关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

稳态的概率数据库探讨

现实世界中存在着大量不确定性信息,传统关系数据库都视他们为空值。基于扩展传统关系数据库模型处理概率数据方面的不确定性,可建立一种处理概率关系数据库查询方法——稳态处理方法。该方法通过在关系模式中,为每条记录指定适当的概率,表示不确定性信息,同时依据事物之间的联系,确立事件的条件关系概率,其中最大条件关系概率值即为所查询事件的稳态。该方法对于处理大量不确定性信息,预测其最大可能性,具有重要意义。     

一阶线性微分方程的推广

众所周知，一阶线性微分方程的通解为本文将（1）加以推广，并得到其通解公式．定理一阶型微分方程若满足条件则（3）的通解为由一阶线性微分方程的熟知结果，则得所求通解：8＼y／d特别地，当取y（y）＝l，a＝l时／y）＝y，这时（3）即（l），故（3）是（l）的推广．此时，（5）JL．．IP（x）山／In八＿IP（x）dsJ．．＿＼刀y＝eJ””～”一iD叭xJ刽“””一则＊cJ即（2）．定理证毕．例1求方程y’＋Zx＝xe－’的通解．。，。，。，。t，。。。，＊。，。。。lA：n。。。、。。。。。，解g（g）＝e－’，入g）＝l，a二l适合条件人g）…     

集对分析中的系统数及其确定不确定性方程组

由笔者在1989年提出的集对分析（SPA）已在多个领域得到应用．而联系数a＋bi＋cj是集对分析的基石．从系统的角度看，一个具体的联系数之确定事实上与论域N的大小，不确定数i与对立度系数j的定义，联系数所在的系统S，系统S所在的环境E，以及所论问题W的性质与要求，确定联系数的方法M有关．为此，引进以下方程组：来全面地说明一个具体的联系数．并定义，由（1）～（3）式组成的方程组为确定不确定性方程组．可以简称为不确定性方程组，（2）式与（3）式称为联系数a＋bi＋cj的系统约束方程，相应地称由（2）式与（3）式约束下的联系数a＋bi＋cj为“系统数”．实际应用时，可以根据需要和可能给出（3）式中各参量的具体数值．如在不考虑（3）式中其它参量取值的情况下，令j＝－１，i∈[－1，1]且不确定取值，可得普通意义下的联系数；如果令j＝i在实单位数1与虚单位之间不确定取值时，可得虚实型联系数等等,从学科交叉的角度看，系统数与它的不确定性方程组从新的角度揭示了数（学）与系统（科学）之间的内在联系．具有重要意义．     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

关于e的一个不等式

加拿大数学家G·Klambauer教授在文献［1］第三章中给出了下述问题：问题54数e＝是包含在区间内的，试问：数e是包含在此区间长的四分之一区间内吗？上述问题的解答是肯定的．［1］中，G·Klambauer证明了：在本文中，我们将证明下述结果：定理上述结果不仅将（1）推广到了函数情形，并且将区间的长度改进了六分之一．为了证明（2），我们需要文［2］中的一个结果．命题11（［2］）函数f（）＝（l十上）。（l十平）（x＞0）单调下降，当且仅当p。合；存在＜。＞O使人。）＝（1十上产（1＋E）（＜＞＜。）单调上升，当且仅当。＜7．’”—…     

脉冲中立型微分方程的振动性

本文讨论一阶脉冲中立型方程这里τ，σ，p均为常数，τ＞0，σ＞0，Q（t）∈C（［0，∞），R＋），bk＞－1（k＝1，2，…），得出了方程（E）所有解振动的充分条件，改进了文[3]的结果。     

和式(n_∑~k=1)(-1)~κcos~ικβ及(n_∑~k=1)(-1)~κκsin~ικβ计算

引理1，设L＞1整数，当L=2m，则证明由三角函数指数定义（A1）式成立，同法可证（A2），（A3），（A4）式成立.引理2，n＞1整数，为整数，则（l）一（2）式得：当。羊1时，a一2。n。，也就是p一（2。＋1）。利用复数相等条件，实部、虚部分别相等．命题1，设L＞l整数，若L—2；n，则成立，当L—2。n＋l时，则成立，当L—Zll；时，则成立，当L二Zn；＋l，则这里。、刀在本文中分别表示隔数和奇数，约束条件的意义是：如来满足约束条件的，存在，那么第，项按规定算式计算，如果第，项不满足约束条件，那么第，项的值为O，以下公式均含…     

应用几何级数解概率问题

本文叙述一个关于几何级数的定理,并应用其结果解决一类特殊的概率问题。该定理为:设:a_1+a_2+a_3+…是以公比为r的几何级数,|r|<1。n和k_1,k_2,k_3,…,k_n都是正整数,则特殊的概率问题是指每一次试验都是等可能事件,并且这种试验是可以继续地做下去,直到某一结果出现才终止。然后构造所要求的概率问题。因而,几何级数与概率问题联系起来了。     

利用点的变换解决常见图象变换问题

在中学数学中，有函数图象的平移变换与伸缩变换问题，方程的曲线的对称变换问题。这几类问题的解决，都可以用一种共同的思想方法──图象中的对应点的变换。1平移变换例1把直线l向在平移1个单位，再向上平移2个单位，所得直线l’与l重合。求直线l的斜率。分析：直线l：y＝kx＋b平移变换后所得直线产，可理解为直线l上的一点（x0，y0），平移变换后得到直线l’上的一个对应点（x，y），这里x，y的关系式即为直线l’的方程。把点（x0，y0）向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得点为（xo－1，y0＋2），因此x＝x0－1，y＝y0＋2，即x0＝x…     

