不一致的达成

如果1和2两个人都知道E事件，1知道2知道E事件，2知道1知道E事件，1知道2知道1知道E事件，以此类推，那么我们就称1和2对于E事件具有公共知识（common knowledge）。定理：如果两个人有相同的验前知识（prior），并且他们对于一个事件A的验后知识（posterior）是公共知识，那么，这些验后知识相等。     

也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

多项式系数的几条性质

本文利用整数的带余除法定理,推出了多项和的乘方展开式的最大系数的计算公 式,及其重要性质。     

和式(n_∑~k=1)(-1)~κcos~ικβ及(n_∑~k=1)(-1)~κκsin~ικβ计算

引理1，设L＞1整数，当L=2m，则证明由三角函数指数定义（A1）式成立，同法可证（A2），（A3），（A4）式成立.引理2，n＞1整数，为整数，则（l）一（2）式得：当。羊1时，a一2。n。，也就是p一（2。＋1）。利用复数相等条件，实部、虚部分别相等．命题1，设L＞l整数，若L—2；n，则成立，当L—2。n＋l时，则成立，当L—Zll；时，则成立，当L二Zn；＋l，则这里。、刀在本文中分别表示隔数和奇数，约束条件的意义是：如来满足约束条件的，存在，那么第，项按规定算式计算，如果第，项不满足约束条件，那么第，项的值为O，以下公式均含…     

一道竞赛题与三个不等式

有这么一道题，证明：19881989＞19891。要证明这道题，若是直接去证，比较困难。因而我们先给出一个一般形式的命题：（并令此命题为命题Ⅰ）命题1：Kk－1＜（k－1）k对K≥4的自然数成立。我们先证明一个引理：在（【＋1）”一Cu‘一卜CH卜’＋…＋Cr‘且十c：这个二项展开式中，每一项的大小是依次递减的。即是每前面一项均大于后面的一项。事实上，我们可以通过讨论通项比值来证明它。而（m十五）k＞k—m是很显然的。．”．通项比值CTk’－”沁Z”’k‘－”－’大于1故上二项展开式中各项大小从前到后依次递减。现在我们来证明命题I…     

关于用待定系数法求数列前n项和的研究

通项为n的k次多项式的数列是一种非常特殊的数列,本文运用组合恒等式、数学归纳法等初等数学的方法,通过"归纳—猜想—论证",提出用待定系数法解决此类数列求和问题,并结合二项式定理和数列间的递推关系导出了求待定系数的一般方法,旨在更好地解决数列求和问题。     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

例谈和圆有关比例线段的证明

我们知道，成比例线段的基础知识有如下几项：（１）平行线分线段成比例定理；（２）三角形的内外角平分线定理；（３）相似三角形的性质定理和判定定理；（４）直角三角形中成比例的线段定理（射影定理）；（５）圆幂定理（相交弦定理、切割线定理、割线定理）． 这些知识把多边形和圆紧密串连在一起，是平面几何中的重要组成部分，尽管基础知识有五项之多，但最核心的是相似三角形，因为其他知识都可由它推导出来．因此，本文着重对相似三角形的性质定理和判定定理进行探讨． 和圆有关比例线段证题的一般方法，归纳起来，有如下几种： １…     

关于整系数多项式有理根的求法

[1]中有定理：“若既约分数是整系数多项式的一个根，则本文根据这一定理和综合除法，以及如下定理，得到了一个求整系数多项式有理根的方法．定理设既约分数，多项式除整系数多项式所得的商式为余式为常数c，多项式手除多项式所得的商式为q（x），则（i）为f（x）的一个根的充要条件为p（x）的各系数都能被s整除，并且c=0；（ii）为f（x）的一个根的充要条件是为g（x）的一个根；（iii）当为f（x）的一个根时，证（i）充分性是很明显的．下面证必要性．因卡是多项式f（x）的一个根，故由文[1]得，存在整系数多项式使这时，的各系数均能被s…     

平方数的位数和函数的渐近分布

设正整数n的二进制展开式为n=∑εi2^i,这里εi=0或1,i≥0,定义二进制位数和函数为s（n）=∑εi.证明了假设n^2的二进制展开式中每个位置上0和1出现的概率相等,则s（n^2）在模2和模3的剩余类里的浙近分布是均匀的．     

不一致的达成

如果1和2两个人都知道E事件,1知道2知道E事件,2知道1知道E事件,1知道2知道1知道E事件,以此类推,那么我们就称1和2对于E事件具有公共知识(common knowledge)。定理:如果两个人有相同的验前知识(prior),并且他们对于一个事件A的验后知识(posterior)是公共知识,那么,这些验后知识相等。     

