“向量到子空间各向量间的距离,以垂线再短”的性质,可以找到最小二乘法解,此解必须满足法式方程,A’AX=A’B(2),且可以知道(2)的任一解,都是(1)的最小二乘解.但是教材中没有指明或证明,“向量到子空间各向量间的距离,以垂线最短”的垂线是存在唯一的.     

C_n(1≤n<ω)及C_ω中的否定

在对当关系逻辑中,命题A与命题△A之间是一种下反对关系。在弗协调逻辑系统中,我们通过定义一个一元连接词●,可以证明,在对当关系逻辑中算子△所具有的性质,在弗协调逻辑中其否定﹁也都具有这些性质,从而得出,弗协调逻辑中的否定﹁是一种特殊的下反对关系算子。     

介于(T_0)(T_1)分离公理间的两个性质

(T_1)型拓扑空间具有如下性质: (A)任一无限集的任一極限点的任何邻城里包含着这集的无限个点; (B)任何集的導集是闭于这空间的. 易知性質(A)蕴含性质(B).本文内容: 1)证明性质(B)蕴含(T_0)分离公理(定理1),从而性质(A),(B)与(T_0),(T_1)分离公理间有如下蕴含关系:     

試談單因素优选法的理論証明

首先对优选问题的数学模型作一些说明;然后证明无限次试验的最优策略是黄金分割法;至于有限次试验的情形(分数法),可按同一思路得到证明;我们的基本方法是试验点列的“等价性重排”,中心结果是“强对称性条件”(2.3);最后,用线性规划的对偶理论,作出分数法的另一个证明。     

用辛欣原理直接证明实数连续性的其它若干等价命题

正如数学归纳法反映了自然数集的良序性质,而辛欣原理则反映了实数集的连续性质。因此利用辛欣原理来证明关于实数连续性的一类命题还是比较有效的。 本文将在这些方面展开一些论证,并争取做到证明是直接进行的。最后,附带给出单圈证明这些命题相互等价的一个方案,而中间的过程全都略去。 下面我们把辛欣原理的内容叙述如下:     

卵形线的一个整体性质

卵形线是整体微分几何中的一种重要曲线,它是相对曲率k_r处处不变号、且不为O的平面简单闭曲线。下面以命题的形式提出并证明卵形线所特有的一个整体性质。〔命题〕卵形线内必包含唯一最大圆。此圆必内切于卵形线。证.存在性。设卵形线为Γ:I→R~2,s→Γ(s)。其中I=〔o,L),L是卵形线的全长。     

直言三段论模式变形推理机制及应用

一、直言三段论的表述及其标准模式直言三段论的推理可表述为前提合取蕴涵结论式,也可以表述为二重蕴涵式,即:(M—P∧S—M)→S—P,或M—P→(S—M→S—P)前者的含义是;如果有大前提,并且有小前提.那么有结论.后者的含义是:如果有大前提,那么,如果有小前提,那么有结论.这两种表述式的含义完全一样.因此,二重蕴涵式与前提合取蕴涵式是等值的.三段论式的二重蕴涵化的理论根据是命题演算中的“蕴涵词引入规则”,此规则是说,如果从一系列命题A和一命题B能推出另一命题C,那么,从一系列命题A就可以推出以命题B为前件,命题C为后件的充分条件假言命题B→C.即:如果A∧B→C,那么A→(B→C).事实上,(A∧B→C)←→[A→(B→C)]是重言式.本文所述的三段论模式变形推理.将采用二重蕴涵式的表述方式.     

对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法

我们利用向量组的线性相关性以及分块矩阵的运算性质给出了下列命题的另一种有趣的证法:若n阶对合矩阵A满足条件秩(A In)=r,则A相似于对角矩阵diag{Ir,-In-r}.这种证法连同Schmidt标准正交化方法一起,还可以用来证明:当上述矩阵A是实对称(Hermite)矩阵时,A正交(酉)相似于对角矩阵diag{Ir,-n-r}.     

真理的性质

思维具有两个目的,一个是内蕴的,另一个是超越的。一方面它所寻求的是实现一种特殊的满足,即满足有系统的识见。另方面它又要在它的对象之中寻求实现与完成。而这两个目的,实际上是一个目的。这是形而上学的基础,在这个基础上找到一贯性的信仰。真理就是思维接近于实在,也即思维返乡的过程。它的尺度就是在它内在的方向之下所走过的旅程,这个旅程响往着一个可以理解的体系,把它的终极对象和终极目的结合起来。我们整个经验里真理的程度取决于其所达到的体系的程度,而一个特殊命题的真理程度则首先要由它和整个经验一贯性程度来判断,最后还要由它和思维所系的那个包罗万象而条理分明的整体的一贯性程度来判断。完金一贯的知识是要其中每一个判断,都规定整个体系其余的部分,同时也为其余的部分所规定。一个完全满意的体系是要没有一个命题是任意制定的,每一个命题都要为所有其它命题的总和或另一单独命题所引推出来,没有一个命题可以独立于整个体系之外。如果我们承认一贯性是真理的考验准则,也就是承认一贯性即真理的性质。有些哲学家对“什么是真理的考验?”这一问题所作的回答是“一贯性”,而对“什么是真理的性质?”这一问题所作的回答则是“符合”。但是假如我们主张真理就是与客观事物符合,我们便不可能言之成理地说,真理以一贯性为准则,或有任何可靠的考验准则。因为我们决不可能从经验内部高度的一贯性,来论证它跟外界任何东西也具有同样程度的相符性。并且因为要想知道我们的经验与事实相符合,必须先要能够把握事实本身,不允许与观念相混杂,再把两方面加以对比。然而这样的事实是不可能达到的。     

