解析函数唯一性定理的一个应用

<正> 在讨论解析函数时,需要把一个用实变量 x,y 表示的复函数化为用单复变量 z 表示的复函数。例如已知函数U(x,y)+iV(x,y)=e~xcosy+X~3-3xy~2+i(e~xsiny+3x~2y-y~3)因为 U_x=e~xcosy+3x~2-3y~2=V_yU=-e~xsiny-6xy=-V_x在 Z 平面上,C-R 条件处处满足。所以所给函数在 Z 平面上解析。现在把它化为变量 Z 的函数。e~xcosy+X~3-3xy~2+i(e~xsiny+3x~2y-y~3)=e~x(Cosy+isiny)+(X~3+3x~2yi-3xy~2-y~3i)=e~x·e~(iy)+(x+iy)~3=e~z+Z~3在化简此类式子时,究竟那几项结合才能顺利地进行下去,这是不易一眼看出的。     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

平均数代换法的某些应用

平均数代换法的应用很广泛,下面仅就证明不等式和求极值等问题,谈谈它的应用。一若x y=A (A为常数),x~n y~n=B。作平均数代换x=A/2 α,y=A/2-α,能够得列仅含α的偶次幂项的等式 f(α)=C_n~1(A/2)α~(n-1) C_n~(n-3)(A/2)~3α~(n-3) … C_n~2(A/2)~(n-2)α~2 =B/2-(A/2)~n(n为奇数)。 (1)     

求自然数方幂和的一个简单公式

求自然数方幂和有许多方法本文给出求自然数方幂和的又一公式,应用这个公式可以比较简单地求出自然数的任意次方幂的和。此公式具有简洁易记的好用的优点。 1 xe~x/(e~x-1)的展开式令f(x)=xe~x/(e~x-1),f(x)在x=0时为0/0的不定式,但有:所以我们定义f(0)=1,故f(x)可在x=0附近展开,由数学分析,我们有下面的展开式 xe~x/(e~x-1)=B_0+B_1x+B_2x~2/1·2+B_3x~3/1·2·3+……(1)其中B_0,B_1,B_2,B_3,……为待定系数。由级数相乘的理论,用下面级数 e~x-1=x+x~2/1·2+x~3/1·2·3+……(2)乘(1)的两边,左边的乘积等于     

SL(2,R)上的控制定理及其应用

本文得到了以下控制定理:令 (g)∈L1(G//K), ,ε>0,若 (g)的最小径向函数(Φ)(t)= | (y)|∈L1(G//K),sht(Φ)(t)在(0,∞)上单调递减,则对任何f∈LOC1(G//K),不等式 | ε*f(x)|≤Cmf(x)成立.其中mf(x)是函数f(x)的Hardy-Littlewood极大函数,C=||(Φ)||1.最后,给出了控制定理的一个应用. --原文发表于《东北数学》,2003,19(1):33-38     

关于 Laplace(常)微分方程中的一个基本公式及其应用

引言给定方程y″ (a_0 a_1/x)y′ (b_0 b_1/x)y=0或xy″ (a_0x a_1)y′ (b_0x b_1)y=0 (1)若 a_1=b_1=0 则(1)变为常系数二阶线性方程,故可用欧拉方法解之。若 a_1,b_1,不皆为零,则欧拉方法不适用,而需用拉普拉斯变换。所谓拉普拉斯变换,就是这样的一个积分:y(x)=(?)e~(xz)U(z)dz (2)其中 U(z)是待定的复变函数,L 是在 z 平面上与 x 无关的待定路线。我们的目的,在于适当的规定 U(z)和 L,使得 y(x)为(1)的一个不恒等于零的解。为此,我们先作一些形式的处理。     

关于(x~p+y~p)/(x+y)的素因子的一个命题及两点应用

Ⅰ 设P是奇素数,x、y是整数,本文讨论整数(x~p+y~p)/x+y的素因子问题,关于这个问题有下面结果: 命题Ⅰ:设P是奇素数,x、y是互素的整数(x+y≠0),那么对于(x~p+y~p)/x+y的任一素因子q有: i) q≥P ii)若q≠p,则p|q-×,即存在正数h,使q=2hp+1。 为了证明命题Ⅰ,先证明下面的引理: 引理:设k、m是互素的正奇数,x、y、d是整数,若d|x~k+y~k,d|x~m+y~m,则d|x+y。 证:为了方便,不妨设(x,y)=1、((x, y)≠1结论同样成立。) 此时有(x,d)=1 (y,d)=1     

无穷级整函数的一个缺项定理

本文主要证明了无穷级的缺项整函数 f(z)=sum from n=1 to ∞ a_(λ_n)z~(λ_n),当其残存指数序列{λ_n}满足条件λ_n>n(ln)~(1-t) (ε>0)时,对于任意连续路线Γ均有 lim |z|=r→∞ z∈Γ ln|f(z)|/lnM(r,f)=1除去r的一个对数测度为有限的集合外。     

调和多演函数及其映射

在复变函数论里,我们所讨论的函数,主要是(单值)解析函数:f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)。这种函数在其定义域里任意一点z的导数:     

平均单叶函数相邻两系数模之差

将胡克所得的关于单叶函数相邻系数模之差的定理B推广到了平均单叶函数族M_5,得到结论:f(z)=z+sum from n=2 to ∞a_nz~n∈Ms,则||a_n|-|a_n+1||≤2~(3/2)e~(1-c/2)(n=2,3,…),其中.为尤拉常数.     

