数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

非对称式求值的若干技巧

我们知道,若α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则由韦达定理可求出形如α~2+β~2、α~3+β~3、1/α+1/β的值,这一类代数式所具的特征是:把α、β的位置对换后所成的代数式(对换式)与对换前的代数式完全相同,我们称之为对称式。不符合这一特征的代数式即非对称式。如α~2+3β、α~3+α-2β等,这一类代数式如何求值呢?本文就非对称式求值问题介绍几种常用方法,以帮助同学们在学习时参考。     

含有中心二项式系数的“趣味”级数

修饰语“趣味”用在这里,其专门含意解释如下:一个级数叫做“趣味”时,对于它的n次项有一个简单明确的公式,并且它的和能够用已知的常数来表示。于是 1+1/2+1/4+……+1/2~n+……=2; 1-1/2+1/3-1/4+……+((-1)~(n+1))/n+………=log2; 1+1/16+1/81+1/256+……+1/n~4+……=π~4/90是常见的“趣味”级数的例子。     

函数最(极)值的各种解法

在中学教学教学及历年的高考题中,函数最值问题时常出现,本文也想就此问题介绍一些常用解法及适用范围和注意事项。 一、应用二次函数祛 例1,已知α∈[0,π/2],求y=sin~2α—asinα+a/2(a≠0)的最小值。     

一个推广的不等式

复旦大学编的《数学分析》一书中有这么一个命题: 设a_1 a_2,…,a_n均为正数,n为自然数,则有: a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2…+a_n/n)~2 在此我们将它推广为:     

怎样打开平面解几三个公式中的绝对值符号

在平面解析几何中,含绝对值符号的公式有;点到直线距离公式;二直线交角公式和三点围成的三角形面积公式。本文拟讨论根据解题需要,怎样去掉绝对值符号。 一、点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式;d=|Ax_0+By_0+C|/(A~2+B~2)~(1/2)     

关于S~(n+1)中常标量曲率极小超曲面的Pinching常数的注记

设M是单位球面S~(n+1)中的一个闭极小浸入超曲面,h是M的第二基本形式,s是h的模长的平方。根据Simons已得到的结果,若在M上有0≤s≤n,则s=0或n。本文讨论如下问题: s是否有另一个较大的值?若有,这个值是什么?此问题收集到[7],我们得到 定理 设M是S~(n+1)中的闭定向极小浸入超曲面,若s为大于n的常数,则 s>n+(5-17~(1/2))/(3+17~(1/2))n>n+n/9     

一个不等式的推广

文献〔1〕,中学数学问题栏中第1题:设x,y,z都是正数,求证:x/(y z)~(1/2) y/(z x)~(1/2) z/(x y)~(1/2)≥(3/2)~(1/2)(x y z)     

关于多元指数型算子的一致逼近(Ⅱ)

设L_(n,m) (F (u,v);x,y)是二元指数型算子,在本文中,我们借助于K-泛函,讨论了当0相似文献   

一类高次根式的分母有理化

为了探索分母有理化的方法,先来研究n=3时的情况。不失证明的一般性,可将三次无理分式的分母写成“1+a_1(p)~(2/3)+a_2(p~2)~(2/3)”的形式。 令矩阵A=()当|A|≠0时 解方程组:A()=() 得x_1= x_2=(a_1~2-a_2)/|A|     

Poly-Si/SiO_2/Si系统的扩散分析

本文对Poly-Si/SiO_2/S1(多晶硅/二氧化硅/硅)三层系统的扩散进行了分析。根据其扩散解得到二氧化硅层最小掩蔽厚度x_m。 在二层系统 x_m=2(D_2t)1/2 Arg erfc[(1+a)N_b/2mN_o′·10~(-4)] 在三层系统 x_m=2(D_2t)1/2Arg erfc[(1+a)m_1N_b/2m_2N_o·10_(-4)] 指出在三层系统中,由 A.S.Grove等和 H·F·Wolf 分别定义导出的x_m值偏低。     

关于共轭级数的Cesáro平均的强收敛

1引言设f(二)任c:.,其Fourier级数为砚月一鲁+昼 ‘扭一I(a‘eoskx+b.sin七x)(l)共扼级数为及〔f〕=艺(u,5 in众二一乙.eos走二)以S.仃,习三5.(f),瓦(f,习二瓦(f)分别表示(1),(2)的第:部分和,则(1),(2)的a阶ce幼ro平均分别为、(f,:)一去全、习。(f,二);灵(j,二)一书全、二,、,(f.:, J,.奋=0了t一盛一0其中己:二0,之:二0,川一(a+l)(a+2)…(a+。)/:!. 若二共全!(*+1)(‘(f)一f)一*(‘一,(f)一f)l一。(1);兴全l(、+l)(云(f)一j)一*(必一:一了)l一。(1), ~介+1口。’、一’-一、J’J‘”、一“一’、J产J‘’一、一‘’“+1.乌’、~’一’、…     

