椭圆的参数方程在解题中的应用

椭圆的参数方程为：（0≤0＜2π）其中参数叫做离心用．椭圆的参数方程可简化计算和论证，在研究图形、性质求解轨迹方面亦有多方面的应用：1用椭圆的参数方程求最值例一：已知椭圆和直线4X＋5y－40=0，求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离.解设椭圆上任意一点则P到已知直线的距离例二：求椭圆的切线被其对称轴所截的最短线段的长，它与。，。轴的义劳分别是。（忘，0），B。。·5。，其中等号当atso—bctso即tso一士VS时成立．因此线段＊D最短为U＋b，2用椭圆的参数方程求轨迹方程例三：已知椭圆一组平行弦的斜率是定值k，求其中点…     

三角函数定义一个方面的应用

角终边上任意一点P(异于原点)的坐标是(x,y)它与原点的距离是(=√x~2+y~2>0),那么角的正弦、余弦、正切分别是sin=y/r,cos=x/r,tg=y/x,在以角的顶点为原点,以角的始边为x轴的正半轴建立的笛卡尔直角坐标系下。下文均在此约定下讨论,如图1。     

关于商高数的Terai猜想

设(a,b,c)是一个本原商高数三元组,且2|a.如果b■1(mod 16),b2 1=2c,b,c都是奇素数,则方程x2 by=cz只有一个正整数解(x,y,z)=(a,2,2).     

点斜式直线参数方程在解题中的应用

(一)点斜式直线参数方程的标准式 若直线l过点P_0(x_0,y_0),直线的倾斜角为α,则直线l的参数方程为: x=x_0 t·cosa y=y_0 t·sina (t为参数) ①这个方程称为直线点斜式参数方程的标准式,其中P(x,y)为直线l上任意一点,而参数t的系数的平方和为1。 参数方程中每个量的几何意义:     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

椭圆型方程解的Liouville型定理

在整个空间En 上考虑下面的椭圆型方程 :divA(x ,u , u) +B(x ,u , u) =0。其中 ,ξ·A(x ,u ,ξ)≥ | ξ| p,1

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Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5     

利用点的变换解决常见图象变换问题

在中学数学中，有函数图象的平移变换与伸缩变换问题，方程的曲线的对称变换问题。这几类问题的解决，都可以用一种共同的思想方法──图象中的对应点的变换。1平移变换例1把直线l向在平移1个单位，再向上平移2个单位，所得直线l’与l重合。求直线l的斜率。分析：直线l：y＝kx＋b平移变换后所得直线产，可理解为直线l上的一点（x0，y0），平移变换后得到直线l’上的一个对应点（x，y），这里x，y的关系式即为直线l’的方程。把点（x0，y0）向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得点为（xo－1，y0＋2），因此x＝x0－1，y＝y0＋2，即x0＝x…     

关于π的公式的探讨

设连续函数y=f(x)定义在闭区间[a,b]上,它的图象为曲线LM。在曲线LM上考虑相邻两个点P(x,y)和Q(x+dx,,y+dy),如图1.过P点作曲线的切线交oy轴于点T,过T作ox轴的平行线分别交PC、QD于A、B两点,其中PC、QD都垂直于ox轴。OS⊥PT。记P为OS的长度,z为点T的纵标,于是z=oT=AC=BD。     

椭圆曲线y^2=px（x^2±1）的正整数点

设P是素数．该文利用w．Ljunggren关于四次Diophantine方程的结果证明了：（i）椭圆曲线了y^2=px（x^2-1）仅当p=5和p=29时各有一组正整数点（x．y）=（9，60）和（x,y）=（9801,5225220）．（ii）当p≠1（mod 8）时．椭圆曲线y^2=px（x^2＋1）仅当p=2时有正整数点（x,y）=（1，2）；当p≡1（mod 8）时，该曲线至多有一组正整数点（x，y）．     

弦的中点轨迹的简便求法

本文介绍一种想法直观、演算简便、易于掌握的解法一一坐标转换法 ,以供参考。基本思想 :直接设弦的中点坐标为P (x ,y) ,将中点坐标 (x ,y)转移到已知圆锥曲线上去考虑。基本方法 :引进两个参数t、u ,设弦的两个端点坐标分别为P1(x +t,y +u) ,P2 (x-t,y -u)。这样P (x ,y)作为P1P2 的中点就自然而然地体现出来了 ,同时也将中点坐标(x ,y)转移到圆锥曲线上去了 ,将P1、P2 的坐标代入已知的曲线方程 ,得到t,u与x ,y的关系 ,再根据弦的已知性质 ,消去t,u后就得到弦P1P2 的中点P (x ,y)的轨迹方程。优点与使用范围 :由于P1、P2 的坐标的…     

