平方数的位数和函数的2个性质

设正整数n的二进制表达式为n=∑i≥0εi（n）2^i，这里最（n）=0或1，i≥0，定义二进制位数和函数为s（n）=∑i≥0εi（n）．设s（n）=κ，证明了s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，并且证明了几乎所有满足s（n）=κ的正整数n都满足s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，i≥0从而给出了｜{n〈2^N：s（n）=κ，s（n^2）=m}｜的一个确切分布．     

两个怪物

山下有一座漂亮（piào liang）的小房子，里面住着一个红怪（guài）物。红怪物虽然样子很可怕，但是他很善良（shàn liáng）。从来都不欺负（qī fu）人。他想和人们交朋友，但是人们都很害怕他，为此，他十分苦恼（kǔn nǎ）。[第一段]     

关于正整数整除部分的Graham猜想

对于正整数n，设S（n）是n的整除部分，ω（n）是n的不同素因数的个数．本文证明了：当n是大于2的偶数、或当n是满足ω（n）≤2且不等于3a（a∈N）的奇数时，上述结果部分地证实了Graham猜想．     

词语磞磞床

坚强·软弱 坚强（jiān qiáng） 词语解释 强固（gù）有力，不可动摇（yáo）。同义词刚强、顽（wán）强[第一段]     

爱心

有位孤独的老人，无儿无女，又体弱多病，他决定搬到养老院去住，于是宣布出售他豪华漂亮的住宅。购买者闻讯（xùn）蜂拥而至。住宅底价8万英镑（bàng），但人们很快就将它炒到了10万英镑。价钱还在不断攀（pān）升，老人却满脸忧郁（yōu　yù），要不是身体情况越来越不好，他是不会卖掉这栋陪他度过大半生的住宅的。[第一段]     

非线性Schrōdinger及Klein—Gordon和方程组Kdv方程组的一类孤立波解

本文用推广的Tanh-函数法，即Sechq—Tanhq方法，给出了多分量Schrōdinger、Klein—Gordon方程组及Kdv方程的孤立波解，即给出方程（组）的下述形式的孤立波解，φn=∑Nr=0αn,r^u^r＋∑Nr=1bn,rνu^r-1其中u=sechq（·），ν=tanhq（·）。     

对整环Z(2~(1/2))的单位的讨论

本文根据Pell方程的有关定理，给出了整环Z（）的全体单位，并推广讨论了整环Z（）（n∈N，且n为非平方数）的单位情况．     

变脸的梨

同学们遇（yù）到过这样的情况（kuàng）吗？一只没有吃完的梨（lì），在桌上放一会儿，它就变了颜（yán）色!想知道这是为什么吗？[第一段]     

关于一个Pl型缺项插值问题

对基于节点组(1,4)的修改的(0;1;2)插值多项式Qn（f，x）的收敛性，本文改进了Akhlaghi的结果，也即对于［－1，1]上的r（≥2）次连续可微函数f（x），当n≥4/3（r+2）时，成立|f(x)-Qn(f,x)|=O(1)n~(2-r)ω(f~(r),1/n),x∈[-1,1]     

我帮爸爸剪指甲

昨天晚上，爸爸说他指甲太长，叫我帮他剪指甲，我开心地答应了。我从抽屉（tì）里拿来指甲钳（qián）帮爸爸剪起了指甲。[第一段]     

征程

天上的星星不孤单（gū dān），行星绕（rào）着恒（héng）星转，卫星跟着行星走。太阳是恒星，地球是行星。所以，你该知道了吧，地球围着太阳转圈圈，而人造卫星呢，又绕着地球走。     

钉马掌

马妈妈准备给小马驹（jū）钉（dìng）马掌（zhǎng），望着那坚硬（yìng）的铁掌、锋（fēng）利的铁钉，小马驹胆怯（dǎn qiè）地说：“妈妈，我怕!”[第一段]     

一类数论函数的零点

对于正整数n,如果存在正整数k可使kn＋1是素数,k｜n-1且（n-1）/k不是合数,则设f（n）表示适此条件的最小的k;否则,f（n）=0.当f（n）=0时,n称为函数f（n）的一个零点.该文证明了：函数f（n）有无穷多个零点.     

卷·首·语

在数学研究领域，乐茂华的《关于Diophantine方程（ax^4-1）／（ax-1）=y^n＋1》一文在a是大于1的正整数时，给出了方程（ax^4-1）／（ax-1）=y^n＋1的所有适合min（x，y，n）〉1的正整数解（x，y，n）。     

关于推广的Hardy—Hilbert不等式

利用改进的Euler—Maclaurin求和公式，建立了一个新的Hardy—Hilbert型不等式：设p〉1,1/p＋1/q=1,a≥1/2.an,bn≥0,满足0〈∞∑n=0an^p〈∞及0〈∞∑n=0bn^q〈∞,则有 ∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈{∞∑n=0k（q）an^p）^q/p{∞∑n=0k（p）bn^q}^1/q, 其中k（r）=∞∑n=02（n＋1）[1/（n-1/r＋1）^3＋1/（n＋1/r＋1）^3],r=p,q. 特别，当1〈p≤2且1/2≤a≤1时有 ∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈[k^1/q（p）k^1/p（q）]{∞∑n=0an^p}^1/p{∞∑n=0bn^q}^1/q, 这里，常数因子k^1/q（p）k^1/p（q）是最佳值．     

等明天

羚（líng）羊是动物世界的长跑冠（guàn）军，时速可达100公里。小山羊说：“我明天要跟羚羊学长跑，有一天，我也能成为长跑冠军就好了![第一段]     

两回事

一只猪、一只绵羊和一头乳牛,被关在同一个畜栏（l&;#225;n）里。有一次,牧人捉住小猪,它大声号叫,猛烈地抗拒（k&;#224;ngj&;#249;）。绵羊和乳牛讨厌（y&;#224;n）它的号叫,便说：“他常常捉我们,我们并不大呼小叫。”小猪听了回答道：“捉你们和捉我完全是两回事，他捉你们，只是要你们的毛和乳汁，但是捉住我，却是要我的命呢!”     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Bn表示所有的n阶布尔矩阵的集合，R（A）表示A∈Bn的行空间，|R（A）|表示R（A）的基数，m、n为正整数．本文证明：（1）m∈[1，46]，存在A∈B7，使得|R（A）|＝m；（2）当n≥9为奇数时，则m∈[1，22＋22＋…＋23]，存在A∈Bn，使得|R（A）|＝m．     

关于丢番图方程x~n-2y~n=1和Erds猜想

本文运用Baker方法证明了：方程x~n-2y~n＝1，x，y∈Z＼｛0｝，（x，y）≠（-1，-1），n∈N，n＞2，至多有432组解（x，y，n），而且这些解都满足n≤3231以及|x|＜e~(10)~(208460)。     

捣蛋的狗

亲爱的小朋友，每篇寓言都是一个故事，都蕴藏（yūn　cáng）着一个做人的道理，你能从故事中领悟（lǐng wù）出来吗？[第一段]