关于lim(1~k+2~k+3~k+…+n~k)/(n~(k+1))=1/(k+1)推广

<正> 设lim(1~k+2~k+3~k+…+n~k)/~(n~(k+1)),则limA_n=1/(k+1)关于数列{A_n}的各种求法分别由文献[1],[2],[3]给出。本文将给出limA_n=1/(k+1)的推广形式:     

三角形惯性极矩不等式的推广

M·S·Klamkin教授于1975年建立了三角形惯性极矩不等式,揭示了平面上任一点到三角形顶点的距离加权平方和与三边的加权平方和之间的不等量关系。这一不等式表述为: 设λ_1,λ_2,λ_3为任意正数,△A_1A_2A_3的三边长分别记为a_1,a_2,a_3,平面上任一点P到顶点A_i的距离记为R_i(i=1,2,3),则 (λ_1+λ_2+λ_3)(λ_1R_1~2+λ_2R_2~2+λ_3R_3~2)≥λ_2λ_3a_1~2+λ_3λ_1a_2~2+λ_1λ_2a_3~2 (1) 本文试对三角形惯性极矩不等式作若干有意义的推广。 首先,我们有     

求自然数方幂和的一个简单公式

求自然数方幂和有许多方法本文给出求自然数方幂和的又一公式,应用这个公式可以比较简单地求出自然数的任意次方幂的和。此公式具有简洁易记的好用的优点。 1 xe~x/(e~x-1)的展开式令f(x)=xe~x/(e~x-1),f(x)在x=0时为0/0的不定式,但有:所以我们定义f(0)=1,故f(x)可在x=0附近展开,由数学分析,我们有下面的展开式 xe~x/(e~x-1)=B_0+B_1x+B_2x~2/1·2+B_3x~3/1·2·3+……(1)其中B_0,B_1,B_2,B_3,……为待定系数。由级数相乘的理论,用下面级数 e~x-1=x+x~2/1·2+x~3/1·2·3+……(2)乘(1)的两边,左边的乘积等于     

在机会约束规划中的随机决策问题

Vajda考虑过以下的决策问题:Min(X_1+X_2),s.t.Prob(X_1/9+X_2≥b_1,X_2/9+X_1≥b_2=1/8X_1≥0,X_2≥0其中b_1是在(0,2)上的具有均匀分布的随机变量,b_2是在(0,4)上的具有均匀分布的随机变量,b_1和b_2是相互独立的。他指出这一问题存在着确定解。     

一个几何不等式的推广及加强

1954年S·Bcathy证明了 （K-H）（3K-5H）≤12S~2≤（K-H）~2 (1)式中S表示以a,b,c三边为边长的三角形的面积.H=（1/2）（a~2+b~2+c~2）,k=ab+bc+ca 1988年,陈计将①式左边不等式推广为P≥1或P≤0时有 S~(2P)≥2~（2-4P）.3~（P-2）·（K_P—H_P）（3K_P—5H_P） (2)     

右美托咪定对乳腺癌手术老年患者细胞免疫功能和预后的影响

目的探讨右美托咪定对乳腺癌手术老年患者细胞免疫功能和术后恢复的影响。方法 117例拟行乳腺癌根治术老年女性患者随机分为3组(n=39),对照组(C组)、Dex1组(D_1组)和Dex2组(D_2组)。分别于麻醉前(T_0)、术毕(T_1)、术后24小时(T_2)、术后48小时(T_3)时点测定T淋巴细胞亚群(CD_3~+、CD~(4+)、CD_8~+、CD_4~+/CD_8~+)及NK细胞百分比,记录患者术后恢复情况。结果与T_0比较,3组患者CD_3~+、CD_4~+、CD_4~+/CD_8~+及NK细胞百分比在T_1明显降低(P0.05),后逐渐回升,CD_8~+在T_1明显升高(P0.05),后逐渐回落;D_1和D_2组在T_1及T_2与C组比较,CD_3~+、CD_4~+、CD_4~+/CD_8~+及NK细胞百分比显著增高,CD_8~+细胞百分比显著降低(P0.05);D_1、D_2组患者术后呕吐及患者满意度均明显优于C组(P0.05)。结论右美托咪定对乳腺癌手术老年患者细胞免疫功能的抑制较小,术后恢复快,有益于患者的康复。     

公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

相互垂直、频率相同的两个简谐振动的合振动轨道方程的推证

一般的《力学教程》在分析相互垂直的两个简谐振动的合成问题时。都只简单地指出可以证明互相垂直,频率相同的两个简谐振动的合振动的轨道方程为:x~2/A_1~2+y~2/A_2~2-2xy/A_1A_2cos(φ_2-φ_1)=sin~2(φ_2-φ_1)而对于其方程推证过程没有给出。为了使读者加深理解,便於记忆,让大家更牢固地掌握这一方程式,我们将自已对此方程的两种推证方法分别叙述如下,仅供参考。