一个平几公式的证明和应用

斯蒂瓦特（stewart）公式：设D是△ABC的BC边上的任意一点，则：证法一（平几法）过凸ABC的顶点A作对边BC的垂线AH，垂足是H，那么H点或者在BC线段内，或者在BC的延长线上。如下列各图的情况：下面，仅就图1的情况进行证明，其他各图类似可证。根据勾股定理：即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一L证法二（三角法）如图5设ZADB—a，贝IJ；ZADC—180”＝－cosa，根据余弦定理：则：AB’·DC＋AC’·BD即：AB’·DC＋AC’·BD－AD’·BC一BC·DC·BD证法三（坐标法）如图6建立直角坐标系，不妨设各点的坐标分别为…     

关于一个猜想的否定性证明

本文给出了猜想——“存在这样的正方形ABCD,在其中能找到一点O,使OA、OB、OC、OD四条线段以及正方形边长均为整数”的一个否定性证明。     

一类近四边形地图的K──优美性

1一些概念和记号定义1对于正整数K，简单图G=（V，E）称为是K──优美的．若存在单一映射使得由之导出的映时是一一映射．[1]、[2]定义2除无限面为可能例外，所有的面皆为四边形的有限连通平面图称为近四边形地图．定义3设G是近四边形地图．把它的所有有限四边形面画成边长为I的正方形面，再将G放在平面直角坐标系内．使G的各项点的坐标力（s，t），s、l均为非负整数．这样所得的近四边形地图记作G(IV)。显然，直线系覆盖了G(W)的所有顶．记一个覆盖。若对任意的Lh。’。’）和L（I。”，。I”）（。11’＞。IJ且。”＜I。）都不能…     

挖掘例题各侧面 组成系统知识链

重视教材中例题的处理，是加强双基教学，引导学生正确理解并掌握教学大纲所规定的知识和技能的基本途径。正确运用教材中的例题及其引伸，有利于学生系统的掌握知识，有利于培养学生各种优良的思维品质。l直接观察，分析比较，寻求结论例题（九年义务教育初中几何三册第144页例4），如图fool和O02外切于点A，BC是①OI和①02的公切线，B、C为切点。求证：AB上AC分析：要证AB上AC，需要考虑有几种证明AB上AC的方法，因为两圆相切常作两圆公切线，从而借助于切线长定理可得OA＝OB＝OCo由圆周角度数定理的推论知AB上ACo（由三切点…     

一个习题的多解

本文想探讨一下一个习题的多解法。已知：如图，BC与■O相切于B，CE垂直直径AF于E。求证：CD=CB 证1:连FB、则D、B、F、E共圆。 ∴ ∠2=∠F。又BC为切线, ∴ ∠3=∠F。 ∴ ∠2=∠3。故CD=CB 证2:连OB,作AB的弦心距OG。 ∵ ∠3=∠4,因此∠2=∠4 而∠1=∠4,∴ ∠1=∠2即CD=CB。     

对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法

我们利用向量组的线性相关性以及分块矩阵的运算性质给出了下列命题的另一种有趣的证法：若n阶对合矩阵A满足条件秩（A＋In）=r，则A相似于对角矩阵diag{Ir，-In-r}．这种证法连同Schmidt标准正交化方法一起，还可以用来证明：当上述矩阵A是实对称（Hermite）矩阵时，A正交（酉）相似于对角矩阵diag{Ir,-n-r}．     

从Menelaus定理所想到的一类比例问题的若干证法

大家知道,Menelaus定理为:若D、E、F分别是ΔABC三边AB、BC、AC或其延长线上一点,则D、E、F三点共线的充要条件为,式中线段均为有向线段,若两边取绝对值,则有AD/DB·BE/EC·CF/FA=1,式中线段均为线段的长度。 我们考虑命题:已知:D、E、F分别是ΔABC三边AB、BC、CA或其延长线上一点,且D、E、F三点共线,求证:AD/DB·BE/EC·CF/FA=1,它有如下两类证法:     

谈谈几何题的一题多解在培养学生思维能力方面的作用

中学数学教学除了向学生传授数学知识之外，还有着培养学生数学能力的任务。学生的能力有运算能力、思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及解决实际问题的能力等，但其核心是思维能力。在中学几何教学中，特别是几何复习课中若能精心选取例题，进行一题多解的教学，对学生思维能力的培养起着很大的作用。今举两例，以作阐述。例1如图1—1，梯形ABCD中，AB∥CD，以AC，AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F。求证：EF=BF．思考方法一：构造三角形，利用全等三角形性质证。证法1:如图1—2，过F作FG∥DA交AB于G。则可证△GBF≌…     

浅淡运用联想,发展思维

几何这门学科，其主要目的是为了培养人的逻辑思维能力。可要学好几何，发展人的思维，并非一件容易的事。下面举例说明如何运用联想来发展思维：1横向联想，在一题多解中发展思维横向联想指的是在不改变条件和结论的情况下从不同的角度求得解答的联想。例：如图1，已知：凸＊＊c中，点D是BC边上的中点，点E是AD的中点，BE的延长线交AC于F。求证：FC＝2AF。联想1：本题在三角形中已知有中点，自然联想到过中点添加平行线，应用平行线等分线段定理及推论，三角形中位线定理等知识来解决。证：（以下都是简证）过点D作DGI【BF交AC于…     

