二阶全微分方程和积分因子

一、二阶全微分方程 首先考察二阶变系数非齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y′+P_2(x)y=R(x) (1)和对应的二变系数齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y~′+P_2(x)y=0 (2)定义1.若方程(1)和(2)的左端恰是某一个一阶微分式的导数:     

全微分方程求通积分的简化公式

<正> 设二元实函数P(x,y)和Q(x,y)在xoy平面的单连通区域D内有连续偏导数.在常微分方程教材中.给出了一阶全微分方程.P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)求通积分的公式(见[1],P42):     

方程Y′+P(X)Y=Q(X)的一种解法

对于一阶线性微分方程 y′+p(x)y=Q(x),(其中 p(x),Q(x)是 x 的连续函数)在求其通解时,除介绍常数变易法外,还可给学生介绍如下方法,例1 求方程y′+ay=0 (1)的通解,其中 a 为实常数。解:利用变量分离法即得通解     

关于多元指数型算子的一致逼近(Ⅱ)

设L_(n,m) (F (u,v);x,y)是二元指数型算子,在本文中,我们借助于K-泛函,讨论了当0相似文献   

一类n阶非线性微分方程多点边值问题解的唯一性

本文利用Leray-Schauder度理论建立了n阶非线性微分方程y(n)=f(x,y,y′,…y(n-1)),0     

波发夫方程的积分因子

本文讨论波发夫方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(l)的积分因子,其中P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)均具有一阶连续偏导数,指出它具有某些积分因子的充要条件.我们的主要结果是给出积分因子的一般表达式,从而给出了波发夫方程的分组解法。     

一个新的一阶常微分方程的可积类型

本文借用文[3]的思想方法,给出了一类一阶常微分方程可积的充分条件及其通积分,由此还可以推得许多新的可积型和古典可积的一阶常微分方程及其通积分,大大推广了文[1]、[2]、[3]的有关结果。定理.设P、Q、F∈C,φ、f_1.f_2.f_3h∈C′,并且φ(x)>0、f_1(y)>0、f_2(y)>0、f_3(y)>o、h(x)>o、F(u)≠0,K、a、β为任意实常数(β≠0),如果满足条件     

运用待定函数法解一类一阶微分方程

本文运用待定函数法,给出了一类一阶微分方程的解法,推广了文[1]、[2]所研究的有关结论。 我们考察方程 φ(x)f'(y)dy/dx+[ P(x)φ(x)+φ'(x)] f(y)=θ(x)其中θ(x),P(x)是x的连续函数,φ(x),f(y)是x,y的连续可微函数。 将(1)整理为     

一类n阶非线性微分方程多点边值问题解的存在性

利用Leray-Schauder度理论建立了n阶非线性微分方程y(n)=f(x,y,y′,…,y(n-1)),n≥3,满足多点边界条件yn-1(0)-hyn-2(0)=0,y(i)(ηi)=0,i=0,1,…,n-3,y(n-1)(1)+ky(n-2)(1)=0.的多点边值问题的解存在性的几个充分条件,并给出了应用举例.     

一类非线性方程的渐近解

用两变量方法讨论了一类二阶非线性方程εy″+a(x) y′+b(x) y″=0 ,n∈ Z,x∈ (0 ,1 ) ,y(0 ) =α,y(1 ) =β,并得到了该类非线性方程的渐近解     

广义齐次微分方程的降阶法

本文讨论广义齐次微分方程F(x,y,y’…,y~(n))=0的解法,利用双重变换x=e’,y=ue~(mf),再令z=du/dt,将方程降低一阶.     

关于 Laplace(常)微分方程中的一个基本公式及其应用

引言给定方程y″ (a_0 a_1/x)y′ (b_0 b_1/x)y=0或xy″ (a_0x a_1)y′ (b_0x b_1)y=0 (1)若 a_1=b_1=0 则(1)变为常系数二阶线性方程,故可用欧拉方法解之。若 a_1,b_1,不皆为零,则欧拉方法不适用,而需用拉普拉斯变换。所谓拉普拉斯变换,就是这样的一个积分:y(x)=(?)e~(xz)U(z)dz (2)其中 U(z)是待定的复变函数,L 是在 z 平面上与 x 无关的待定路线。我们的目的,在于适当的规定 U(z)和 L,使得 y(x)为(1)的一个不恒等于零的解。为此,我们先作一些形式的处理。     

高阶变系数线性微分方程的特解求法

一般的高阶线性微分方程,没有较为普遍的解法,处理问题的基本原则是降阶。本文首先介绍在降阶法中起重要作用的一个定理,然后给出某些类型方程特解的求法,以解决降阶法中的关键。一、一个定理定理1.1 函数 y=Ψ(x)e~(∫φ(x)dx) (1.1) (Ψ(x)为待定的有直到n阶导数的函数,φ(x)为待定的有直到n-1阶导数的函数)是n阶齐线性微分方程。     

圆锥曲线的外域与切线

一般来说,在直角坐标系中,两个变量x、y的多项式方程f(x,y)=0确定平面上一条(实)曲线,而不在曲线f(x,y)=0上的所有点由曲线划分成有限多个区域(连通开集)D_1、D_2、……D_n。在每个区域D_i内,多项式f(x,y)或者恒为正的,或者恒为负的。因此,对于给定区域内判断f(x,y)>0,或者f(x,y)<0,只须在该区域内任取一点计算其对应的值就完全可以了。     

一类四阶非线性常微分方程的周期边值问题的存在性

本文利用Schauder不动点定理结出了一类四阶非线性常微分方程的周期边值问题．y（4）＝f（x,y,y＂）y（0）＝y（1）,y＇（0）＝y＇（1）,y＂（0）＝y＂（1）,y＂（0）＝y（1）存在解的充分条件．     

关于一阶常微分方程常数变易法的教学

<正> 笔者用中山大学数学力学系编的《常微分方程》作教材,先后在三届五个教学班中进行了教学实践。有些做法收到了一定的效果。现就一阶常微分方程的基本解法之一——常数变易法的教学,谈一谈初步做法和一些肤浅体会,以求指教。一阶线性常微分方程(dy)/(dx)=P(x)y+Q(x) (1)中,P(x)、Q(x)是已知的连续函数,若 Q(x)≡O,则(dy)/(dx)=P(x)y (2)叫做方程(1)相应的齐线性方程。教课书和其他参考书大都采用常数变易法求其通解。为了说明问题,先把具体做法列于下:     

一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

Bernoulli方程的又一解法及两点结论

形如dy/dx=P(x)y+Q(x)y~n的方程称为Bernoulli方程,其中P(x),Q(x)是连续函数,(n≠0,1)。本文给出Bernoulli方程的又一解法及两点结论。 我们知道Bernolli方程的一般解法是n—解法即令Z=y~(1-n),将方程化为一阶线性微分方     

反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。