关于“概念”的两种新定义的考察

我国现行普通逻辑教材大都把“概念”定义为“反映事物的特有属性（或本质属性）的思维形式”；或者定义为“通过反映事物的特有属性（或本质属性）来反映对象的思维形式”。对于这种“反映——属性”论的定义，有文对此提出疑义，认为不能解决虚概念和抽像概念的问题，理由是“反映一一属性”论说概念是反映事物的本质属性，实际上就是预设了一切概念都有其被反映者，而且必须是人脑之外的客观存在物。就是说，这个定义只承认在客观世界中有对应物的思想单位是概念，否则就不予承认。这样一来，“神仙”、“理想溶液”之类的虚概念，在客观…     

电视镜头组接特征简述

电视录象是一种新型的活动形象再现手段，在电视创作中，它吸取了各种艺术门类的丰富营养和特长，是一门综合性艺术。它从戏剧中，吸取了结构、情节；它从小说中吸取了叙述、描绘和人物刻画；它从绘画和摄影中吸取了光影、色彩、构图；它从音乐中吸取了节奏、旋律；它从电影中吸取了拍摄技巧和镜头的组接方法。因此说，电视创作是各门艺术的汇革和提升。电视创作的突出特点是：（l）把各种活生生的事物再现出来，其逼真程度是其他艺术手段无法比拟的；（2）录象中的人物、事物均在运动中，所用的镜头也在运动，显得富有生气和活力；（3）具…     

关于丢番图方程(x~p-y~p)/x-y=z~2

设N、P分别是全体正整数和奇素数的集合．本文运用初等数论方法部分地解决了有关万程（xp-yp）／（x-y）＝z2，x，y，z∈N，X＞y＋1，ged（x，y）＝1，p∈P，P＞3（＊）的Ljunggren问题，即证明了：方程（＊）仅有解（x，y，z，p）＝（3，1，11，5）可使x是奇素数的方幂     

因果关系在相关关系上的表现：一个基于其含义的分析

探讨充分条件和必要条件是分析因果关系含义的一个主要角度，从这一角度可以区分出不同的因果关系，并获得相应的充分且必要条件的逻辑表达式。相关关系的含义有许多种，但都可以用概率值Ｓ＝Ｐ（ＸＹ）Ｐ（ＸＹ）－Ｐ（ＸＹ）Ｐ（ＸＹ）（即共现的概率之积和不共现的概率之积的差值）来做为其指标。由此可以把不同的因果关系下的相关关系用原因出现的概率表示出来，从而获得一个分析因果关系与相关关系的关系的框架．从中可以看到相关关系可能与因果关系相对应，也可能不对应；并且可以看到这种对应和不对应的条件及原因。同时，这个分析框架还可以用于进一步去寻求由统计资料来推断因果关系的手段．     

浅谈一元三次方程有等根的条件

许多学生都知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有等根的条件是：b2－4ac＝0而对于一元三次方程y3＋ay2＋by＋c＝0在什么条件下有等根往往束手无策，本文介绍几种不同的解法。首先，我们知道解一元三次方程的问题容易归结为解不含未知数的平方项的一元三次方程的问题，为此只须令，事实上，将此式代入方程（1）并去掉括号，合并同类项即得式中“…”表示X的一次及零次各项，由此可见食X2的项是相互抵消了。因此求一元三次方程有等银的条件问题转化为求一元三次方程有等根的条件问题。解法一：若p—0只有q＝0，方程X’＋pX＋（l＝0有三个相等报X…     

企业损益转折分析的数学方法

利用数学方法对企业损益转折进行经济分析。文中方法有助于企业在生产计划中确定最适宜的产量；分析收入与支出等有关因素，控制经营方向，从而作出经营方案决策，使企业获得较好的经济效益。l收益函数、成本函数和损益转折产量企业的销售收入n是产量Q与产品单价P的二元函数，n＝f（Q，P），若单价稳定，视为常数，则可表示为Q的一元函数n＝fi（Q）＝PQ，称为收益函数。企业的生产成本C，也可视为产量Q的函数即C＝f2（Q）＝C1＋C2＝C1＋VQ，其中C2为固定成本，C2为可变成本，为单位产品可变成本。以m表企业盈利，则销售收入函数与生…     

关于分圆域Q(ζ_p)类数的第一因子的行列式表示

设p是奇素数，是分圆域K＝Q（ζp）类数的第一因子。本文运用代数方法证明了：可表成p／2p-2γp与一个元素均为±1的（p-1）／2阶行列式的乘积，上述公式Carlitz和Olson的经典结果。     

关于二元函数极限存在性的一点注记

二元函数的极限远比一元函数的极限复杂，但它们之间又有密切的联系。本文的主要结论是：若二元由数W＝F（x，y）是在P0（x0，v0）附近有定义的函数（p0可能例外），则W＝F（x，y）在P0（x0，y0）处极限存在的充要条件是存在常数A，对任意满足y0＝f（x0）的在x0左侧（或右侧）附近连续且在x0左侧（或右侧）附近（x0可能例外）可导的函数y＝f（x），恒有     

小概率原理及其应用

1小概率事件概率论是研究随机现象统计规律性的学科。概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标。事件A的概率以P（A）表示,并且规定0＜P（A）＜1。对于概率值很接近1的事件,其对立事件的概率也就很接近于0。在概率论中,我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。那么多大的概率值算小概率呢？这在不同的实际问题中可以有不同的标准。一般多采用0．01,0.05两个值,即事件发生的概率在0．01以下或0.05以下的事件称为小概率事件,这两个值称为小概率标准。2小概率原理与推断方法小概率原理…