应用台劳公式证明算术——几何平均不等式

利用导数证明了算术一几何平均不等式[1]一文，读后很受启发．现应用台劳公式给出了该不等式的证明，供参考．设龙Xi＞0．i＝1，2，…，n，则当且仅当X1＝X2＝…＝Xn；时，等式成立．lnXi．Xi＞0，（i＝1，2，…，n）；再设f（x）＝lnx（x＞0），由台劳公式，有其中介于两正数X0与Xi之间．对上式两边求和，并注意到，应用台劳公式证明算术──几何平均不等式@王端中$临沂教育学院!山东2760011 顾海润 算术-几何平均不等式的导数证明 抚州师专学报,1996(1)     

一类Riccati方程的通积分

众所周知,Riccati方程）’一分’＋Q｝＋R一般是不可积的,这早已被刘维尔所证明．本文给出一类Ricc。ti方程：y＝P）‘＋Qy＋Re卜“（）在条件Pe冲“＝2（r〕下的通积分．IRdx定理吉R卜can方程问满足条件：Pe」帅一2（）口）则（l）可积,通积分为：其中不定积分中的积分常数为零,以下类同．证对mCCCti方程（1诽变换：U＝eW·）。两边关于x求导,得U＝（q·y＋）、）e一卜把其代人方程（l）,整理得先解U’＝Pe卜·U’,得t在（6）中,视C＝C（C）,并关于C求导,则（7）是一个关于c的foccati方程．由于c、c‘项的系数和末项满…     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

初中几何复习探索

如何进行几何复习抓住图形训练，培养学生的逻辑思维能力，最终达到会解几何题之目的。我们进行了有益的尝试。一、抓住图形认！练，提高学生的解题能力。1．以图形串概念，落实“双基”每个几何定义、定理都可以由一个基本图形表示。要求学生在基本图形中，见到什么条件就可以根据定义或定理得出什么结论。例如：学生看到图（1）就可得到iC一对”，ZA＋zB＝90“，／＋b‘＝／，边。最长且a＋b＞。，AB是＂ABC外接圆的直径，S＝ah／2等结论，若LA＝30”，得到LB＝＝60”，a＝。／2，著作rp上AB，则有CD·AB＝＝AC·BC，三个直角三…     

关于e的一个不等式

加拿大数学家G·Klambauer教授在文献［1］第三章中给出了下述问题：问题54数e＝是包含在区间内的，试问：数e是包含在此区间长的四分之一区间内吗？上述问题的解答是肯定的．［1］中，G·Klambauer证明了：在本文中，我们将证明下述结果：定理上述结果不仅将（1）推广到了函数情形，并且将区间的长度改进了六分之一．为了证明（2），我们需要文［2］中的一个结果．命题11（［2］）函数f（）＝（l十上）。（l十平）（x＞0）单调下降，当且仅当p。合；存在＜。＞O使人。）＝（1十上产（1＋E）（＜＞＜。）单调上升，当且仅当。＜7．’”—…     

关于调和点列的若干证明

调和点列的证明在几何中颇为多见。本文提出了调和点列及其性质和判定。讨论了调和点列的若干判定方法。1、定义、定理先给出一个定义及几个定理。定义。若线段AB被点C内分成的两条线段之比等于点D外分AB所成的两条线段之比，则称共线点A、B、C、D为调和点列。由定义知，也即。可见，B内分（或外分）CD所成的两条线段之比也等于A外分（或内分）CD所成的两条线段之比。性质定理1：如果四点A、B、C、D是调和点列，且点O是AB中点，则证明：如图考虑到上面的证明每步可逆，于是有下面的结论。判定定理l：共线五点A、B、C、D、（），…     

一阶线性微分方程的推广

众所周知，一阶线性微分方程的通解为本文将（1）加以推广，并得到其通解公式．定理一阶型微分方程若满足条件则（3）的通解为由一阶线性微分方程的熟知结果，则得所求通解：8＼y／d特别地，当取y（y）＝l，a＝l时／y）＝y，这时（3）即（l），故（3）是（l）的推广．此时，（5）JL．．IP（x）山／In八＿IP（x）dsJ．．＿＼刀y＝eJ””～”一iD叭xJ刽“””一则＊cJ即（2）．定理证毕．例1求方程y’＋Zx＝xe－’的通解．。，。，。，。t，。。。，＊。，。。。lA：n。。。、。。。。。，解g（g）＝e－’，入g）＝l，a二l适合条件人g）…     

从关系逻辑的观点看特称否定命题的换位问题

传统逻辑认为 A、E、I命题都可以换位 ,而 O命题不能换位。但传统逻辑只是证明了在 A、E、I、O命题的范围内 ,O命题不能换位 ,它并没有证明 O命题根本不能换位。传统逻辑只是性质逻辑或类逻辑 ,而不是关系逻辑。从关系逻辑的观点看 ,O命题不但是可以换位的——其换位所得的结论不是 A、E、I、O命题——而且如同 A、E、I命题的换位一样 ,O命题的换位也是有其一般意义的     

对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法

我们利用向量组的线性相关性以及分块矩阵的运算性质给出了下列命题的另一种有趣的证法:若n阶对合矩阵A满足条件秩(A In)=r,则A相似于对角矩阵diag{Ir,-In-r}.这种证法连同Schmidt标准正交化方法一起,还可以用来证明:当上述矩阵A是实对称(Hermite)矩阵时,A正交(酉)相似于对角矩阵diag{Ir,-n-r}.     

关于完全t部图的色等价性

设K（n1,n2,…,nt）表示完全t部图,K(n1,n2,…,nt）－A表示从K（n1,n2,…,nt）中删去子边集A所得之图．本文证明了：令G＝K（n1,n2,…,nt）,J为整数集,R为实数集．设简单图Y满足Y～G,则且进一步有：若s＞0且αi∈R（i＝1,2…．t）．则