坐标变换·复合运动·曲线加工——《解析几何》教学参考资料

可以解释为,同一点M在旧坐标系xoy中的坐标(x,y)和它在新坐标系x_1o_1y_1中的坐标(x_1,y_1)之间的联系。其中a,b是新坐标系原点o_1在旧坐标系中的坐标,而θ新坐标轴o_1x_1由ox方向开始的转动角。这时,由于新旧坐标系是相对固定的,所以a,b,θ皆为常数。 如果我们只考虑一个固定的点M,则公式(1)给出的是两组定数(x_1,y_1)和(x,y)之间的关系。如果把点M看做是某曲线上的任意点,则公式(1)(或其反变换)给出了一条曲线在两个坐标系中的方程之间变形公式。     

二次曲线的一种作图方法

本文介绍在已知二次曲线方程的条件下,根据二次曲线的共同几何特征:它们都是到某定点(焦点)和某定直线(准线)的距离之比等于常数(离心率)的点的轨迹,作出它们图形的方法,並给以证明。 设二次曲线的焦参数为p,焦点到准线的距离为q。对于所给出的椭园方程为(或者化为)以及双曲线方程为(或者化为)时,取对于所给抛物线方程为(或者化为)Y~2=2px时,只取q=p,然后接下述作法作图:     

无限长双曲线型导线在其两焦点上的直流磁场

感谢王万游同志对拙文错误的指正,经过改正在积分中的错误后,椭圆形线圈在其焦点上产生的直流磁场应为 B=μI/2b a/b其中a及b分别为椭圆线圈的长及短半轴。 无限长双曲线型导线在其一焦点上产生的直流磁场,经过改正积分中的错误后,应为     

用本征函数展开的绝热消去法研究哈肯模型

本文运用K.Kaneko本征函数展开的绝热消去的思想方法,建立了x方向为乘法高斯白噪音驱动,y方向为加法高斯白噪音驱动的消去快变量框架。对于耦合朗之万方程x=f(x、y)+g(x)ξ_x(t);y=-va(x、y)+b(x)+v~(1/2)ξ_y(t);在选择基矢时把b(x)部分合并到含x偏导的那部分方程中去,并把所得到的一般性方程应用于哈肯模型,发现在加法噪音和乘法噪音下不仅是分岔点发生移动,而且分岔曲线在∈_p= -v/2处截止。     

《岭南师范学院学报》2016年第1～6期总目次

主要利用同余式、平方剩余、Legendre符号的性质等初等方法证明了P≡1(mod24)为奇素数,q=73,97,241,409,(P/q)=-1时,Diophantine方程x~3-1=Pqy~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

一个新的一阶常微分方程的可积类型

本文借用文[3]的思想方法,给出了一类一阶常微分方程可积的充分条件及其通积分,由此还可以推得许多新的可积型和古典可积的一阶常微分方程及其通积分,大大推广了文[1]、[2]、[3]的有关结果。定理.设P、Q、F∈C,φ、f_1.f_2.f_3h∈C′,并且φ(x)>0、f_1(y)>0、f_2(y)>0、f_3(y)>o、h(x)>o、F(u)≠0,K、a、β为任意实常数(β≠0),如果满足条件     

圆锥曲线的外域与切线

一般来说,在直角坐标系中,两个变量x、y的多项式方程f(x,y)=0确定平面上一条(实)曲线,而不在曲线f(x,y)=0上的所有点由曲线划分成有限多个区域(连通开集)D_1、D_2、……D_n。在每个区域D_i内,多项式f(x,y)或者恒为正的,或者恒为负的。因此,对于给定区域内判断f(x,y)>0,或者f(x,y)<0,只须在该区域内任取一点计算其对应的值就完全可以了。     

函数f:R~2→R~1的微分中值定理

本文把一元函数f:R~1→R~1的微分中值定理推广到二元函数f:R~2→R~1上,下面是二元函数z=f(x,y)的微分中值定理。 定理 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,在D内关于x和y的两个偏导数连续,且算子1×2矩阵的范,则对D内任意两点(x_1,y_1)、(x_2,y_2)有