第二数学归纳法原理浅注

本文从最小数原理出发,证明了第二数学归纳法原理,进一步论证了第一数学归纳法及第二数学归纳法的不等价性,最后给出了可用第二数学归纳法证明的一些命题。     

数学归纳法的原理及其应用

数学归纳法是数学中主要的逻辑推理方法,它在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。熟悉数学归纳法的原理是教好和学好数学归纳法的前提。为此,本文主要介绍归纳原理、最小数原理及应用。 归纳集的定义: 实数集R的子集A称为归纳集,如果它满足:①1∈A,②若x∈A,则x+1∈A。 虽然,实数集R本身就是归纳集;而集{x|x≥-1的实数},也是归纳集,集{x|1≤x<|0的实数},却不是归纳集,因为它不满足条件②;集{x|x>1的实数},也不是归纳     

均值不等式的八种证法

由于不等式本身在数学中的重要地位以及不等式的证明的困难性,使不等式的证明方法成为数学领域内的热门问题.本文拟将介绍均值不等式的算术归纳法、局部调整法、排序原理、不等式法、几何方法、变量替换法、归纳原理、逐次调整法等八种证明方法,归纳总结出不等式证明技巧,进而提高学习者不等式探究能力和证明方法.     

数理逻辑中的归纳定义和归纳证明

运用数学归纳法能证明一个表示逻辑定理的全称命题的真实性,即通过证明一集合对象具有某性质,从而证明该集合所有对象具有该性质,其原因在于用归纳法证明的集必须首先是一个用归纳定义给出的归纳集,它是与自然数集相同的最小归纳集,它具有封闭性,即:如果该集合的初始元有某性质,并且有一生成函数使得在初始元基础上,可不断生成新的元,如果这些生成元也有该性质,那么由生成元运用生成函数所生成的其他生成元,也有该性质,于是可断定,该集合中所有元都有该性质.归纳集所具有的这种封闭性质,就是数学归纳法原理.它是一前件真而后件不能假的蕴涵命题,因此归纳证明实际是通过证明它的前件(奠基和归纳两步)真,从而证明后件(归纳命题)必然真的演绎证明.     

用辛欣原理直接证明实数连续性的其它若干等价命题

正如数学归纳法反映了自然数集的良序性质,而辛欣原理则反映了实数集的连续性质。因此利用辛欣原理来证明关于实数连续性的一类命题还是比较有效的。 本文将在这些方面展开一些论证,并争取做到证明是直接进行的。最后,附带给出单圈证明这些命题相互等价的一个方案,而中间的过程全都略去。 下面我们把辛欣原理的内容叙述如下:     

浅议数学归纳法的应用

本文运用各种数学归纳法，分别讨论了一些重要数列以及不等式的证明，并且还讨论了如何用数学归纳法证明几何问题，从而拓展了数学归纳法的应用空间．     

公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

递推--数学归纳法的精髓

数学归纳法原理的理解,数学归纳法两个步骤的本质作用及相互依存关系并用正反例说明,数学归纳法的多种应用形式.     

对一道题目证明的辨析

剖析了许多教材中一道题目证明的错误 ,并通过数学归纳法给出了正确的证明。     

关于广义G-M不等式的探研

广义G-M不等式是数学研究的基础工具不等式,有着非常广泛的应用,但在一般教科书上又很少出现.特别地,广义G-M不等式的传统证明需要借助实数逼近理论,其过程繁涩,对一般读者“不透明”,本文作者仅借助一阶导数和数学归纳法,使证明获得了极大简化,同时通过介绍几个范例,藉以展示广义G-M不等式的强大应用价值.     

用集合论理解数学归纳法

集合论是近代数学的基础 ,利用集合语言表示数学概念和数学推理过程 ,可以将思维过程形式化的表现出来 ,这将为研究人类思维提供一种方法 ,使人们解决问题的过程得到充分的暴露 ,本文将数学归纳法的解题过程用集合语言表示了出来     

数学归纳法的应用--从概率论的例子谈起

本文利用数学归纳法给出一个有关组合数的恒等式的证明。     

前n个连续正偶数之和的几种拼图证法

对前n个连续正偶数之和∑nk =12k =n(n +1)的证明 ,一般是采用数学归纳法。将从一个新的角度来观察和思考 ,对它的证明提供了四种拼图证法 ,实现了问题的过程开放     

一个特殊不等式的推广

本文从三个方面推广了不等式,并用数学归纳法等方法加以证明,使推广的结论可靠。     

归纳、类比是探索问题的有效方法

常听到数学专业的学生发出这样的疑问:“这些深奥玄妙的定理是怎样发现的?它们的证明方法又是怎样寻求得到的呢?”的确,发现定理并获得证明,这是数学中最引人入胜的精彩内容,可惜在各种教科书中,我们很难看到这方面的介绍,从某种角度来说,这不能不使学生在学习和掌握数学方法方面受到一定的损失。     

一道高考题所揭示的一个奇妙的递推数列

主要研究了个学生排成一排,第n个人不能排第k个位置,有多少种可能,导出这个数列的递推公式并推导通项公式,并用数学归纳法证明.     

浅谈"数学归纳法"的教学设计

从思维形式说,由一般到特殊的推理就是所讲的演绎推理,与之相反则是归纳推理.在教学过程中,必须将演绎推理和归纳推理有机结合起来,更好地分析问题,解决问题.根据体育中专校学生数学基础较差,缺少对数学思想和数学概念的了解和认识等实际情况,对数学归纳法教学设计提出了自己的看法,即巧设情境,导入新课;由浅入深,循序渐进;图示结合,提供直观思维;系统总结证明流程,便于学生模仿与学习.     

数学归纳法教学探讨

在学习数学归纳法的过程中,有些学生只能在形式上模仿而不知其所以然,有的连模仿也做不到,对学生而言,作为一种新的证明方法,形式上和内容上都与以前学过的证明方法不同,掌握起来确实有些难度,但师生如何积极配合,也有一些做法值得探讨。下面谈一谈本人的一些看法。     

对“比较优势原理”的争论

数学家斯坦尼斯罗·乌尔姆（Stanislaw Ulam）曾建议20世纪经济学界泰斗保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson）在社会科学中找出一个既真实又有意义的命题。多年之后，萨缪尔森终于找到了适合的答案：比较优势原理。萨缪尔森认为：从逻辑上看，这一经典理论与数学归纳法一样具有说服力。“它的理论意义经过了数千位重要人士及学者的验证，虽然他们并不了解比较优势原理，或者经过阐释依然无法接受达一原理。”     

识数与数字归纳法——小议数学归纳法教学设计中的引例

一、引例揭示了数学归纳法的意义。 华罗庚教授在所著《数学归纳法》一书中,用的是人人都极易感知深刻入微的“小孩子识数”为引例。在教学中,若将其例编成这样:小孩子学识数是从第一个自然数1开始的。在认识1的基础上,便能推知1后面的那个自然是1 1=2,2后面的那个自然数是2 1=3,……若对于任意一个自然数,小孩也都能推知k 1是个什么样的自然数,则说小孩子会识所有的自然数了。