丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)

本文运用四次Diophantine方程的性质以及初等方法证明了:丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)至多有2~(w(n))-1个正整数解.当n=p~k时,方程的正整数解为(p,k,x,y)=(5,1,4,30),(29,1,4900,2612610).当n≡2p,p.5,7(mod8)时,方程的正整数解为(p,x,y)=(3,24,420).     

关于三角数与多角数

对于正整数m、n(n≥ 3 ) ,设Sm(n)是第m个n的角数 .该文证明了 :当n >6且n -2是平方数时 ,方程Sx(n) =Sy(3 )无正整数解 (x,y) ;当n >6,2 n且n -2非平方数时 ,该方程有无穷多组正整数解 (x ,y) .     

关于丢番图方程a^x＋b^y=2^z

对给定的正整数 a,b,我们证明了方程 a~x+b~y=2~x 除开3~x+5~y=Z~z 仅有正整数解(x、y,z)=(1,1,3) ,(3,1,6) ,(1. 3,7) 和3~x+13~y=2~z仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,4) ,(5,1,8) 外,最多只有一组正整数解.从而更正了 Vchiyama 获得的3~x+13~z=2~y 的结果。     

关于Diophantine方程(ax4-1)/(ax-1)=yn+1

设a是大于1的正整数.该文给出了方程(ax4-1)/(ax-1)=yn 1的所有适合min(x,y,n)＞1的正整数解(x,y,n).     

关于Diophantine方程x(m_1/n_1)+y(m_2/n_2)=z(m_3/n_3)

1979年,戴宗铎,冯绪宁和于坤瑞用代数数论的方法给出了方程 x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) (1)(其中n>1)的全部正整数解。1981年,Newman利用一个整函数的可约性,求出了方程     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

关于Diophantine方程x3-8=3py2

设p是奇素数.该文证明了:如果p=12s2 1,其中s是奇数,则方程x3-8=3py2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

包含完全数的非线性Euler函数方程的解

在Euler函数φ(n)性质的基础上,利用整数分解的方法讨论了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c(c为完全数且ab=c)当c=6时方程的正整数解。     

数论函数方程φ_2(N)=S(N~(16))的可解性

讨论数论函数方程φ_2(N)=S(N~(16))的可解性,这里φ_2(N)为广义Euler函数,S(N)为Smarandache函数。基于广义欧拉函数φ_2(N)与Smarandache函数S(N)的性质,利用分段及初等方法,证明该数论函数方程只有N=847、972、1 000、1 029、1 089、1 372、1 500、1 694、2 058、2 178这10个正整数解。     

关于数论函数方程δ（x^2＋y）＋δ（x＋y^2）=2ψ（x^3＋y^3）

对于正整数k，设δ（k）和ψ（k）分别是k的约数和函数和Dedekind函数．该文证明了：方程仅有正整数解（x,y）=（1，1）．     

关于广义Ramanujan-Nagell方程解数

设p是奇素数，D是适合p D是正奇数，证明了，当D≠Ap^r-1，其中r是正整数时，方程x^2 D=4p^n至多有1组正整数解（x,n）。     

关于幂和丢番图方程S5（x）=y^n

获得了幂和丢番图方程Ｓ５（ｘ）＝Ｙ＾ｎ有正整数解的充要条件：得到了当ｎ＝２时方程有无穷多组正整数解的解集公式：证明了当ｎ＝３和≥４为偶数时，该方程公有解（ｘ，ｙ）＝（１．１）。     

关于商高数的Terai猜想

设(a,b,c)是一个本原商高数三元组,且2|a.如果b■1(mod 16),b2 1=2c,b,c都是奇素数,则方程x2 by=cz只有一个正整数解(x,y,z)=(a,2,2).     

关于Diophantine方程x3-8=py2

在p是奇素数的假设下,证明了如果p=12r2 1,其中r是偶数,则方程x3-8=py2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

关于一类商高数的Je?manowicz猜想

设k,l,m₁,m₂是正整数,p,q是奇素数满足■,■,这里a≡3(mod8)或a≡5(mod8)为素数.利用因式分解、同余和柯召方法等基本方法,证明了指数丢番图方程■仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).证明了Je?manowicz猜想对商高数■成立,从而改进文献的工作,推广文献工作.     

卷·首·语

在数学研究领域，乐茂华的《关于Diophantine方程（ax^4-1）／（ax-1）=y^n＋1》一文在a是大于1的正整数时，给出了方程（ax^4-1）／（ax-1）=y^n＋1的所有适合min（x，y，n）〉1的正整数解（x，y，n）。     

关于爱多士猜想4/n=1/x+1/y+1/z

文献[3]指出,不定方程 4/n =1/x+1/y+1/z除了n≡1 ,121,169,289,361,529(mod840)外,对其余的所有正整数n都可解。本文给出了上述不定方程的解满足的条件,借助这一条件,得到了文献[3]中没有解决的n≡1,121,169,289,361,529(mod840)中每一种情形的两大类正整数解的具体表达式。     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

关于Moser方程

用初等方法证明：当ｎ、ｒ是正整数,丢番图方程ｎ∑／ｋ＝１Ｋ＾ｒ＝（１＋ｎ）＾ｒ只有正整数解ｒ＝１,ｎ＝２。     

关于方程sum from k=0 to n(x-dx)~r=sum from k=1 to n(x+dx)~r的一类特殊情形

证明了当是不同素数,n,x,α,e,r为正整数时,方程仅有整数解