导出变换的特征多项式的性质

设A是数域P上n维线性空间V上的线性变换,W是A的不变子空间,A限制在W上的线性变换,称为A的导出变换,[1].记作A│W,为了便于书写,记作B.本文目的是剖析A的导出变换的特征多顶式性质。 定理 1.假设条件同上,则B特征多项式f_1(λ)整除A的特征多项式 f(λ)。 证;设W的基为α_1,α_a。,…α_r,V的基为α_1,α_2,…,α_r,α_r+1,…,α_n,于是有∑(α_1,…,α_r)=(α_1,…,α_r)B.     

高等代数中两个定义的条件的削弱

正交变换和对称变换是欧氏空间的两类重要的线性变换。在书中它们分别是这样定义的: 欧氏空间V的线性变换A称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的α,β∈V,都有     

次对称矩阵与次对称变换

本文引入了次对称矩阵及次对称变换等新概念,获得了一些重要性质,并且给出了次对称矩阵及次对称变换的关系: 定理1 n维欧氏空间V中次对称变换σ关于V的标准正交基{α_1,α_2,…,α_n}的矩阵A是一个次对称矩阵。 定理2 设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换。若σ关于V的一个标准正交基{α_1α_2,…,α_n}的矩阵A是次对称矩阵,则σ是一个次对称变换。     

关于不变子空间问题的否定解(英文)

用代数方法进一步简化了不变子空间问题的否定解，在ｌ１上给出了一个不具有非平凡的不变子空间的有界性算子。特别是用向量的坐标计算代替了某些向量的范数估计，用一些简单的代数运算代替了紧空间技巧。     

关于不变子群的一个命题

下面给出关于不变子群的一个命题.对于某些具体的不变子群的判别问题,利用此命题将会得到简化.命题:设H是A的子群,且A=HUb_1HUb_2HU…Ub_n是A的左陪集分解,A=HUHb_1U Hb_2U…UHb_n是A的右陪集分解。若b_iH=Hb;,i=1,2,…,n,则H是A的不变子群.     

α(α≤卐_0)重单侧位移的超不变子空间

本文给出了α(α≤ _0)重单侧位移的超不变子空间的刻划,推广了著名的 Beur-ling 定理。     

可以三角化的矩阵

令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换,则σ可以对角化的充分必要条件是; (i)σ的特征多项式的根都在F内; (ii)对于σ的特征多项式的每一根λ,特征子空间V_λ的维数等于λ的重数那么条件(i)意味着什么呢?本文将证明它正是σ可以三角化(即存在V的一组基,使得σ在该基下的矩阵是三角形矩阵)的充分必要条件。为此先证明     

线性空间的线性变换与基变换

有限维线性空间的线性变换与基变换,是两个关系非常密切而又有严格区别的概念。这两个概念反映在计算上,就是下面的两个公式:1、设线性变换 A 在基ε_1,ε_2……,ε下的矩阵是 A,向量ξ在基ε_1,ε_2,…,ε下的坐标是(x_1,x_2,…,x),则 Aξ在基ε_1,ε_2,…ε_n 下的坐标(y_1,y_2…,y)可以按公式     

向量空间基和维数的等价定义及求法

在现行各种高等代数教材中,对于有限维向量空间的基和维数的定义各不相同,本文将对几种定义的等价性问题加以讨论,并给出有限维向量空间的基的求法。定义Ⅰ如果在向量空间V中有n个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无关的     

也谈半正定二次型的判定

在[1]中有以下 定理1 实二次型X′AX(A′=A)为半正定的充要条件是A的一切主子式皆非负。 但这个定理在实际运用中是非常不方便的,这里我们介绍如下 定理2 实对称矩阵A为半正定的充要条件是:对于任意正数a,aE+A均为正定。 证 先证必要性:若A为半正定矩阵,则对于任意非零列向量X,都有X′AX≥0,从而对于任意正数a,X′(aE+A)X=aX′X+X′AX>0。同时又有(aE+A)′=aE+A,故aE+A为正定矩阵。     

有限维与无限维线性空间某些性质的差别

本文说明有限维线性空间中有些性质在无限维线性空间中是不成立的,如在教学中注意这些问题,是很有益处的.(本文符号采用I)性质1 设W是V的真子空间,在有限维线性空间中,显然W的维数不能等于V的维数,即维V≠维W.但在无限维线性空间中却有这情况存在.例1.设F[x]是数域F上无限维线性空间.F[x]的真子空间:W={sum from i=0 to n(a_ix~(21))|γ_n∈N∪{0},a_i∈F},这里有维W=维F(X),且W同构于F(X).性质2 在有限维线性中间中,设V_1,V_2是V的两个真子空间,有结论:维V_1+维V_2=维(V_1+V_2)的充分必要条件是V_1∩V_2={0}.但在无限维线性空间中,却有情形,维V_1+V_2=维V,有V_1∩V_2≠{0}.例2 F[x]的真子空间:V_1=xF[x]={xf(x)|f(x)∈F[x]},{sum from i=0 (a_ix~(21))|γ_n∈N∪{0},a_i∈F}于是维V_1十维V_2=维F[x],但V_1∩V_2≠{0}下面着重说明一下,有限维线性空间有:性质3 设V是n维线性空间.A是V中任一线性变换,则下列命题等价:(1)A是可逆变换;(2)若Aα=Aβ,则α=β;(3)A~(-1)(0)={0},即A的核由一个零向量组成;     

