利用积分求等幂和

关于求前n个自然数的等幂和m~k的问题,虽然早已有不少研究,但由于组合教学的发展,它现在仍然吸引着国内外不少数学工作者,他们使用各种方法来处理等幂和问题[1—2]。陈景润和黎鉴愚在文献[3]中已求出了幂指数从1到30的等幂和公式,但由于公式的建立使用的是初等方法,因而证明和计算都比较复杂,特别是幂指数越高,计算就更复杂。在文献[4]中,作者提出了解决等幂和问题的一个猜想,它是用积分方法来     

关于某类级数的部分和公式

关于自然数连续n项k次幂的求和公式,有不少数学家在研究。特别是著名数学家陈景润使用递归关系式,得到了下面的定理(见文献[1].[2]): 定理 设n是正整数,令N=n(n 1),M=2n 1,当k=1,2,……,20时,     

关于任意K（K≥4）个连续Fibonacci数的两个定理

文[1]给出了1991年美国Mr．A．DiDomenico教授证得的几个公式：并给出公式（2）推广到任意K（K≥5）个连续Fibonacci数的一个猜想．文[2]对公式（1）进行了推广，但仍局限于六个连续Fibonacci数前后四个数之间的关系．本文对公式（1）进行推广，给出K个连续Fibonacci数的两个定理．至于Fibonacci数列的定义由[1]中给出，此处从略．先给出比较（4）、（5）两矩阵左上角的元素，有），这是一个递推式，将其递推（n预备定理证完．现在给出（m∈N）证先证（6）由预备定理[4]中有，所以（6）得证．再证（7）仍由预备定理[4]中还有，故周得证…     

一族函数的相邻系数问题

此文研究单叶函数的Goluzin问题 ,拓广了胡克教授[1] 中关于单叶函数相邻系数的一个重要定理。当fk(z) =z+∑∞n =1an + 1(k) zkn + 1∈Sc(α)时 ,得到‖an + 1(k) | - |an(k) ‖的准确估计。     

n—幂零Hall子群的Wielandt定理

本文证明了类似于Wielandt定理的结果:设G为有限群,H是G的n—幂零Π-Hall子群,若M是G的Π—子群,(|M|,n(1—n))=1,则存在aG使M~a≤H。并对文[2]中定理2.2的证明进行了改进,证法比文[2]更简洁。     

方幂和中因子3的指数

n,x,r是正整数,且r＞1,设n＝3^am,3 m。文章给出下列方幂和中因子3的指数公式：n-1^∑k＝0(x＋k)^r,n-1^∑k＝0(x＋2k)^r,n-1^∑k＝0(x＋3k)^r。     

关于限量分配问题

考虑把n个球放入m个盒内的I型分配问题，若限制每个盒的容量都取自由某些非负整数所组成的集A，则把分配数记为d~(1)_n（m，A）．分配数列（d~(1)（m，A）n≥0的指母函数记为e~d~(I)(m,A)设k≥0，Nk＝｛k，k十1，…｝为不小于k的全体整数所组成的集，W2k=｛2k，2k＋2，…｝为不小于2k的全体偶数所组成的集，J2k＋1＝｛2k＋1，2k＋3，…｝为不小于2k＋1的全体奇数所组成的集。魏万迪给出了如下计数公式：[1]此外，文献[2]还介绍了下面的计数公式其中S（n，m）是第二类Sitrling数．本文分别给出了计算分配数d：I（。n，A”。），dz‘’…     

区间序列计数

利用递归,对称等多种方法研究了[1,n]上l度k-区间序列的计数问题,给出了计数公式。特别当k=2,3时,通过分析SIV结构表,得到了s（n,k,l）简洁的多项式计数公式。     

关于Fibonacci三角形与Lucas三角形

设F_n为第n个Fibonacci数,即f_0=0,F_1=1,F_n=F_(n-1)+F_(n-2)(n≥2),边长为Fibonacci数的Heron三角形称为Fibonacci三角形,文[1]中有如下猜想,当1≤k相似文献   

关于某三次自然样条投影算子范数估计式的一个证明

E. Neuman在[1]文中的定理3.1指出,某三次自然样条投影算子的范数界的估计式为: ‖L_N~((3))‖≤1 3/2R_(△N)~2 (1) 这里的△_N是[0,1]上一个任意的固定的分划:而这里的f∈C_([0,1])‖f‖_∞≤1,L_n~((3))f是插值于数据f(x_i)(i=0,1,…N)的三次自然样条算子:L_n~((3))f=sum from n=1 to N f(x_i)S_i(x),此处的S_i(x)是满足S_i(x_j)=δ_(ij)的基样条,容易验证L_n~((3))是线性的,有界的,幂等的,故是一个投影算子,而‖·‖_∞表上确界范数。傅清祥在[2]文中改进了E. Neuman的结果,他以定理的形式给出了估计式     

