反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。     

浅谈二次曲面的弦的中点轨迹的几个问题

本文将文[1]的结果推广到三维空间,并初探一下求切点平面的方程和弦为定定长的中点方程的两个问题。一、关于过定点二次曲面弦的中点轨迹命题1:过定点P_0(x_0y_0z_0)的直线束与二次曲面F(x,y,z)=0相截得的二次曲面弦的中点p(x,y,z)坐标满足方程:     

二重极限存在的一个充要条件

本文给出一个关于二元函数的二重极限存在的充要条件和三个推沦,并举例说明它们的简单应用。我们约定采用中关于二重极限的定义,D为R_2中的点集,f(x,y)是定义在D上的二元函数. 定理若P_0(x_0,y_0)是D的一个聚点,则 lim f(x,y) x→x_0 y→y_0     

函数f:R~2→R~1的微分中值定理

本文把一元函数f:R~1→R~1的微分中值定理推广到二元函数f:R~2→R~1上,下面是二元函数z=f(x,y)的微分中值定理。 定理 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,在D内关于x和y的两个偏导数连续,且算子1×2矩阵的范,则对D内任意两点(x_1,y_1)、(x_2,y_2)有     

建立旋转曲面方程的一题多解举例

例题:求直线l:x-2/3=y/2=z/6绕x轴旋转所得的旋转曲面方程。解法1:利用同一纬园上的同一坐标相等将直线方程写成参数式     

坐标变换·复合运动·曲线加工——《解析几何》教学参考资料

可以解释为,同一点M在旧坐标系xoy中的坐标(x,y)和它在新坐标系x_1o_1y_1中的坐标(x_1,y_1)之间的联系。其中a,b是新坐标系原点o_1在旧坐标系中的坐标,而θ新坐标轴o_1x_1由ox方向开始的转动角。这时,由于新旧坐标系是相对固定的,所以a,b,θ皆为常数。 如果我们只考虑一个固定的点M,则公式(1)给出的是两组定数(x_1,y_1)和(x,y)之间的关系。如果把点M看做是某曲线上的任意点,则公式(1)(或其反变换)给出了一条曲线在两个坐标系中的方程之间变形公式。     

怎样打开平面解几三个公式中的绝对值符号

在平面解析几何中,含绝对值符号的公式有;点到直线距离公式;二直线交角公式和三点围成的三角形面积公式。本文拟讨论根据解题需要,怎样去掉绝对值符号。 一、点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式;d=|Ax_0+By_0+C|/(A~2+B~2)~(1/2)     

利用点的变换解决常见图象变换问题

在中学数学中，有函数图象的平移变换与伸缩变换问题，方程的曲线的对称变换问题。这几类问题的解决，都可以用一种共同的思想方法──图象中的对应点的变换。1平移变换例1把直线l向在平移1个单位，再向上平移2个单位，所得直线l’与l重合。求直线l的斜率。分析：直线l：y＝kx＋b平移变换后所得直线产，可理解为直线l上的一点（x0，y0），平移变换后得到直线l’上的一个对应点（x，y），这里x，y的关系式即为直线l’的方程。把点（x0，y0）向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得点为（xo－1，y0＋2），因此x＝x0－1，y＝y0＋2，即x0＝x…     

一道平面解析几何题的八种证法及其应用

题:过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x_1、y_1)、Q(x_2、y_2)两点,求证:y_1·y_2=-p~2(中师教材《几何》第二册习题七第8题)。     

二次函数图象与X轴交点位置的判定

定理1:若二次函数y=ax~2+bx+c[a≠0]图象与x轴的两个交点在坐标原点的同侧,则必有对应的二次方程ax~2+bx+c=0[a≠0]的{△>0 (x_1x_1)>0}(x_1,x_2 为方程ax~2+bx+c=0[a≠0]的两根)。反之亦然。 证明:∵ 二次函数的y=ax~2+bx+c[a≠0]的图象与x轴有两个交点 ∴ ax~2+bx+c=0有两个不等的实根     

关于椭圆曲线y~2=qx(x~2-32)的整数点

设q为无平方因子的正奇数,q的任意素因子qi(i∈Z~+)都满足qi≡5(mod 8),主要利用同余的性质、Legendre符号等证明了y~2=qx(x~3-32)除了整数点(x,y)=(0,0)外至多有4个整数点(x_1,±y_1),(x_2,±y_2).     

求平面射影变换公式的矩阵方法

一、引言平面射影几何基本定理是:设P_i(i=1,2,3,4)是平面上给定的四点,其中任何三点不共线;P′_i(i=1,2,3,4)是平面上另外任意四点,其中任何三点也不共线,则唯一地确定了一个射影变换,它把P_i分别变换到P′_i(i=1,2,3,4)。若已知P_i、P′_i的坐标分别是(x_1~((i)),x_2~((i)),x_3~((i))),(y_1~((i)),y_2~((i)),y_3~((i)))(i=1,2,3,4),那么可以求出把P_i分别变为P′_i的射影变换式,通常的方法是:设射影变换式为     

二阶全微分方程和积分因子

一、二阶全微分方程 首先考察二阶变系数非齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y′+P_2(x)y=R(x) (1)和对应的二变系数齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y~′+P_2(x)y=0 (2)定义1.若方程(1)和(2)的左端恰是某一个一阶微分式的导数:     

函数的保号性及其应用

设y=f(x)是区间[a,b]内的一个初等连续函数(图一)。 由图象易知:x_1,x_2,x_3…x_n分别是函数f(x)的n个零点,并把区间(a,b)分成了(n+1)个有序区间(从左到右);在(a,x_1)内,恒有f(x)>0,在(x_1,x_2)内,恒有f(x)<0,在(x_2,x_3)内,恒有f(x)>0,…,在(x_n,b)内,恒有f(x)<0,或者恒有f(x)>0。这一事实告诉我们:     

用本征函数展开的绝热消去法研究哈肯模型

本文运用K.Kaneko本征函数展开的绝热消去的思想方法,建立了x方向为乘法高斯白噪音驱动,y方向为加法高斯白噪音驱动的消去快变量框架。对于耦合朗之万方程x=f(x、y)+g(x)ξ_x(t);y=-va(x、y)+b(x)+v~(1/2)ξ_y(t);在选择基矢时把b(x)部分合并到含x偏导的那部分方程中去,并把所得到的一般性方程应用于哈肯模型,发现在加法噪音和乘法噪音下不仅是分岔点发生移动,而且分岔曲线在∈_p= -v/2处截止。     

波发夫方程的积分因子

本文讨论波发夫方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(l)的积分因子,其中P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)均具有一阶连续偏导数,指出它具有某些积分因子的充要条件.我们的主要结果是给出积分因子的一般表达式,从而给出了波发夫方程的分组解法。     

浅谈“弦的中点坐标与直线参数方程”的关系

二次曲线和直线相交,利用直线点斜式方程中参数的几何意义,不但可以解决距离、弦长、求弦的直线方程等问题,而且还可以有效地解决与弦的中点有关的轨迹方程问题。 直线的点斜式方程是     

一类异底对数大小的简捷判别法

利用对数函数y=log_ax(a>0且a≠1)的单调性,很容易判断两个(或多个)同底对数的大小,而要判断两个异底对数的大小,却往往颇费周折。简单的,如比较log_0.30.8与log的大小,通常的解法是:第一步,作差,第二步,利用公式log_ab=1/log_ba通分,第三步,利用函数y=log_0.8x的单调性,确定分子的符号,第四步,确定分母的符号,进而确定差的符号,得出结论。拙文提出两个命题,其结论易记,易掌握,并能简化上述判断过程。 命题一:当常数a∈E(1,+∞)时,函数y=log_xa(x>0,且x≠1)(1)当且仅当0相似文献   

弦的中点轨迹的简便求法

本文介绍一种想法直观、演算简便、易于掌握的解法一一坐标转换法 ,以供参考。基本思想 :直接设弦的中点坐标为P (x ,y) ,将中点坐标 (x ,y)转移到已知圆锥曲线上去考虑。基本方法 :引进两个参数t、u ,设弦的两个端点坐标分别为P1(x +t,y +u) ,P2 (x-t,y -u)。这样P (x ,y)作为P1P2 的中点就自然而然地体现出来了 ,同时也将中点坐标(x ,y)转移到圆锥曲线上去了 ,将P1、P2 的坐标代入已知的曲线方程 ,得到t,u与x ,y的关系 ,再根据弦的已知性质 ,消去t,u后就得到弦P1P2 的中点P (x ,y)的轨迹方程。优点与使用范围 :由于P1、P2 的坐标的…     

随机Volterra型非线性积分方程的一种近似解法

讨论了随机Volterra型非线性积分方程x(t,ω) - ∫t0 K(t,τ,ω) f(τ,x(τ,ω) )dτ=y(t,ω)的一种近似解法 ,并给出了这个近似解的误差估计