双曲线的渐近线的一种求法

程荣华先生在《九江师专学报》自然科学版1984年第2期中,介绍了曲线的渐近线的几种基本求法,笔者看后颇受启发。中学里平面解析几何中涉及渐近线的曲线唯双曲线,用程先生介绍的方法足可求出双曲线的渐近线方程。本文拟介绍一种更为简便的求双曲线渐近线的方法。     

对水平渐近线定义的探讨

在一般的《高等数学》教材中,曲线y=f(x)的水平渐近线是由极限定义的,即,如果limf(x)=A,则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.该定义以及它的一般求法在实际问题中得到了广泛的应用,但定义中所包含的一种情形在教材中并没有得到明确,以致于在教学中教师和学生对此产生困惑。     

二次曲线的一种作图方法

本文介绍在已知二次曲线方程的条件下,根据二次曲线的共同几何特征:它们都是到某定点(焦点)和某定直线(准线)的距离之比等于常数(离心率)的点的轨迹,作出它们图形的方法,並给以证明。 设二次曲线的焦参数为p,焦点到准线的距离为q。对于所给出的椭园方程为(或者化为)以及双曲线方程为(或者化为)时,取对于所给抛物线方程为(或者化为)Y~2=2px时,只取q=p,然后接下述作法作图:     

中心二次曲线渐近线的一种求法探讨

本文通过对有渐近线的中心二次曲线方程特征的研究，给出一种求渐近线的方法．     

浅议圆锥曲线的极坐标统一方程

我们知道在高中解析几何课本中,分别以椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、开口向右的抛物线的焦点为极点,且分别以椭圆的长轴、双曲线的实轴、抛物线的对称轴为极轴,方向向右建立坐标系,根据圆锥曲线的统一定义推导出的统一方程是:ρ=ep/1-ecosθ,(允许p<0则得到双曲线的两支)。当学生遇到其它不同于上面的形式的圆锥曲线的极坐标方程时,往往束手无策,另外有些问题在建立极坐标系时,极点极轴的选择,需要不同的情况,才便于问题的解答,如下面几题:     

利用导函数极限确定曲线渐近线的方法

设y=f(x)是定义在[α∞]上的一个连续函数,若曲线y=f(x)有不垂直于x轴的渐近线y=kx+b,则 反之,如果这两个极限都存在,则显然y=kx+b就是该曲线的渐近线。这是一般数学分析课本给出的方法。这个方法使用起来方便,证明过程也很简单。但笔者见到的所有课本,都是在讲导数的应用时提出该方法的,可惜这里却没有用上导致。我们曾用导数来确定函数的单调性,增减性、凹凸区间,却没有用之来确定渐近线。好象在确定渐近线时导数无能为     

周期激励下的Josephson结方程的动力学特性

本文用Melnikev方法研究超导中弱性Josephson结方程的动力学特性,指出了紊动产生的条件.方程为:d~2x/dt~2+a(dx/dt)+sinx=b+εlsinwtd~2x/dt~2+a(dx/dt)+sinx=b+ε[l_1sinw_1t+l_2sinw_2t]     

论多元共振系統的归一化函数

复杂的共振系统(设它的共振频率是f)常可肢解成许多简单谐振单元(设它们的谐振频率分别是f_(01)、f_(02)、f_(03)……等)。本文采用S_1=f/f_(01)、S_2=f/f_(02)……作变量,建立一个归一化共振方程,它定义了一个多变量函数。根据这些函数,得出新的结论。     

林木生长与养分动态模型研究Ⅶ直径年龄与生长参数的确定

树木直径的实际生长年龄小于树木年龄.用树木年龄作为自变量来描述直径生长会导致生长曲线出现拐点.检验分析结果表明.当用直径(D)的年龄(t)作为自变量时,直径曲线为非S型逼近线,基本上没有拐点.直径生长方程D=Dmt(K+t)在应用中精确度高.检测样本中,杉木直径生长不遵循指数增长规律.基于直径方程的性质,即d(D2/t)dt=0,t=K,D=Dm/2.d(D3/t2)/dt=0.t＝K/2,可用实测数据对D2/t和D3/t2作图,通过曲线极值点确定生长参数K和Dm,     

用能量方法解决简谐振动问题

对于具有—个平衡点的体系,若以变量ξ描述体系的变化,则不论ξ代表何意义,只要ξ满足运动方程aξ+bξ=0或能量方程1/2aξ~2+1/2bξ~2=E=const,这样的体系就称为简谐振动体系,振动规律为ξ=ξ_ocos(ωt+ψ),振动园频率ω=(b(a~(1/2))~(1/2)。 由于运动方程的一次积分即得能量方程,而能量方程对时间t的一阶导数又为运动方程。因而在判别或求解简谐振动问题中,不但可用受力分析方法导出运动方程,也可从分析系统能量入手,从而得到能量方程,并进一步得到其解。当然对形形色色的简谐振动问题,有时直接作力的分析来得简单,但有时用能量方法又常常是方便的。教材中一般仅介绍受力分析方法,我认为应该两种方法并举,这也许能对提高学生解决问题的能力和培养学生用能量方法分析物理问题的兴趣,以至更好地学习后续课程有所帮助。     