矩阵方程AX=B的解法

1引言设称AX=B……（I）为矩阵线性方程组，其中A为系数阵，X为变量阵，B为常量降。本文在解线性方程组理论的基础上，给出矩阵线性方程组AX—B之解法。2定理及其证明定理1矩阵线性方程组AX—B有解的充分必要条件是rank（A，B）一rank（A）。证：令x1，x2，…x。为X的列向量，其中XP=而B的列向量为因为AX—B所以即有这实际上就是常见的线性方程组，根据线性方程组理论可知，有解的充分必要条件是，从而rA）。证毕定理2设矩阵线性方程组AX—B……（！）中rank（A）一r。将矩阵【A，B」进行一系列初等行变换而得到矩阵1＿二卜其中…     

关于调和点列的若干证明

调和点列的证明在几何中颇为多见。本文提出了调和点列及其性质和判定。讨论了调和点列的若干判定方法。1、定义、定理先给出一个定义及几个定理。定义。若线段AB被点C内分成的两条线段之比等于点D外分AB所成的两条线段之比，则称共线点A、B、C、D为调和点列。由定义知，也即。可见，B内分（或外分）CD所成的两条线段之比也等于A外分（或内分）CD所成的两条线段之比。性质定理1：如果四点A、B、C、D是调和点列，且点O是AB中点，则证明：如图考虑到上面的证明每步可逆，于是有下面的结论。判定定理l：共线五点A、B、C、D、（），…     

高斯—马尔可夫定理研究新进展

高斯—马尔可夫定理被计量经济学家Hansen推广为“现代”高斯—马尔可夫定理，该定理在不增加任何额外条件的情况下去掉了高斯—马尔可夫定理对估计量的“线性”限制，认为所有线性或非线性估计中，最小二乘估计量是最优无偏估计量。针对Hansen的“现代”高斯—马尔可夫定理创新性提出了三点商榷和两个值得进一步探讨的问题。认为以下两个问题存在进一步探讨的必要性：（1）是否存在非线性无偏估计量的集合；（2）高斯—马尔可夫定理对估计量的“线性”限制是否可以放弃。     

等幂和问题的一个猜想

关于自然数连续n项k次幂的求和问题,陈景润和黎鉴愚在文献[1—4]中作了比较详尽的介绍。笔者在文献[5]中用积分方法求出了幂指数从1到21时的等幂和公式,但文中的(6)式是不妥的。本文用一个猜想替代(6)式,求出幂指数从1到30时的等幂和公式。并有下面的定理。 定理 设n和k都是正整数,则     

一类无理函数极值的一种求法

<正>众所周知:两个正变量,若其和为定值,则当且仅当这两个正变量的值相等时,其积最大。这个结论在求函数的极值时占有重要的位置,有着广泛的应用。由此可以联想,如果有两个正变量的平方和为定值时,那么这两个正变量之和的极大值有什么结论,能否推广到n个正变量呢?笔者通过研究,得到一个很好的结果,即本文的定理。     

关于二次方程的根

我们知道一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ＝ ０（ａ ／ ０）的根的判别式为△＝ ｂ２－ ４ａｃ,则 １）当△＞０时,方程有两个不相等的实根; ２）当△＝０时,方程有两个相等的实根; ３）当△＜０时,方程无实根。 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０）的两根为 ｘ１、ｘ２,则 ,这种根与系数的关系,我们又称韦达定理． 对于一元二次方程来说,根的判别式、根与系数关系是比较重要的基础知识,教科书和有关专业期刊都有涉及,本文主要从以下两个方面对二次方程的根进行更深入的讨论．１根的虚实正负 例 １ｍ取何实数值时,方程 ｘ２…     

关于任意K（K≥4）个连续Fibonacci数的两个定理

文[1]给出了1991年美国Mr．A．DiDomenico教授证得的几个公式：并给出公式（2）推广到任意K（K≥5）个连续Fibonacci数的一个猜想．文[2]对公式（1）进行了推广，但仍局限于六个连续Fibonacci数前后四个数之间的关系．本文对公式（1）进行推广，给出K个连续Fibonacci数的两个定理．至于Fibonacci数列的定义由[1]中给出，此处从略．先给出比较（4）、（5）两矩阵左上角的元素，有），这是一个递推式，将其递推（n预备定理证完．现在给出（m∈N）证先证（6）由预备定理[4]中有，所以（6）得证．再证（7）仍由预备定理[4]中还有，故周得证…     

一类多项式系统极限环唯一性定理

得出两个多项式系统（Ａ）与（Ｂ）的极限环的唯一性定理，以及在二次系统和若干重要实例中的应用。     

矢量代数在初等数学中的应用举例

在初等数学中,有的公式的推导过程较长较繁;有的初等数学问题,如果用初等数学的方法求解,难度较大;如果应用矢量代数的方法来处理,那么论证方法和求解过程显得较简捷。这是矢量代数的优越之处。下面举出一些例子介绍矢量代数在证明三角公式,解决几何问题中的一些应用。