最大公因式及其系数多项式的求法

本文给出了求n个多项式(P_1(x),P_2(x),…,P_n(x))的最大公因式及使(P_1(x),P_2(x),…P_n(x))=∑u_i(x)P_1(x)成立的系数多项式u_1(x) (i=1,2,…,n)的矩阵求法,详见正文中定理。     

不可约多项式的几个充分条件

多项式的因式分解对解多项式方程起着重要作用,因而判定一多项式是否可约是一个重要问题,本文将给出一些多项式不可约的充分条件。 定义 若f(x)∈Z[x]。(Z表所有整数构成的集合),f(x)的次数大于零,f(x)不能表示成两个次数大于零的整系数多项式的乘积,则称f(x)在Z上不可约,否则称f(x)在Z上可约。     

谈换元法的教学

换元法是求不定积分经常使用的一种重要方法。通常在使用其它方法的同时,也要使用换元法。它分为第一换无法和第二换无法两种。 一、第一换无法(也称“凑微分”法) 设f(t)具有原函数F(t),t= φ(x)可导,则F[φ(x)]是f[φ(x)]φ＇(x)的原函数,即有换元公式     

欧氏环中最大公因子与最小公倍子的统一求法

通过对欧氏环上矩阵的讨论 ,给出了欧氏环中两个元素的最大公因子与最小公倍子的统一求法 .该方法对整数环 Z和多项式环 F[x]中的问题的解决有指导意义     

圆锥曲线的外域与切线

一般来说,在直角坐标系中,两个变量x、y的多项式方程f(x,y)=0确定平面上一条(实)曲线,而不在曲线f(x,y)=0上的所有点由曲线划分成有限多个区域(连通开集)D_1、D_2、……D_n。在每个区域D_i内,多项式f(x,y)或者恒为正的,或者恒为负的。因此,对于给定区域内判断f(x,y)>0,或者f(x,y)<0,只须在该区域内任取一点计算其对应的值就完全可以了。     

P(x)=multiply from i=1 to n(x-ai)~(α_i)的符号交错律的应用

由上可见,F(X)实质上是两个相异的P(X)之商。因此,若研究清楚P(X)的规律,则F(X)的规律亦迎刃而解了。 实际应用上的很多问题,都不得不归结为求解P(X)≥0,P(X)≤0,F(x)≥0和F(X)≤0。凡由多项式函数或有理分式函数衍生出来的数学问题,例如求解各类不等式(组);函数定义域,函数的正负区间,函数的单词区间,极值问题,函数的拐点及凸向等等,实际上都往往要求解上述四个不等式之一。     

关于一元多项式的Casas-Alvero猜想

设f(x)是首项系数等于1的复系数一元多项式.运用代数学中的多项式理论证明了:如果f(x)恰有2个不同的根,则f(x)不是Casas-Alvero多项式.获得的结果部分地解决了Casas-Alvero猜想.     

求一类三阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便公式

对于三阶常系数非齐次线性微分方程y＇＇＇+py″+qy′+ry=f(x),当f(x)=P3(x)eax或f(x)=P3(x)eλxcos ωx+Q3(x)euxsin ωx(P3(x),Q3(x)为三次多项式)时,有一种求特解的简便公式,并且利用该公式可容易地在计算机上编程计算.     

求解具有重因子的多项式的修正Bairstow方法

是n次实系数多项式,q~*(x)=(x~2-u~*x-v~*)=(x-α~*)(x-β~*)是f(x)的m≥1重因子:f(x)=[q~*(x)]~mg(X).当m=1且g(α~*)g(β~*)≠0时,从(u~*,v~*)的适当近似出发,用熟知的Bairstow方法求(u~*,v~*)时,具有二阶收敛.当m≥2时,Bairstow方法的收敛速度很慢.用Newton方法求f(x)的m≥1重因子(x-α)~m时,也有类似的结论.     

