牛顿在微分方程方面的奠基性工作

微分方程是伴随微积分应用成长发展的数学分支之一,牛顿是第一位研究微分方程的数学家。他在制定微积分的同时奠定了微分方程的有关理论,虽没有形成完整体系,但其思想方法对创立和发展微分方程这一数学分支具有重要的理论意义。     

二阶变系数线性微分方程的求解方法

1 引言 在一般的教科书中,对常系数的线性微分方程的解法,已非常完备,但对变系数的线性方程如何求解,则未见一般方法。因此探求这类微分方程的解法就很有必要。下面我们仅就二阶变系数线性微分方程给出一种解法。 二阶线性微分方程的一般形式为:     

随机微分方程与确定性微分方程的差异

本文首先简略地介绍了随机微分方程的产生及发展概况和它的研究方法,接着以放射物质的衰变现象为例对两类方程作了详细的比较,给出了描述同一个现象的两类不同的微分方程的不同表达式和不同的解题方式,并推出可以用随机微分方程的结果去判断确定性微分方程的解接近真实的程度,从而得出结论:随机微分方程比确定性微分方程更为精确地刻划了实际问题,是确定性微分方程的进一步发展,是人们对客观规律认识的深化,最后列举了几个典型例子来说明随机微分方程在工程技术中的应用。     

分数阶微方程的迭代方法研究

目前,为了简化分数阶微分方程的求解过程,越来越多的学者开始研究分数阶微分方程的数值解,而迭代方法可以有效地对分数阶微分方程的非线性反映项进行处理,可以不用对方程进行离散就可以得到方程的高精度近似解。     

存在唯一性定理中唯一性的另外两种证法

对《常微分方程》中一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明方法 ,给出了另外两种证法 ,对唯一性的理解可更加深入。     

一类非线性偏微分方程的摄动解法

首先用行波变换将非线性偏微分方程转化为非线性常微分方程,然后采用摄动方法直接求解该非线性常微分方程,最后求得了非线性K le in-Gordon方程的二级近似解。这种方法也可进一步推广用于求其它非线性偏微分方程的近似解析解。     

任意旋成面叶栅边界层和损失计算

本文应用变分有限元方法和边界层理论对实际叶栅内部流场进行了数值计算,求出了中心势流场的速度和压力分布、型面边界层特征参数、叶栅损失系数及型面摩擦损失系数。计算结果与实验数据吻合较好。文中所建立的方法和编制的计算程序可用于对轴流式或离心式叶栅进行计算,并以此判断叶栅性能优劣,改善叶型和设计高效叶栅,减少不必要的试验经费。     

蒸发过程中土壤性质对大气边界层影响的数值模拟

本文用一维的土壤—大气耦合模式,讨论了蒸发过程中,土壤性质对大气边界层的影响。数值试验结果表明:在完整蒸发过程中,土壤性质对大气边界层影响表现出明显的非线性三阶段特征。在各个阶段,土壤性质的影响程度是不同的,第二阶段影响最大,该阶段对应的土壤含水量处于凋萎系数以上、某一临界值以下范围;在土壤水分高于临界值的第一阶段,土壤含水量和质地的差异对边界层影响很小。大气边界层演变的三阶段特征主要是由土壤水分特性所决定,数值结果与已有观测事实和理论分析结果是一致的。     

小波在奇异摄动问题中的应用

用小波数值方法处理线性和非线性奇异摄动问题 ,尤其对解的边界层性质进行数值探讨 ,获得了较满意的数值结果     

广义的tanh-coth方法在求解一类分数阶非线性偏微分方程中的应用研究

本文主要是利用广义的tanh-coth方法去求解分数阶非线性偏微分方程的精确解.因为时间分数阶耦合Drinfel'd-Sokolov-Wilson(DSW)方程精确解的求解方法相对较少,所以以该方程为例,对广义的tanh-coth方法进行研究.该方法通过复变换将分数阶非线性偏微分方程转换成常微分方程,从而得到多组易于计算得到、无需线性化、无小扰动的收敛级数形式的解析解.     

寻找非线性演化方程精确解的新的双曲函数法

基于齐次平衡法的思想,利用双曲函数建立了一种求解非线性偏微分方程的新的双曲函数法,其基本原理为,通过作一些特殊的变换,将非线性偏微分方程的求解问题转化为非线性超定代数方程组的求解问题,借助数学软件Mathematica,利用吴消元法等,求解此非线性超定代数方程组,最终获得非线性偏微分方程的精确孤波解.     

构造谱问题的一种待定系数法

达布变换是求进化方程孤立子解十分有用且有效的方法，进化方程对应的谱问题是应用达布变换求解该方程孤子解的前提．本文提出了一种构造给定进化方程谱问题的待定系数构造方法，借助给定方程的守恒率适当选取变换和多项式的展开式．使问题化为求解超定线性偏微分组．对此超定线性偏微分组可用吴方法和计算机代数系统来获得给定进化方程的谱问题，从而利用达布变换求解该方程的孤子解．     

非线性时滞偏微分方程解的振动性

研究了一类非线性时滞偏微分方程　解的振动性，其中（ｘ，ｔ）∈Ω×（０，∞），是具有逐片光滑边界的有界区域，得到了方程所有解振动的充分条件。     

用试探函数法求KdV方程的孤子解

通过引入一个新的变换,利用试探函数法,并选取准确的试探函数形式,将一个难于求解的非线性偏微分方程化成了一组易于求解的非线性代数方程,从而简洁地求得了KdV方程的孤子解,所得结果与已有结果完全吻合。这种方法可望进一步推广用于求解其它非线性偏微分方程。     

一类二阶中立型偏微分方程系统的振动性

讨论了一类具泛函变元的二阶拟线性中立型偏泛函微分方程系统,获得了该系统所有解振动的若干充分条件,同时也给出了实际应用例子.     

偏微分方程的非线性变换和精确解

利用截属的Painlev'e展开式、非线性变换和可积的微分方程，可以求出一类非线性偏微分方程的自Backlund变换和它的精确解，孤立波解。波动方程、Hirota-Satsuma方程组和非线性色散与耗散方程作为例子来说明这一方法。     

一类高阶非线性中立型偏微分方程的振动性

研究一类高阶非线性中立型偏微分方程解的振动性，获得了所有解振动的充分判据，主要结果由一些实例加以阐明。     

KS型议程的行波解讨论

本文利用齐次平衡法确定了KS型方程双曲正切函数解的参数所满足的方程组，并且展开相关讨论，如给出了解的几种特殊情况及双曲正切函数法的适定条件等，为非线性发展方程的行波解（孤立波解）的求出给出了具有参考价值的理论与实例。所采用的方法具有普遍性。     

偏微分方程及泛函Hamiltonian结构的机械化研究与应用

本文是对 PDES与泛函的 Hamiltonian结构的计算机代数构造和判别法的初步研究 .首先给出了微分与泛函的形式化 ,以计算机代数系统 Mathematica为例说明了计算机上实现变分导数 ,Euler-Lagrange算子 ,分部积分及 Frechet导数等基本概念的自动推演形式 .其次在理论上给出 Hamiltonian结构的普适性及Hamilton方程的普遍形式 ,从而为泛函构造其 Hamiltonian方程提供了机械化方法 .