也谈《最高公因式的矩阵求法》

利用λ——矩阵的初步知识,本文给出了多项式的最大因式的另一种矩阵求法(定理1).该法道理浅显易懂,方法简单实用;同时,本文也解决了最大公因式的组合系数问题(定理2),即在求出多项式的最大公因式的过程中,也同时巧妙地求出了多项式μ_i(X)(i=1,2,…,n),使得(?)μ_i(x)f_i(x)=(f_1(X),f_2(x),…,f_n(x)成立,从而弥补了《最高公因式的矩阵求法》一文的缺陷.如文[1]最后所说:“这种方法并没有给出求得使(?)f_i(x)μ_i(x)=d(x)(d(x)为 f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)的最高公因式)成立的μ_1(x)(i=1,2,…,n)的办法,因此,如果需要求出这样的μ_i(x)(i=1,2,…,n),则应该使用其他方法.”受文[1]的启发,本文给出了同时能求出文[1]中所说的d(x)和μ_i(x)的矩阵方法.     

“M矩阵的Hadamard不等式”的注记

文献[1]研究了具有广泛实际背景的M矩阵的不等式。本文指出了文献[1]的主要结果,即其定理1和定理3为著名的Hadamard-Fischer不等式的特款。     

一类高阶非线性微分方程的不稳定定理

讨论了一类n(n≥8)阶非线性微分方程的不稳定性,通过构造Liapunov函数,得到了该类方程的不稳定定理。其定理结果推广了文献[3]中关于4阶、5阶和6阶非线性微分方程的研究,Liapunov函数的构造对于高阶非线性微分方程的不稳定研究具有一定的普适性。     

在等价变换下矩阵的标准形的一个重要应用

[1]、[2]文中指出,用初等变换可把任意矩阵A化简为,用矩阵等式可表示成ABQ=其P,Q非奇异矩阵,并称A等价于本文利川(＊)式探求一般线性方程组Ax=b的可解性及在有解时解的结构.有定理 设A∈C~(m×n)(C~(m×n)表示复数域上mxn矩阵的全体),P,Q分别满足(＊)式的m,n阶非奇异矩阵,且Q=(q_1…q_rq_(r+1)…q_n),P~(-1)=(p_1…p_rp_(r+1)…p_m),则(i)q_(r+1)…q_n是(1)的导出方程组Ax=0的一组其础解系.     

泛N位数的马丁差及其若干性质

本文在[1]的基础上,建立了n为一般自然数时泛n位数的马丁差计算公式、二差等价定理和马丁差计数定理,剖析了马丁差的若干主要性质,并据之给出了Js→6→495的证明。     

关于“杨辉三角形的推广”一文的注记

本文用图论方法给出文献[1]中提出的广义杨辉三角形的通解公式:(1 t t~2 … t~k)~n=(?)C_(i 101~(t~i))~(n)     

Hamilton圈计数

通过多重集排列计数，给出点标号完全三部图Kn,n,n的Hamilton圈数hn计数公式hn=（n!）^3/n∑k=0^[n/2]（2n-2k-1 n-1）（n-1 k）^2。     

S~(n+1)中极小曲面的外刚性定理

设M是S~(n+1)的闭定向极小超曲面,众所周知,如果M的高斯映射的象取决于S~(n+1)的开半球,则M为全测地。当n=2时此定理已由文[2]准确地给出,本文讨论n≥2时的情形。     

Knig定理的再推广

对刚体作平面平行运动的传统的k nig定理在文献 [1 ]之基础上作了再推广 ,使之具有更广泛的意义     

微积分中值公式推广

本文先给出一道分析命题,然后将它与微积分中值公式联系起来。 命题1 设函数f(x)在区间[0,1]上可导,而且f(0)=0,f(1)=1,则对任何sum from i=1 to n(α_i),0≤α_i≤1,存在[0,1]中n个不同数x_1,…,x_n,便得sum from i=1 to n(a_i/integral to 1(x_i)) =1 证n=1时,α_1=1,结论显然成立,下面不妨0<α_1<1,当n=2时,因为0<α_1<1,所以存在ξ_1∈(0,1)使得f(ξ)=α_1,由微分中值定理得: