双重向量积公式的一种证法

三向量a,b,c的双重向量积的证明方法很多,这里介绍一种比较直观的证法。为了证明 a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c (1) 只需证明 a~0×(b~0×c~0)=(a~0·c~0)b~0-(a~0·b~0)·c~0 (2) 其中a~0,b~0,c~0为单位向量。因为若(2)成立,则在它的两边同时乘以|a|,|b|,|c|,立即得到(1)。 设三向量a,b,c都不是零向量,且b,c不共线以及a不与b,c垂直。将三向量的起点置于同一点o,b=OB和c=OC所在的平面为π,     

一个几何不等式的推广及加强

1954年S·Bcathy证明了 （K-H）（3K-5H）≤12S~2≤（K-H）~2 (1)式中S表示以a,b,c三边为边长的三角形的面积.H=（1/2）（a~2+b~2+c~2）,k=ab+bc+ca 1988年,陈计将①式左边不等式推广为P≥1或P≤0时有 S~(2P)≥2~（2-4P）.3~（P-2）·（K_P—H_P）（3K_P—5H_P） (2)     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

2~(1/2)无理性的又一证明

2~(1/2)无理性的证明已有多种,其中不乏简单明了的,现在再给出一种简易的证明。 证明:(应用反证法) 假定2~(1/2)=a/b,其中a,b为互质的正整数。由此得a~2=2b~2 由于b~2只能以0,1,4,5,6或9为末位数字,因而2b~2只能以0,2或8为末位数字。     

常量代换在解题中的应用

一.用模式“M/M”代换“|”例1.已知a+b+c=0,求证: a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3=0证明:a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)+3 =a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)     

"1/a+1/b=1/c"型问题的证法初探

教学中经常会遇到证明形如“1/a+1/b=1/c”的类型的题目。1 等价变换,对结论进行逆向思考 对形如“1/a+1/b=1/c”的命题的证明,常规的处理方法,是把结论做等价变换,如把结论变形为“c/a+c/b=1”的形式,再利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质来解决。     

对一道求极值题的解探

<正> 问题:求y=(4a~2+x~2)~(1/2)+(c~2+(b-x)~2)~(1/2)的极小值,其中a、b、c∈R~+ 对于此类问题很多人感到力不从心,且也没作过专门的研究。本人拟一抽文,对此题给出几种不同的解法,有幸请教于同行们。 解法一:平面几何法     

圆幂定理及其应用

九年义务制初中几何教材中有相交弦定理、割线定理和切割线定理 ,这三条与圆有关的比例线段定理 ,我们通常称为圆幂定理 .圆幂定理 ,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理 .两条相交直线与圆的位置关系 ,可用下图 1-4表示 .交点在圆内 :相交弦定理 ;交点在圆外 :双割线定理、切割线定理、切线长定理 .圆幂定理 ,是反映两条直线与圆有关的比例线段定理 ,它不仅在证明比例式中有着重要的应用 ,而且在其它几何证明题中也经常应用到 .1　证比例线段例 1　如图 5 ,ＡＦ为⊙Ｏ的直径 ,ＡＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ ,垂足为Ｅ .…     

二次函数图象与X轴交点位置的判定

定理1:若二次函数y=ax~2+bx+c[a≠0]图象与x轴的两个交点在坐标原点的同侧,则必有对应的二次方程ax~2+bx+c=0[a≠0]的{△>0 (x_1x_1)>0}(x_1,x_2 为方程ax~2+bx+c=0[a≠0]的两根)。反之亦然。 证明:∵ 二次函数的y=ax~2+bx+c[a≠0]的图象与x轴有两个交点 ∴ ax~2+bx+c=0有两个不等的实根     

曲线的渐近线的几种求法

在平面解析几何里,介绍了所给双曲线是标准方程x~2/a~2-y~2/b~2=1时,它的渐近线的求法(此时它有两条渐近线,其方程为y=±(b/a)x))。对于双曲线的一般方程,固然可以利用坐     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

关于不等式(a_1~2 a_2~2)(b_1~2 b_2~2)≥(a_1b_1 a_2b_2)~2和((a_1~2 a_2~2)/2)≥((a_1 a_2)/2)~2的推广及应用

1　 (a21 a22 ) (b21 b22 )≥ (a1b1 a2 b2 ) 2和 (a21 a2 22 )≥ (a1 a22 ) 2的证明及应用定理 1　设 ai,bi,∈ R　 i=1,2 .则 (a21 a22 ) (b21 b22 )≥ (a1b1 a2 b2 ) 2 当且仅当 a1b1=a2b2 时等号成立 ,(约定 bi= 0时　 ai=0 )证明　取辅助函数 f(x) =(∑2i =1a2i)     

特征不为零的域的一些特征

特征为素数p的域k的任意元a,b,恒有(a+b)~p=a~p+b~p,本文目的是探讨它的逆命题的特性。 在[1]文中已得结果:设域k的元素个数|k|≥p(素数),且k的任意元a,b,恒有(a+b)~p=a~p+b~p,则k的特征为p。本文推广其结果,即 定理1.设域k的任意元a,b,恒有(a+b)~p=a~p+b~p(p是素数),则或(1)k的特征为p;或(2)k的特征为g(g相似文献   

关于周长三分点的一个几何不等式

1.引言 设P、Q、R分别位于△ABC的边BC、CA、AB上,且将△ABC的周长三等分,即AQ+AR=BR+BP=CP+CQ,QR=p,RP=q,PQ=r,则 p+q+r≥1/2(a+b+c)(1) 不等式(1)早就被人所知道,但它的证明无论是分析的还是几何的,都是十分复杂的。1960年,A·Zirakzadeh给出了一个属于纯粹几何的冗繁证明。1988年,曾振炳给了一个比较简单的证明。到1991年,杨学枝给出的证明则更加简单,令人惊异。而且他认为,(1)式似乎可以推广为:若AQ+AR=μ,BR+BP=λ,CP+CQ=ν,则     

二次函数性质在证明不等式等问题中的应用

<正> 二次函数f(x)=ax~2+bx+c(a>0,x∈R)有如下性质:b~2-4ac≤0(<0)=f(x)≥0(>0)(x∈R) 由于上面性质是一个等价命题,因此有两个不同方向的应用,即由b~2-4ac≤0(<0)推出f(x)≥0(>0)(x∈R)及由f(x)≥0(>0)(x∈R)推出b~2-4ac≤0(<0)。下面     

拉格朗日中值定理的另一种证法

拉格朗日中值定理 设f(X)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 在证明中值定理的过程中,要用到 罗尔定理 设F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(b)=F(a),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=O。(每一种数学分析书都有证明)     

费尔马定理及其应用

Fermat定理及其应用,能开阔解题思路,提高解题能力,特别是对有些问题可以给出更加简捷的解法。 一、费尔马定理 定理1 若p为素数,对于任何整数a,有p|a~p—a或a~p≡a(modp) 由此定理易于推出: 定理2 若p为素数,且(a,p)=1,则p|a~(p-1)—1或a~(p-1)≡1(modp)     

以质数p=4n+1为模的二次同余式的解法

以下设 p 是大于2的质数,a 是 p 的平方剩余,b 是 p 的平方非剩余。现在我们要解x~2≡a(mod p)(A)这个二次同余式,这就是说,要找出一个求解公式。若 p=4n+3,则已知x≡±a~(n+1)(mod p)是(A)式的解。若 p=8m+5,则(A)的解式也不难求出。但时于 p=8m+1,正象在他的书第四章第35节内所说的,一直还“没有现成的公式。”华罗庚先生在他的“数论导引”(科学出版社1957年出版)一书内也曾提到这个问题。当他     

积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的:当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a)),其中ξ∈[a,b]本文将对该结论做一点推广,即当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a),其中g∈(a,b)。     

直径为3的树的Laplace谱排序

主要讨论了对于直径为3的树S(a,b)(a≥b≥1,a+b+2=n,n-12≤a≤n-3)的Laplace谱排序,证明了它的Laplace谱半径μ(S(a,b))随a的值严格单调递增,而它的第2大Laplace特征值随a的值严格单调递减。