一个不等式的推广

文献〔1〕,中学数学问题栏中第1题:设x,y,z都是正数,求证:x/(y z)~(1/2) y/(z x)~(1/2) z/(x y)~(1/2)≥(3/2)~(1/2)(x y z)     

多元复合函数求导教学浅谈

多元复合函数求导是多元函数微分学的教学重点之一,又是教学的一个难点,本文就这部分内容的教学谈点粗浅体会。 利用图形、记忆法则 多元复合函数求导法则: 若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)有偏导数,函数z=f(x,y)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)有对x及y的偏导数,且计算公式:     

线性微分方程组的辅助函数解法

设有方程组 (we)厂会十PY十Qz=X飞会一‘+Q’‘“X‘(1)其中P、P;、Q、Q,、X、X,都是x的连续函数。 为了解方程组(1),我们用未知函数e二0(x)乘第二个方程,然后将两个方程相加,得到奥十。奥、(P+P,。)Y十(Q十Q:。)Z=x十xl。UX OX(2·)引入辅助未知函数y+02==t(3)并消去方程(:)中的y和李,注意到y=:一。:,奥十。李二一奥一z史 U工U盖U蕊U蕊U盖我们得到dt do.,n .n。、,。_、.,。.八八、,,。〕于一z万es丁一+灭r十rlU)气t一U‘)+气议+议zU少Z=人+AIUUX UX(4)为了消去z,我们令z的系数等于。,于是有器+(p+P:。)卜Q一Q:。二。器+(…     

欧几里得空间中有关不等式的证明

我们用En表示n维欧几里得空间,且 integral from n=En(f(x)dx)=integral from n=En(f(x_1,x_2,…,x_n)dx_idx_2…dx_n 性质1 对于E_2中任何连续可微的函数u(x_1,x_2),其支集包含在某球:|x-x_0|相似文献   

数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

浅谈二次曲面的弦的中点轨迹的几个问题

本文将文[1]的结果推广到三维空间,并初探一下求切点平面的方程和弦为定定长的中点方程的两个问题。一、关于过定点二次曲面弦的中点轨迹命题1:过定点P_0(x_0y_0z_0)的直线束与二次曲面F(x,y,z)=0相截得的二次曲面弦的中点p(x,y,z)坐标满足方程:     

关于映象面积为有界的解析函数的几个问题(Ⅱ)

本文是文[1]的继续,在本文中,我们首先改进了文[1]中的定理4,并证明了本文中,关于平均模的定理1与定理2。在文[2]中有如下关于|z|o,那么W=f(z)的反函数在圆域|W|≤(aR)~z/6M内有单值解析的分支z=g(w),满足g(o)=o。本文将对S_m类函数进行研究,得到相应的两个定理。     

耦合非线性Schr?dinger方程初边值问题整体解的适定性（英文）

考虑如下耦合非线性Schr?dinger方程的初边值问题:{iu_t+pΔu=(a_(11)|u|~2+a_(12)|v|~2)u,(t,x)∈[0,∞)×Ωiv_t+qΔv=(a_(21)|u|~2+a_(22)|v|~2)v,(t,x)∈[0,∞)×Ωu(t,x)=0,v(t,x)=0,(t,x)∈[0,∞)×Γu(0,x)=u_0(x),v(0,x)=v_0(x),x∈Ω( S)其中Ω是R~2中具有紧光滑边界Γ的区域。当p 0且q 0时,假定(pa_(11)pa_(12)qa_(21)qa_(22))半正定,或者(pa_(11)pa_(12)qa_(21)qa_(22))负定且(u_0,v_0)适当小,证明了初边值问题(S)解的整体适定性。     

多元函数的极值问题

本文介绍最简单情形下的多元函数求极值的方法。 (一)无条件极值问题 所谓多元函数的无条件极值问题,是对多元函数z=f(x_1,x_2,…x_n)在其定义域上求其极值。     

指数条件下二维分布的逆失效率

B.C.Arnold分别研究了如下两个模型:P{X>x|Y=y}=exp{-x(βγδy+β)},βγδ>0,x>0;(1)P{X>x|Y=y}=exp{-u(y)x}(2)指出在不同条件下模型(1)和(2)的条件生存函数均是指数分布,但失效率及其相关性质却是不同.而上述模型的逆失效率及其相关性质,其可靠性却有相似之处.