关于“数学归纳法原理”的教学

数学归纳法是数学中非常重要的一种论证方法,初等数学和高等数学中许多命题的证明都要用到它。这里将介绍数学归纳法原理、第二数学归纳法原理及其证明,另外将着重讨论在应用这两个原理时注意对学生进行能力培养。 首先我们介绍数学归纳法所根据的原理——最小数原理。这一原理,是自然数的一个最基本的性质。     

传统逻辑关于直言命题的预设

1 引言传统直言命题有四种形式,即: A:所有S是P;E:所有S不是P;I:有S是P;O:有S不是P。传统直言命题推理主要有三种,即:三段论推理,换质位推理和对当关系推理。与传统直言命题相对应,现代直言命题也有四种形式,即: A′:(x)(Sx→Px) E′:(x)(Sx→Px) I′:((?)x)(Sx∧Px) O′:((?)x)(Sx∧～Px) 将传统直言命题推理中的A、E、I和O分别替换为A′、E′、I′或O′所得到的推理,我们称之为现代直言命题推理,现代直言命题推理属于谓词推理。现在我们要问,传统直言命题推理和现代直言命题推理在有效性上是完全吻合的吗?回答是否定的。在此只需指出一个事实就够了,即,在传统的对当关系推理中,由A推出I和由E推出O都是有效的,但在现代谓词推理中,由A′推出I′和由E′推出O′都是无效的。     

命题的“题设”和“结论”及其教学

学生不清楚命题的“题设”和“结论”，就等于没有真正理解命题的确切含义．掌握命题的“题设”和“结论”，不仅为几何题的计算及证明打下牢固的基础，而且也能帮助学生深入理解代数等课中的一些概念、法则及性质．现就如何使初一学生掌握命题的“题设”和“结论”，谈谈如下几点意见．1关于命题1．1命题的概念命题是对某一件事情作出判断的语句，它是由“题没”和“结论”两部分组成．命题主要有下面几种类型：（1）“高度概括”型如：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．（2）“如果A，那么B”型如：如果两条直线都垂直于第三…     

职业能力

阅读下列问题,选出最符合的一个选项。(一)空间推理能力1.把图形结构分拆成两部分之后,请从A、B、C、D之中选出分拆后的图形。     

从关系逻辑的观点看特称否定命题的换位问题

传统逻辑认为 A、E、I命题都可以换位 ,而 O命题不能换位。但传统逻辑只是证明了在 A、E、I、O命题的范围内 ,O命题不能换位 ,它并没有证明 O命题根本不能换位。传统逻辑只是性质逻辑或类逻辑 ,而不是关系逻辑。从关系逻辑的观点看 ,O命题不但是可以换位的——其换位所得的结论不是 A、E、I、O命题——而且如同 A、E、I命题的换位一样 ,O命题的换位也是有其一般意义的     

L-fts中的强导集和强导算子

文献引入了L—fts中LF集的强聚点和强导集,讨论了它们的一系列性质.本文进一步讨论了LF集的强聚点和强导集的许多重要性质;对王国俊教授提出的;L—fts中有待解决的10个问题(全国模糊数学与模糊系统学会第四届年会的大会报告)中的第三个问题,即“L—fts中,导集运算保并的充要条件是什么”,给出强导运算保并的10个充要条件;引入L—强导算子的概念,对一般的完全分配格L和非定集X,每个L~x上的一个强导算子都唯一确定L~X上的一个拓朴,反之任意一个L—fts,也都有唯一的强导算子d_s,使每个LF集A,d_s(A)恰为A的强导集.     

矩阵的一种分解方法

设矩阵A=(aij)m×n,B=(bxi)×4,如所周知、当n=p时,AB有意义Ⅱ AB=(sum from n=1 to aitbti)max特别是A,B分别是m×1,n×1矩阵时,有容易证明如下 结论1:m×n矩阵A的秩为1的充分必要条件是存在m×1及n×1且矩阵B≠0,C≠O, 使得A=BC~T(此处“T”表转置、以下同) 证:由r(A)=1,故A≠0,即A的行向量组不能都是零向量,不妨设A的第i个行向量α≠0,于是,A的任一行向量αj可同αi线性表出,即αj=kjαi(j=1,…m)令     

形式逻辑前三条基本规律在多值逻辑中的几个问题

规定命题的取值非真即假,非假即真,不能有第三种情况,这种逻辑称作“二值逻辑”。在二值逻辑中,形式逻辑前三条基本规律——同一律(A→A),矛盾律、排中律都是永真式,并相互等价,规定命题的取值可有第三种、第四种、乃至可数任意多种情况,这类逻辑统称作“多值逻辑。”在多值逻辑     

逻辑方阵手势图

在普通逻辑中,直言命题或性质命题A、E、I、O相互之间在真假关系上,具有反对,下反对、差等、矛盾等六个关系,逻辑史上把这个关系称为对当关系,是用一个叫做“逻辑方阵”的图来表示的(见图一)。     

单圈证明——实数连续性的九个命题的等价性

关于实数连续性的九个命题的等价性虽已被证明,但从现有资料来看,都是把九个命题分成几组,用转圈的方法(如甲→乙→丙→甲)分别证明每组中各命题等价,然后从每组中各选一命题,再证这些命题等价。这样证明,一共就要转好几个圈。我们要问:单圈是否可以证明这九个命题等价呢?在其他同志所得结果的基础上,经研究,我们的愿望是能够实现的。