浅谈二次曲面的弦的中点轨迹的几个问题

本文将文[1]的结果推广到三维空间,并初探一下求切点平面的方程和弦为定定长的中点方程的两个问题。一、关于过定点二次曲面弦的中点轨迹命题1:过定点P_0(x_0y_0z_0)的直线束与二次曲面F(x,y,z)=0相截得的二次曲面弦的中点p(x,y,z)坐标满足方程:     

μedblweB 多项式的一个性质

<正> 多项式,即由递推公式To(x)=1,T_1(x)=x,T_(n+1)(x)=2xTn(x)-T_(n-1)(x) n=1,2,…所决定的多项式 Tn(x),有许多奇妙而有趣的性质,并在计算方法、函数逼近等现代教学研究领域中有着极其广泛的应用。正因此,人们在研究多项式 y(x)=sum from l=0 to m a_ix~(m-i) 或在作函数级数的数值计算等方面,往往要把一般多项式形式用 Tn(x)(n=0,1,…)线性表出,以便于研究或减少运算次数。本文主要讨论一般多项式怎群用 Tn(x)(n=0,1,…)线性表出(关于能够线性表出性,     

也谈《最高公因式的矩阵求法》

利用λ——矩阵的初步知识,本文给出了多项式的最大因式的另一种矩阵求法(定理1).该法道理浅显易懂,方法简单实用;同时,本文也解决了最大公因式的组合系数问题(定理2),即在求出多项式的最大公因式的过程中,也同时巧妙地求出了多项式μ_i(X)(i=1,2,…,n),使得(?)μ_i(x)f_i(x)=(f_1(X),f_2(x),…,f_n(x)成立,从而弥补了《最高公因式的矩阵求法》一文的缺陷.如文[1]最后所说:“这种方法并没有给出求得使(?)f_i(x)μ_i(x)=d(x)(d(x)为 f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)的最高公因式)成立的μ_1(x)(i=1,2,…,n)的办法,因此,如果需要求出这样的μ_i(x)(i=1,2,…,n),则应该使用其他方法.”受文[1]的启发,本文给出了同时能求出文[1]中所说的d(x)和μ_i(x)的矩阵方法.     

关于具盖根堡多项式零点的Hermite-Fejer插值逼近

H(f,x)是以堡多项式(x)的零点为基点的1次插值多项式,本文在一定的条件下,得到 H(f,x)近f(x)的最高阶。     

关于高阶常系数非齐次线性微分方程特解的简捷求法

本文给出了微分方程y~((n))+P_1y~((n-1))+P_2y~((n-2))+…+P_ny=P_(?)(x)e~(λr)(其中P_1、P_2、……、P_(?)及λ为实常数,P_m(x)为m次多项式)求特解的一种简捷方法。     

Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5     

射影平坦且具有相对迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量

本文刻画了定义在n维流形上的射影平坦的弱Landsberg的(α,β)-度量F=αφ(β/α),其中α=(a_(ij)(x)y~iy~j)~(1/2)是一个黎曼度量且β=bi_(x)y~i是一个1形式;也刻画了定义在n(≥3)维流形上的射影平坦且具有相对迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量F=αφ(β/α),其中φ=φ(s)是关于s的多项式。     

具有极小的最大特征值的全角六边形链

设G是分子图,其特征多项式为ф(G,x),它的最大特征值指方程ф(G,x)=0的最大根,给出了具有给定六边形个数的具有极小的最大特征值的全角六角链。     

具扩充Jacobi结点的Lagrange插值逼近

研究了以扩充Jacobi多项式(1+x)Vn(x)的零点为基点的Lagrange插值多项式Ln(f,x)逼近/k)的一些问题.     

非线性方程解的连续性(英文)

本文主要目的是给出非线性微分方程{x.=h(y)=F(x)y.=-1(x,y)k(y)+e(t{)(E1)的解的连续性的一些充分条件。我们获得了两个准则确保系统(E1)的解持续连续。     

integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx能表为有限形式的充要条件及其待定系数(积分)法

本文讨论积分integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx(其中p(x)为x的n次多项式,n≥1,m>2,m∈n.a≠0,b~2-4ac≠0),得出该积分能用初等函数表示(称为能表为有限形式)的充要条件,进而给出了求integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx的待定系数法.