数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

关于一个二维Bklund变换的一些结果

本文从双线性二维KdV方程(D_xD_t D_x~4 εD_y~2) f·f=0的Backlund变换(D_x~2-αD_y)f'·f=λf'f,(D_t 3λD_x D_x~3 3αD_xD_y)f'·f=0出发,导出了一个二维变形KdV方程以及它与原方程之间存在的Miura变换。本文同时还研究了这个二维双线性Backlund变换的可换性,这对导出方程解的非线性叠加公式是必不可少的。     

建立旋转曲面方程的一题多解举例

例题:求直线l:x-2/3=y/2=z/6绕x轴旋转所得的旋转曲面方程。解法1:利用同一纬园上的同一坐标相等将直线方程写成参数式     

平均数代换法的某些应用

平均数代换法的应用很广泛,下面仅就证明不等式和求极值等问题,谈谈它的应用。一若x y=A (A为常数),x~n y~n=B。作平均数代换x=A/2 α,y=A/2-α,能够得列仅含α的偶次幂项的等式 f(α)=C_n~1(A/2)α~(n-1) C_n~(n-3)(A/2)~3α~(n-3) … C_n~2(A/2)~(n-2)α~2 =B/2-(A/2)~n(n为奇数)。 (1)     

一类代数微分方程组的亚纯解

应用Nevanlinna值分布理论 ,研究了次之一类代数微分方程组的亚纯解 ,Ω1 1 /Ω1 2 =R1 (z ,w1 ,w2 )Ω2 1 /Ω2 2 =R2 (z ,w1 ,w2 )其中Ωkl(k ,l =1 ,2 )是关于w1 ,w2 的微分多项式 ,R1 ,R2 都是w1 ,w2 的有理函数 ,系数都是z的亚纯函数 .获得了不同于单个方程的几个结果 .     

关于方程 P~m-q~n=4

对给定的素数 p、q 和整数 h,求方程 p~m-q~n=2~h (1)的解(m,n)[1],人们已有许多研究.曹珍富在文献[2]中证明了当(p,q)≡(5,3),(3,5),(±3,7),(7,±3)(mod8)时,方程(1)除5~2-3~2=2~4和3~4-7~2=2~5外,无其它 h≥4的解(m,n),在 h=2时曹珍富指出:当 p=qt~2±4或 q=pt~2±4时,方程p~m-q~n=4 m>1,n>1 (p,q 是奇素数) (2)无解.本文通过研究 Di ophantus 方程p~m-q~n=4 2 mn p,q 为奇素数 (3)的解,进一步给出方程(2)的无解条件.     

再谈中心二次曲线渐近线的求法

文[1]给出了中心二次曲线渐近线方程的一种求法。本文又给出了另外三种求法，并给文[1]结论另一种证明。     

解方程■=f(x)的—族高稳定十字架格式

建立了解二阶线性 Hamilton 方程的一族十字架格式,并把这些格式应用到波动方程中。如果选α=1/12,β=-1/48,那么就得到时间方向四阶精度格式,其稳定性条件比文献[2]中同类格式要好;当α=1/12,β=-1/30时,得到时间方向六阶精度格式,其稳定性条件要比文献[2]中时间方向为四阶精度格式要差。     

化参数方程为普通方程中一个不可忽视的问题

参数方程 ｘ =ｆ (ｔ)ｙ =ｇ (ｔ) ｔ为参数 ,函数ｘ =ｆ (ｔ)的值域为ｐ ,ｙ =ｇ (ｔ)的值域为Ｑ (Ｐ、Ｑ∈Ｒ) ,消去参数ｔ后得Φ (ｘ ,ｙ) =0 ,则普通方程Φ (ｘ ,ｙ) =0需在Ｘ∈Ｐ ,Ｙ∈Ｑ的条件下与原参数方程等价。不少同学在学过参数方程后 ,对化参数方程为普通方程时 ,往往误以为 :只需把参数消去 ,就算完成了 ,而不去注意所给参数方程与所化得的普通方程是否等价 ,结果得出许多错误结论。下面引两例说明 :例 1、求曲线 (Ｉ)Ｘ =ｃｏｓ2θ - 1………… (1)　　　　　θ为参数Ｙ =1+ｃｏｓθ…………… (2 )与直线ｙ =3Ｘ + 1的交点…     

渐近线性算子的渐近分歧点

本文讨论了一类非线性映射——渐近线性映射的渐近分歧点和它的渐近微商(asymptotic derivative)的谱之间的关系,改进和推广了的某些结果。