关于《高等代数》教材中一个习题的注记

一、问题的提出由张禾瑞、郝炳新先生编写的《高等代数》高等教育出版社,1983年9月第3版,1984年3月第1次印刷)教材,以严谨、系统、规范而著称,是国内使用较广、影响较大的一本教材,该书第328页习题4是这样一道证明题:设σ是欧氏空间V到自身的一个满射,且对于任意ξ∈V,都有|σ(ξ)|=|ξ|.证明:σ是V的一个线性变换,因而是一个正交变换.本文指出上述命题是个假命题.下面给出一个反例,证明该命题不真.     

对称变换和反对称变换的统一定义以及若干性质

对称变换是欧氏空间理论中一类重要的线性变换,在[1]中是用内积关系来定义的。同时在[1]中习题部分也用内积关系来定义了反对称变换。这两种变换的定义形式是相似的,因此本文给出这两种变换的统一定义,并且得到这一定义的等价命题以及若干性质。 为了本文的叙述方便,约定V表示n维欧氏空间。 定义 设σ是V的一个线性变换,若存在λ=±1,使得任意ξ,η∈V,都有     

矩阵的一种分解方法

设矩阵A=(aij)m×n,B=(bxi)×4,如所周知、当n=p时,AB有意义Ⅱ AB=(sum from n=1 to aitbti)max特别是A,B分别是m×1,n×1矩阵时,有容易证明如下 结论1:m×n矩阵A的秩为1的充分必要条件是存在m×1及n×1且矩阵B≠0,C≠O, 使得A=BC~T(此处“T”表转置、以下同) 证:由r(A)=1,故A≠0,即A的行向量组不能都是零向量,不妨设A的第i个行向量α≠0,于是,A的任一行向量αj可同αi线性表出,即αj=kjαi(j=1,…m)令     

线性代数教学新思路的逻辑依据

针对线性代数(非数学专业)内容抽象、头绪较多的问题，在教学中改变了把行列式、矩阵、线性方程组与向量、向量空间、向量的线性变换分割成两大块的传统做法，抓住线性空间和变换这一核心内容，提前引入向量的概念和计算，并且把向量、向量空间、向量的线性变换作为贯穿于分析和解决行列式、矩阵、线性方程组、二次型等具体问题全过程的一务主线，逐步展开。这一改变使得较具体问题一开始就有抓住实质的分析思路，又使得较抽象概念得以结合不同的、较能把握的实际背景，逐步展开和反复领会，从而收到事半功倍、深入浅出的教学效果。     

最小项二乘法中的一个问题

在北京大学编的高等代数教材里(第365-367页),讨论最小二乘法时,指出无解的线性方程组AX=B(1),利用“向量到子空间各向量间的距离,以垂线再短”的性质,可以找到最小二乘法解,此解必须满足法式方程,A’AX=A’B(2),且可以知道(2)的任一解,都是(1)的最小二乘解.但是教材中没有指明或证明,“向量到子空间各向量间的距离,以垂线最短”的垂线是存在唯一的.     

模糊线性变换的模糊特征向量

文[l]给出了模糊线性变换的模糊特征向量的定义，在此基础上，本文讨论了模糊特征向量的性质，并给出了某些特殊的模糊线性变换的模糊待征向量的结构。     

关于欧氏平面中光滑向量场的奇点的注记

所谓向量场的奇点,是使这个向量场中的向量成为零向量的点。 欧氏平面中光滑向量场的奇点有如下一个命题。 设C:[0,1]→E~2为一条简单光滑闭曲线,围成单连通区域A,V是E~2中一光滑向量场。若V处处与不相切,则V在A中必有奇点。     

C~#—代数的谱理论

我们将在有单位元的C—代数中讨论谱理论。为此,对于没有单位元的C—代数,我们必需给予以下引理: 引理:设μ是无单位元的C—代数,≡{(α,A)|α∈D,A∈μ}。其运算规定如下:(α,A)(β,B)=(α+β,A+B),(α,A)(β,B)=(αβ,αB+βA+AB)。对合规定为(α,A)=(A),再定义‖(α,A)‖=Sup{‖αB+AB‖|B∈μ,‖B‖=1}为的一个范教,那末关于这个范教是一个C—代数。可视代数μ为的由偶(O,A)组成的C—子代数。     

关于线性变换的根子空间

本文系统论述了属于线性变换特征概念范围的根子空间的基本问题，主要的有两点：（１）根向量所属于的特征值的唯一性；（２）根子空间与特征子空间的结构关系，作为论述这两个问题的预备定理，文中还证明了根向量或根子空间的其它两个重要性质。